正交试验设计的极差分析

1、第7章正交试验设计的极差分析正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法（又称直 观分析法），另一种是方差分析法（又称统计分析法）。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。7.1单指标正交试验设计及其极差分析极差分析法简称R法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图 7-1所示。Kjm1图讦-1-R-法示j图中，j第j列因素m水平所对应的试验指标和）由Km的大小可以判断j油素聊标评和各国理ns忐,或最优组合R为第j列因素的极差，即第j列因素各水用大值与最最优组小值之差:R=max（K；KL ,Km）-min（耳，Km）R反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变

2、动幅度。 R越大,说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据R的大小, 就可以判断因素的主次极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例6 - 2来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。一、确定因素的优水平和最优水平组合例6-2为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。在例6 -2中，不考虑因素间的交互作用(因例6-2是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表)，表头设计如表6 - 5所示，试验方案则示于 表6 - 6中。试验结果的极差分析过程，如表7- 1所示.表6-4因素水平表水素加水量(m

3、l/100g) A加酶量(ml/100g) B酶解温度(C) C酶解时间(h) D1101201.52504352.53907503.5表6-6试验方案及结果试验万因素试验结果液化率(%)ABCD11(10)1(1)1(20)1(1.5)0.00212(4)2(35)2(2.5)17.0313(7)3(50)3(3.5)24.042(50)12312.05223147.06231228.073(90)1321.008321318.09332142.0试验指标为液化率，用y表示，列于表6 - 6和表7 - 1的最后一列表7-1试验方案及结果分析试验万因素试验结果液化率(%)ABCD11(10)1

4、(1)1(20)1(1.5)0.00212(4)2(35)2(2.5)17.0313(7)3(50)3(3.5)24.042(50)12312.05223147.06231228.073(90)1321.008321318.09332142.0K141.013.046.089.0=189.0K287.082.071.046.0K361.094.072.054.013.74.315.329.729.027.323.715.320.331.324.018.0优水平ARGDR15.327.08.714.4主次顺序B A D C计算示例：因素A的第1水平A所对应的试验指标之和及其平均值分别为：1 .K

5、i=yi+y2+y3=0+17+24=41, KA1 - Kai=13.73同理，对因素A的第2水平A2和第3水平A,有KA2=y4+y5+y6=12+47+28=8Z 心 1 Ka2=293&=y7+y8+y9=1+18+42=61,。； Ka3=20.3由表7 - 1或表6 - 6可以看出，考察因素A进行的三组试验中(A,A2,A3), B、C D各水平都只出现了一次，且由于B、C D间无交互作用，所以B、C、D因素的各水平的不同组合对试验指标无影响，因此，对A、A2和A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的。假如因素A对试验指标无影响，那么二,心,口 应该相等，但由上面的计标可知，K7,

6、KT2,K1实际上并不相等，显然，这是由于因素 A的水平变化引起的,因此，。心,心 的大小反映了 Ai、A和A对试验指标影响的大小。由于 液化率y越大越好，而 心 KL K；,所以可判断A为因素A的优水平。同理，可判断因素R C、D的优水平分别为B、G、D。所以，优水平 组合为ABGD,即最优工艺条件为加水量A=50ml/100g、加酶量 R=7ml/100g、酶解温度 G=50 C和酶解时间D=1.5小时。二、确定因素主次顺序极差R按定义计算，如RA k72 kT129.0 13.715.3,同理可求出 R和R.计算结果列于表 7-1中。比较 R值可知 RFARR,所以试验因素对试验指标的影

7、响的 主次顺序为BADC即加酶 量影响最大，其次是加水量和酶解时间，而酶解温度的影响最小 。三、绘制因素与指标趋势图为了更直观地反映因素对试验指标的影响规律和趋势 ，用因素的水平 作横坐标，试验指标白平均值（Kj）作纵坐标，画出因素与指标的关系图（即 趋势图），如图7-2所示.（p137）趋势图可为进一步试验时选择因素水平指明方向 .如对因素A,由图 7-2可见,A2水平时，指标最高，但若能在A附近再取一些水平（如40、60） 作进一步试验，则有可能取得更高的指标；对口因素，若能取一些比D更小 的水平（如1.0和0.5）作进一步试验，也有可能得到更好的结果.以上三个步骤即为极差分析的基本程序与

8、方法.四、说明与讨论1、计算结果的检验：每一列的K之和应等于全部试验结果（即指标值）之和，即 Kj yj , m为水平数,n为试验总实施次数. j1j12. 因素的最优水平组合, 在实际处理中是灵活的 , 即 对于主要因素 , 一定要选最优水平; 而对次要因素 , 则应权衡利弊, 综合考虑其它条件进行水平选取 , 从而得到最符合实际生产的最优或较优生产工艺条件.3. 例 6-2 的最优工艺条件A2B3C3D1 并不在实施的 9 个试验之中 . 这表明优化结果不仅反映了已做的试验信息 , 而且反映了全面试验信息 . 因此 , 正交试验设计的部分实施方案反映了全面试验信息 .4. 例 6-2 得出

9、的 最优工艺条件, 只有在试验所考察的范围内才有意义, 超出这个范围 , 情况就可能发生变化。另外, 只能说是“ 较优工艺条件” , 而不能说是“最优工艺条件” . 最好能根据趋势图做进一步试验, 找出最靠近最优的工艺条件.5. 对已确定的最优工艺条件（如例6-2的A2RGD）进行重复试验，验证其试验指标是否最优.6. 2 多指标正交试验设计及其极差分析在实际生产和科研试验中 , 所要考察的指标往往不止一个, 这一类的试验设计叫做 多指标试验设计. 在多指标试验设计中 , 各指标之间可能存在一定的矛盾, 如何兼顾各个指标, 找出使每个试验都尽可能好的试验条件呢 ?换言之，应如何分析多指标试验设

10、计的结果呢?常用的有两种方法 : 综合平衡法和综合评分法 . 下面举例说明 综合平衡法的分析方法 .这种方法在试验方案安排和各指标计算分析方法上 , 与单指标试验完全一样 . 其步骤是先分别找出各个指标最优或较优的生产条件 , 然后将这些生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的生产条件.例7-1在油炸方便面的生产中，主要原料质量和主要工艺参数对产品的质量有影响。今欲通过正交试验确定最佳生产条件。一.试验方案设计1 .确定试验指标评价方便面质量好坏的主要指标是：脂肪含量（越低越好），水分含量 （越高越好）和复水时间（越短越好）。2 .挑因素，选水平，列出因素水平表根据专业知识和实际经验，确

11、定试验因素和水平，如表 7-2所示。表7-2 因素水平表不广灯素湿面筋值（%）A改良剂用量（%）B油炸时间（s）C油炸温度（C）D1280.05701502320.075751553360.10801603 .选正交表，设计表头，编制试验方案本试验是四因素三水平试验，不考虑因素间的交互作用，因此，可应 选L9（34）安排试验，表头设计和试验方案见表 7-3 （p140）。按上述方案实施后，将每一项试验指标都记录下来，见表 7-3。注：对极差分析可以这样选正交表，但对方差分析应留有空列，以便估计 试验误差.表7-3试验方案及结果分析试验节因素试验结果ABCD脂肪水分复水时间(%)(%)(s)11

12、(28)1(0.05)3(80)2(155)24.82.13.5212(0.075)1(70)1(150)22.53.83.7313(0.10)2(75)3(160)23.62.03.042(32)12123.82.83.05223322.41.72.26231219.32.72.873(36)11318.42.53.08322219.02.02.79333120.72.33.6Ki70.967.060.267.0=194.5K265.563.066.463.1脂K358.163.667.964.4肪23.622.320.122.3含21.821.322.121.0重19.421.222.62

13、1.5R4.21.12.51.3Ki7.97.49.08.9=21.9K27.27.56.86.8水 分K36.86.96.16.22.632.473.002.97含i=t2.402.502.272.27重2.272.302.032.07R0.360.200.970.90Ki10.29.59.510.3=27.5复K28.08.68.79.0水K39.39.49.38.2时3.403.173.173.43问2.672.872.903.003.103.133.102.73R0.730.300.270.70二.试验结果分析1 .计算每列各水平下每种试验指标的数据和（K, K）,及其平均 值（K；,

14、K；,K；）,并计算极差R,填入表7-3中。2 .画出因素与各种指标的 趋势图，如图7-3所示（p140）。3 .按极差大小列出各指标下 各因素主次顺序：各因素主次顺序表试验指标主一次脂肪含量（衿A G D B水分含量（衿G D A B复水时间（s）A D B G4 .初选最优工艺条件根据各指标下的平均数据和 用,舟,可，初步确定各因素的最优水平组 合为：对脂肪含量（衿：A3B3GD2（脂肪含量越低越好）对水分含量（衿：ABGD（水分含量越高越好）对复水时间（s）： A2BGD3（复水时间越短越好）5 .第育丫衡确定最优工艺条件（难点）！由于三个指标单独分析出来的最优条件并不一致，所以必须根据

15、因素 对三个指标影响的主次顺序，综合考虑，确定出最优条件。首先，把水平选取上没有矛盾的因素的水平定下来，即如果对三个指标影响都重要的某一因素，都是取某一水平时最好，则该因素就是选这一水平。在本试验中无这样的因素，因此我们只能逐个考察每一因素。对因素A:从主次顺序来看，对脂肪含量和复水时间的影响都排在第 一位为主要因素，而对水分含量的影响则排在第三位，属次要因素，因此,应以主要因素为主选因素的水平。从初选的最优水平组合中可以看出，对 脂肪含量选A为好，而对复水时间，则选A2为好。因为二者不一致，所以 还须根据试验结果分析确定选 为还是 A 从表7-3可知，当取A2时，复水 时间比取 A 时缩短

16、16.1%(有利),即(2.67-3.10) + 2.67 X 100%=-16.1% 而脂肪含量只比取 A时增加11.0% (不利)，即(21.8-19.4)+21.8 X100%=11.0%且从水分含量指标来看，取 A也比取A3时更好，因此，应选 取A2水平。注：当取A时，脂肪含量比取A2时降低12.4%(有利)，即(19.4-21.8)/19.4 X100%=- 12.4%,复水时间比取 A时增加13.9% (不利),即(3.10-2.67 ) /3.10 X 100%=13.9%综合平衡A不利有利A11.0%16.1%A13.9%12.4%.对“有利”部分，A2A;对“不利”部分，A2

17、 “不利”；选D3时，“不利” “有利”. 并且D （有利）D3（有利之和绝对值）,D1 （不利之和） D3（不利绝对值）.因 此,从定量分析来看,D应取D,而不是取D3.那么,究竟如何决定D的水平呢？ 最后，应该再进行ABGD和ABCD3两次试验，由试验结果决定D好还是D3 好！实践是检验真理的唯一标准！7.3混合型正交表的试验设计极差分析前面讨论的都是水平数Ln（mk）相同的正交试验设计.但在实际工作中， 有些试验受到设备、原材料和生产条件等限制.某些因素的水平选择受到制约，或者在有些试验中，要重点考察某个（或某些）因素需要多取几个水 平，这时就会遇到水平数不同的正交试验设计.在这种情况下

18、，通常有三种解决方法：一是直接选用合适的混合型正交表；二是采用拟水平法；三是 采用拟因素法.我们现在只讨论第一种方法，即使用混合型正交表 Ln（mk1 m2k2）进行正交试验设计.例7-2 某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关，为 确保产品质量，提出工艺要求。现通过正交试验设计寻求理想的工艺条件。 一. 试验方案设计1 .确定试验指标本试验的指标为油炸膨化食品的体积，体积越大越好.2 .挑因素、选水平、制定因素水平表根据专业知识，制定因素水平表如7-4所示，因素A取4个水平，因素B和C各取2个水平，所以属于水平数不相等的正交试验设计.表7-4因素水平表水素油炸温度(C)A物料含

19、水量(%)B油炸时间(s)C12102.03022204.040323042403 .选正交表、设计表头、编制试验方案本试验宜选用L8(41X 24)正交表安排试验，表头设计时,把A因素放在第 一列，其余两个因素可随意安排在四个二水平列中，比如依次排在第二、三 列中，把所安排因素的各列的水平数字后标上相应因素的具体水平值，即得出试验方案，如表7-5所示.按表7-5试验方案实施后，所得试验结果列于表7-5中的最后一列.表7-5试验方案及结果分析试验号油温A含水量B时间C体积Xi(cm3/100g)1234511(210)1(2.0)1(30)11210.0212(4.0)2(40)22208.0

20、32(220)1122215.0422211230.053(230)1212251.0632121247.074(240)1221238.0842112230.0KiK2K3K4418.0445.0498.0468.0914.0915.0902.0927.0=1829.0209.0228.5225.5222.5228.75231.75249.0234.0R40.00.256.2525.460.3558.875试验结果分析1 .计算各列各水平下的K、K及R由于各列的水平数不完全相同，所以K和K的计算略有差异.第1歹U：由于有四个水平数，所以要计算四个K与K,每个K由二个数 据相加得到，因此K=K

21、/2.例如：第2、3歹U：由于只有两个水平，所以只要计算两个K与K_,每个K由四个 数据相加得到，因此K=K/4.例如：按上述方法计算出各列各水平下的K、K以及R值，列于表7-5中.2 .计算R的折算值R（极差R的折算）当因素的水平数相同时，因素的主次顺序完全由R决定.但当因素的水 平数不同时,直接比较R是不行的.这是因为，若两个因素对试验指标有影响，一般来说，水平数多的因素极差可能大一些.因此，要用一个系数把极差R折算后才能作比较.极差的折算公式如下：式中 R-折算后的极差；R-因素的极差；r-该因素每个水平试验的重复数，r=-;md-折算系数，与因素的水平数有关，其值见表7-6。表7-6折

22、算系数表m d R水平数m2345678910折算系数d0.71 0.52 0.45 0.40 0.37 0.35 0.34 0.32 0.31本例中，R的折算如下：计算结果列于表7 - 5中.3 .根据R大小确定因素的主次顺序主-次A C B即油炸温度对实验指标的影响最大，其次是油炸时间，而物料含水量 的影响最小。4 .画出因素指标趋势图，如图7-4所示（p146）5 .选各因素的最优水平及最优水平组合比较各因素各水平下的K值（本例中K越大越好），并参考因素指标趋 势图，得出最优水平组合为 ARC2或ABC2,即油炸温度230摄氏度，油炸 时间40秒，物料含水量对试验指标影响很小，故取 2炖

23、4%TB可以，视具 体情况而定。由表7-5可见，若最优水平组合 ABG,则该试验即表中的第5号试验, 实验指标值即膨化体积为251.0 cm3/100g,为表中所列最大值；若最优水 平组合为AB2G,则需再实施一次该水平组合下的试验，作为验证。6 .4考察交互作用的正交试验设计及极差分析一、交互作用的概念前面介绍的正交试验设计与试验结果的分析方法，都是指因素间没有(或不考虑)交互作用的情况，实际上，在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生影响。所以，因素对试验产生的总效果，是由每一个因素对试验的单独作用再加上各个因素之 间的搭配作用决定的。这种因素间的联合搭配

24、对试验指标产生的影响作 用，称为交互作用。例如，我们要考虑化学反应的温度(A与时间(B)对产品收率的影 响，温度和时间都取二个水平，即 a A2和b ：2。在各ab组合条件的平均 产品收率，可能有如下三种情况：(1)不论B因素取哪个水平，A2水平下收率总比Ai水平高10;同样， 不论A因素取哪个水平，B水平下的收率总比B水平下高5。在这种情况 下，一个水平的好坏或好坏程度不受另一个因素水平的影响，这种情况称 为因素A与B之间无交互作用。(2)在B水平下A比Ai的收率高，但在B2水平下，Ai比A的收率高。 这种一个因素水平的好坏或好坏程度受到另一因素水平制约的情况，称为 因素A由于因素B存在交互

25、作用，一般用 AX B表示。(3)不论B因素取哪个水平，A水平的收率总比Ai水平下高，但高的程度不等，这也说明因素A与B存在交互作用（1） A与B间无交互作用（平行线）这是客（2） A与B间有交互作用（AX B）（3） A与B间存在交互作用（AX B）图7-4 A与B间的交互作用情况事实上，因素之间总是存在着交互作用的 观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不已。一般的，当交互作用很小时，就认为不存在交互作用。因素间的交互作用对试验指标的影响，可能是正的，也可能是负的。有人说：“中国人一个人像一条龙，三个人像一条虫；日本人一个人像一条虫，三个人像一 条龙。”这说明中国人之间的交互作用常常产生负

26、面效应。（一个和尚挑水喝，二个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。团结就是力量，集体主义精神）在试验设计中，表示因素A、B间的交互作用记作AX B,称作一级交互 作用；表示因素A、B C之间的交互作用记作 AX BX C,称作二级交互作 用；依次类推，还有三级、四级交互作用。 二级和二级以上的交互作用称 为高级交互作用。在试验设计中，通常忽略高级交互作用。2.交互作用的处理原则处理交互作用的总原则是，将交互作用当作因素看待，并将交互作用安排在能考察交互作用的正交表的相应列上（表头设计） ，它们对试验指 标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简便。 但交互作用又与试验 因素不同，主要表现在： 1） 1

27、） 用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施； 2） 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有 （m-1）p列。即表头设计时，交互作用所占正交表的列数与因素水平m和交互作用的级数p有关，并且m和p越大，交互作用所占列数也就越多。例如，二水平 因素的各级交互作用均只占一列，即 （m-1）p=（2-1） p=1;对于三水平因素，（m-1） p=（3-1） p=2p, 显然一级交互作用占两列（21=2） ，二级交互作用占四列（22=4）对于交互作用的具体处理原则是：（ 1）忽略高级交互作用；（ 2）有选择的考虑一级交互作用；正是由于忽略可以忽略的交互作用，才使正交试验法具有减少试验次数的优点

28、。（ 3）试验因素尽量取二个水平因为二水平因素的各级交互作用均只占一列，所以选取二水平可以减少交互作用所占列数和减少试验次数。二、考虑交互作用的正交试验设计方法例 7-4 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。1. 试验方案设计（ 1） 确定试验指标（ 2） 挑因素、选水平、制定因素水平表 （根据专业知识，制定出的因素水平表见7-10 ，此处略。）（ 3）选正交表选正交表时，一定要把交互作用看成因素，同试验因素一并加以考虑。所选正交表试验号的大小，应能放下所有要考察的因素及交互作用，并且最好有12列空列，用

29、以评价试验误差。本例是三因素二水平试验，对于二水平因素，交互作用AX B, AX C和 BX C都各占正交表一列， 加上A （灰化温度）、B （原子化温度）、CRT 电流）各需一列，共需六列。查附表7 （p329）可知，选用L8 （27）最合 适。（ 4）表头设计表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排， 必须严格按照交互作用表（ see p329 附表7 ）进行安排。这是考虑交互作用的正交试验设计的一个重要特点，也是其试验方案设计的关键一步。每张标准正交表都附有一张交互作用表 （见附表7） ， 用于表头设计。正交表L8 （27）的交互作用表7-11 （p151）。表中所有数字均为列号，括

30、号里的数字表示各因素所占的列。任意两个括号列纵横所交的数字，即为这两个括号列所表示的因素的交互作用列。例如，第 1 列和第 2 列间的交互作用列是第3 列；第 1 列与第 4 列之间的交互作用列是第 5 列；第 2 列与第 4 列之间的交互作用列是第 6 列；等等。于是，就可把试验因素以及所要考察的交互作用安排在正交表的相应列上，进行表头设计。对本例，可将因素A和B分别排在第1、2列上，则AX B必须排在第 3列上；再将C排在第4列上，而AX C必须排在第5列上，而BX C必须排在第6列上，第7列为空列。表头设计见表7-13表7-13 表头设计因素ABAX BCAX CBX C列号123456

31、7表头设计的一个重要原则是避免混杂。所谓混杂，是指在正交表的同 一列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用。这样，就无法区分同 一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。为了避免混杂，在表头设计中应优先安排主要因素和涉及交互作用的 因素，而不涉及交互作用的因素应放在后面安排 。又如，某试验要用L8 (27)正交表考察 A B G D四个因素和交互作 用BX C与CXDO则在表头设计时应优先安排涉及交互作用的因素 B、G D,因为A不涉及交互作用，所以可以放在后面安排。将 B和C分别排在 第1、2歹U,则由交互作用表可知，BX C只能排在第3歹U;再在第4列排 上D,则CX D只能排

32、在第6歹U;现在还剩下第5、7列供排因素A,因为 第5列反映的是BX D (这里不考虑)，所以将A排在第7歹限这样安排可 避免因素的混杂。表头设计结果如表 7-12所示。表7-12 表头设计因素BCBX CDCX DA列号1234567(5)编制试验方案表头设计完成后，将正交表安排有因素各列的水平数字，加注相应因素的具体水平值，即构成试验方案。(应该指出的是，交互作用不是具体的因素，而只是因素间的联合搭配作用，故无所谓水平问题。）安排交互作用的各列对试验方案及试验的具体实施不产生任何影响，但在计算和 分析试验结果时要用到它。本例试验方案见表7-14 （p153）.表7-14 试验方案及结果分析

33、试 验 号ABAX BCAX CBX C吸光度Xi123456711(300)1(1800)11(8)1110.24221112(10)2220.224312(2400)211220.266412222110.25852(700)1212120.236621221210.240722112210.279822121120.276K10.990.9421.0211.0231.0241.0121.019=2.02K21.0311.0791.000.9980.9971.0091.0020.24750.23550.25530.25580.25600.25300.254810.25780.26980.25000.24950.24930.25230.2505R0.01030.03430.00530.00630.00670.00072、试验结果的极差分析按表7-14试验方案实施后（试验顺序完全随机化），将试验结果（吸 光度）也列于表7-14中，然后用极差分析法进行计算与分析。（1）计算K、K和R计算方法与前面介绍的相同，需要注意的是交互作用与因素一样看待,交