高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律教案新人教B版

1、8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用. 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用.教学难点：平面向量数量积的运算律的证明I核心概念掌握I【知识导学】知识点平面向量数量积的运算律已知向量a, b, c与实数入，则交换律a - b = 0 b - a结合律（入 a） b=臼入（a b）=巴 a （入 b）分配律（a+b） c=°4a - c+ b - c【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设 a, b, c均为非零向量且 a- c=b- c,不能得到a=b.事实上，如图

2、所示， O&a, Ob= b, Og= c, ABL OCT D,可以看出，a, b在向量c上的投影 分别为 | a|cos / AOD | b|cos / BOD 此时 | b|cos / BOD= | a|cos / AOD= OD 即 a c = b c.但 很显然bwa.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a b)ca(b-c),这是由于a-b, bc都是实数，(ab)c表示与c方向相同或相反的向量，a(bc)表示与a方向相 同或相反的向量，而 a与c不一定共线.蓟1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)对于向量a, b, c等式(a - b)

3、 - c=a(bc)恒成立.()(2)若 a b = a c,则 b= c,其中 aw0.()(3)( a+b) ( a b) = a2b2.()答案 (1) x (2) x (3) V2.做一做(1)已知|a|=2, b在a上的投影的数量为一2,则a(a b)=.(2)已知 |a|=3, |b| =4,则(a+b) (ab)=.(3)已知 | a| =6, |b| =8,a, b> =120° ,则 | a2-b2| =, | a-b| =, | a2+ b2| =.答案 (1)8(2) -7 (3)282炯 100核心素养形成题型一求向量的夹角例1已知单位向量 e1, e2

4、的夹角为60° ,求向量 a=e+e2, b=e2 2a的夹角.解设a, b的夹角为。，二单位向量的夹角为60° ,。1e1 e2= |e“| e21cos60 = 5.a , b = (e1 + e2) (e2 2e) = e1 e?+ e2 2e1 2e1 , e2= e2- 2e1 e e2= 1 2 2 =3 2，| a| = y/a = 仆e1 + e22 = | e1 2 + | e2|2+ 2e e=1 + 1 + 1 = >y3.| b| =那=ele2-2ei2= $ 回 2- 4e1 e2+ 4| e1 2 = 11 + 4 4x 2 =3.3一

5、a - b 21"=丽=73 - 2.0 0 , Tt ,0 =120° .金版点睛求向量a, b夹角0的思路(1)解题流程 I .a b r：求| a| , | b| 一 计算a b 一 计算cos 0 = - 一 结合0 0 ,兀,求出9! | a| b| |(2)解题思想：由于| a| , | b|及a b都是实数，因此在涉及有关| a| , | b|及a b的相应 等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量.跟踪训练1已知| a| = 3, | b| = 5, | a+ b| = 7,求a b及a与b的夹角.解.|a+b|=7,. (a + b)2= a2+2a -

6、 b+b2= | a|2+2a - b+| b| 2=34+2a b = 49,a b=15.15设a与b的夹角为 0 ,则cos 0 = a b | a| b| 3x5 2又 0 0 ,兀，故a与b的夹角0 =60° .题型二求向量的模例 2 已知 x= 1 是方程 x2+ | a| x + a , b= 0 的根，且 a2= 4, < a, b= 120 .求：(1)向量b的模；(2)向量入b的模.解(1) .a2=4,|a|2=4,即 |a| =2.把x= 1代入方程x2+ | a| x + a , b= 0,得1 + |a|+a b=0,，a b= 3,贝Ua- b=|

7、 a| b|cosa, b> =2|b|cos120° =- 3, |b| =3.(2)由(1)知| b| =3,.| 入 b| = | 入 | b| =3| 入 |.金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论(a + b)2= a2+ 2a - b+b2;(a + b) ( a b) =a2 b2.证明 (a+ b)2 = (a+ b) (a + b) = a a+ a , b+ b , a+ b , b=a2 + 2a , b+b2.(a + b) ( a b) = a a a b+ b a-b b= a2- b2.说明：下列结论也是成立的：(a-b)2=a22a - b+b2

8、,(a+b) ( c+ d) = a c+ a d+b c+ b d.(2)由上述结论，我们不难得到4a - b=(a+b)2-(a-b)2,122即 a b = ( a+ b) -(a-b).我们把该恒等式称为“极化恒等式”.(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|：勿忘记开方.一些常见的等式应熟记，如(a± b)2=a2±2 a b+b2, (a+b)( ab) = a2b2等.提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方.跟踪训练 2(1)已知 | a| =6m，| b| = 1

9、, a b= 9,贝U a, b=()A. 120°B. 150°C. 60°D. 30°(2)已知| a| = | b| = 5,向量a与b的夹角为-3,求| a b| , | a+ b|.答案 (1)B(2)见解析a - b -9J3a,解析(1)cos <a, b> =|a| b| = 6/一拳，又 0。w a, bW180。，所以 b> =150° ,故选 B.(2)解法一：| a + b| =弋a+ b2 =a2+b2+ 2a b=3 a|2+ | b|2+ 2| a| b|cos"""

10、<a, b>=-j52+ 52 + 2X5X5Xcos -3=53.| a - b| = al_a b_2 = a2+ b22a b = | a|2+|b|22| a| b|cos""<a, b>-2-_兀-+ 5 2X5X5Xcos -= 5.3-ifi解法二：以a, b为邻边作？ABCD设AC BD相交于点E,如图所示.一 . 兀|a| =| b| 且/ DAB=,3.|a b|=|DB = 5, |a+b|=|AQ=2|AE>/| AE|2-|BE2 =2题型三用向量数量积解决垂直问题例3已知平面上三个向量 a, b, c的模均为1,它们

11、相互之间的夹角为120° ,求证(a- b) ±c.证明证法一：= | a| = | b| = | c| = 1,且a, b, c之间的夹角均为120° , . . (a-b)=a - c-b - c= | a| c|cos120 ° - | b| c|cos120 ° = 0.(a-b) ±c.证法二：如图,设OA= a, Ob= b, Oc c,连接AB AC BC的三条线段围成正三角形 ABC O为ABC勺中心，.二OGLAB又.飞A a-b,(a- b) ±c.金版点睛要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形

12、；如果是几何的形式表示，它往 往对应一个向量关系式.要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用 哪种形式解决问题方便就选用哪种形式.跟踪训练3 若o为乙abcw在平面内一点，且满足 (Ob-Oc (O拼Oc- 2OA = 0,则 ABC勺形斗犬为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. A, B, C均不是答案 C解析 由(Ob-Oc (O跳Og2*=。，得 Ck (AB+AC) = 0,_. > > >又.CB=AB-AC(Ab-AC) (AB+AC = 0,即|AB|2 |AC2=o.| AB = | AC. .abc等腰三角形.随堂水平达标1.若

13、向量a的方向是正北方向，向量 b的方向是西偏南 30°方向，且|a| = |b| = 1,则(3a) (a+ b)等于()3A. 2c.3D.答案 B一一 1解析 由题意知a与b的夹角为120 , .a - b=-2. ( 3a) , ( a+ b) = 3a 3a , b= .2.若向量a与b的夹角为60° , |b| =4,(a + 2b) ( a3b) = 72,则向量a的模是()A. 2B. 4C. 6答案 CD. 12解析 (a+2b) ( a3b) = a2a - b-6b2= | a|2-| a| X4X |-6x 16= 72.解得 | a| = 6.3.已

14、知a, b均为单位向量，它们的夹角为60° ,那么|ab|等于()A. 1B. 2C. 3D. 2答案 A解析 | a b| = 4一a b2 = yja2 + b2 2a b=W+ 122 1 cos a, b= 2 2cos60° = 1. . TT ,一4 .已知a, b, c为单位向量，且满足3a+入b+7c=0, a与b的夹角为 力，则实数 入3 .答案 8或5解析 由 3a+ 入 b+7c=0,可得 7c = (3a+ 入 b),贝U 49c2=9a2+ 入 2b2+6 入 a b.由 a, b, c为单位向量，得 a?= b?= c?= 1,则49 = 9+入之+6入cos-3-,即 入之十3入- 40= 0,解得 入 =8或入=5.5 .已知 | a| =4, | b| =3, (2a3b) (2a+b)=61,(1)求a与