平面向量中三点共线定理探究

1、平面向量中“三点共线向量定理”探究三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在向量共线定理：对平面内的任意两个向量r r实数，使a b.r rrrrra、bb0,a /b的充要条件是：存在唯一的由该定理可以得到平面内三点共线定理:三点共线定理：已知平面内一组基底 则A , B , P三点共线，当且仅当uuu uuruuu uiuiruuuuuuOA QB及任一向重 OP, OP10A2OB1，2 R1+2= 1.1,使证明：如图uur uuuAP ABuurOPA,B,P三点共线,uuruur uuuOAOB OA当且

2、仅当有唯一一个实数uuuruuuuurOP1 OAOB,10令1=1uuu即为向量OP的系数uur uuu uur，则OP 1OA 2OB，且 1+ 2= 1.定理特征：uuu uuu1向量OAOB的系数之和等于11 ,此时1=10，此时1=12点P的位置是随着1,2的变化而变化的uuuuuu令 1=1, 2, OP 1 OA当点P在线段A时时，01,此时1=1当点P在线段AB勺延长线上时， 点Pft线段AES向延长线上时，.如图uuruuuuur2 ,OP1OA2OB且1+ 2 =:1uuuuuuruuruuruuruuuuuuOBOP OAOBOAAPAB0,1 , 20,1,0,21,0

3、,2,0当点P与点A重合时，=0,此时1=1当点P与点B重合时,=1 ,此时1=11,200,21.uur uuu推论：在 OA冲，P为直线AB上的一点，且 AP PB,uuu 1 uuu uur则OP OAOB11定理应用1:由三角形边上的分点引出向量问题例1.在uuuABC 中，ABr uur rc, AC b,若点 Duur满足BDuuir2DC,uuur则AD2rA b1 r-c2r C.-b口 5r 2rB. c b1 r-cc 1r 2r D. b cuur所以AD1 uuuAB + 1+2uuur练习1.在ABC1 r AC = -c1+2332 r 一-b ,所以答案为A.uu

4、iT中，已知点D是AB4上一点，若 ADuuur uur 2DB,CD1 uur -CA 3uuuCB,贝UA. 23C.-3D.-3解析：如图4 ,一， , 1因为A,B,D三点共线，所以- 十31,所以答案为A.定理应用2:由过三角形一边上分点的直线引出向量问题例2.如图5 ,在 ABC中，点P是直线BC±的一点，且满足uuuuuuir uur uur交直线AB,ACT不同白两点M,N,若AM mAB , AN nAC, muuuBP0,nuuirPC ,过点P的直线分别0 ,贝一 m nuur解析：由推论可知，AP1 uurAB1uur 1 uuuuuuirAC AM AN11

5、m 1n因为M , P, N三点共线,一+=1,m 1 n+ -=1+ . m n练习2.如图6 ,在ABC uuir于不同的两点M,N,若AB中，点 皿BC勺中点,过点D的直线分别交直线AB,AC uunn uuuruuirmAM , AC nAN ,则 m n解析：因为皿BC勺中点,所以uuir AD1 uur 1 uurAB AC22m uuur -AMn uuir -AN, 2又因为M,D,N三点共线，所以m n一十 - 1,所以 m+n 2.练习3.如图7 ,在ABCuuruuir中，点D满足BD =2 DC,过点D的直线分别交直线AB,ACuuuu于不同的两点M,N,若AMuur

6、uuiruuur 1 2mAB, AN nAC,则一m nuuir解析：令 =2,则AD1 uuuu AM 1+2 m2u1r12例3.如图8 ,设点就在ABCuuur uurr iur 且满足AM mAB , AN定理应用3:由过三角形重心的直线引出向量问题的重心，过点G直作直线MNF直线AB,ACfc于不同的两点M,N,uuur11nAC , m 0, n 0 ,则一一 m n解析：设MBC勺中点,uur则AG2 uuir -AD31 uuir 1 uuur1 uuuu 1 uur1 AB * 1 AC AM ,AN,因为 M,G,N333m3n三点共线，工=1,3m 3m=3. m练习4

7、.如图8 ,设点加在 ABC的重心,过点G直作直线MN1直线AB,ACM边分别交于uuuuM,N,两点,且AMuur uuiruuurmAB, AN nAC , mAMN2 - E§ S abc ,则 m1 -右m 贝Un2一一 一 , 1解析：因为一 m1=3, n1 时，n 1. 2因为若S AMN3sABC ,S AMNS ABC1AM AN sin MAN=21八AB AC sin 2BACmn23,因为工1=3m n3mn 2.定理应用4:由三点共线定理引出的数列求和问题uuu uuu例4.已知等差数列uur且A,B,C三点共线an的前 n项和为 & ,若OB =

8、a10A +a2ooOC ,该直线不过原点0 ,则S200 =A100B.101C.200D.201解析：由A,B,C三点共线可知，a!+a2oo=1,200 a1 +a200S200 = T=100.所以答案为A.uuu uuur解析：因为AB=dBCA B,C三点共线a2+a2019=1，S20202020 a2 + a2019 =1010.2所以答案为B.定理应用5:由三点共线定理引出的不等式求最值问题例5如图9 ,在ABC中, uuur于不同的两点M,N,若AMuuiruur点D满足BD =2 DCuur uur mAB, ANA.3B.4uuurnAC, mC.83,过点D的直线分别

9、交直线 AB,AC0,n 0则2n最小值为c 10D.3解析：因为uuir uuir uuurBD =2 DC,Q AD11+2 muuuuAMuuur-AN, n12一 一3. m nm 2nm 2n 3m23n2n 2m3m 3n2-3.3故选A.1时成立,n即muur2019OC，等号当且仅当空= 2m, 3m 3nuuin unn且 AB=dBC, OA.0BC,则S200 =B.1009C.2017D .2020练习7.如图10 ,在ABCuur中，点D是BC勺中点过点D的直线分另I交直线AB,AC于不同的两点M,N,若ABuuuu uuur mAM , ACuuir1 nAN，则一2的最小值为A43+ . 2B.2C.- +2D.6解析：因为D是BC勺中点,