临沂大学线性代数期末试卷(word文档良心出品)

1、临沂大学历年试题第一部分选择题（共28分）一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。、单项选择题（本大题共 14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有2.设D,则 A12A22A32A422 .设矩阵A =，则A-1等于（13A. 0B.012013C. 00D.01303 .设矩阵21 , A*是A的伴随矩阵,4中位于（1,2）的元素是（A. -6C. 24 .设A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有（A. A =0C. A 0 时 B=C5 .已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（8. 6D. 2)B. BC 时 A=0D. |A| 0 时 B=CA.

2、 1C. 36.设两个向量组A.有不全为 B.有不全为 C.有不全为D.有不全为AT)等于(B. 2D. 4,a s和3 1, 3 2,3 s均线性相关,则(0的数入0的数入0的数入0的数入1111入2,，入s使入1a1+入2口2+一 +入sa s=0和入1 3 1+入22+入s 3 s=0入2,，入s 使入1（a1+1）+入2（a2+32）入2,，入s 使入1（a1-31）+入 2（a2-32）入2,，入s和不全为0的数科1 , （12,，+ + 入 s ( a s+ 3 s) =0+入s (as- 3 s) =01+ 入 2 a 2+ +a11a21a12a22a13a232,则2aii2

3、a212 a122a222a132a23-160a31a32a332a312a322a33错选或未选均无分。1.如果行列式17入 s a s=0 和 1 3 1+（12 3 2+一+科 s 3 s=07.设矩阵A的秩为r,则A中（）B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,A.刀1+打2是Ax=0的一个解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nC.A=0刀1,刀2是其任意2个解，则下列结论错误的是（B.-刀1+ -刀2是Ax=b的一个解 22D.2 Y1 1- Y 2 是 Ax=b 的一个解）B.

4、秩（A尸n- 1D.方程组Ax=0只有零解10 .设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量 a使Aa = X a ,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量a ,使（入E- A） a =0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1, “2, a 3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则a 1, a 2, a 3有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入。的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A. k <3C. k=3B. k<3D

5、. k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2 必为 1B.|A|必为 1C.A- 1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC4U （）A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（34002 33 52 A.31C. 003 B.21 1 1D. 1 2 01 0 2A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于0第二部分二、填空题（本大题共 10小题，每小题非选择题（共72分）2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空

6、格内。错填或不填均无分。15. 3 56.1116.设 A =1 19 25 362 3.则 A+2B=.2 417 .设 A=（aj）3 x 3 , |A|=2 , Aij表示|A|中元素 aj的代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则 （a11A 21+a12A 22+a13A23）2+（a21A21 +a22A22+a23A 23）2+（a31A 21+a32A22+a33A23）2=18 .设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a）线性相关，则 a=19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，

7、A的秩为r(<n),则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为21 .设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a + 3与a - 3的内积(a + 3 , a - 3 ) =22 .设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .010623.设矩阵 A= 121是它的一个特征向量，则a所对应的特征值2 108224.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)1225 .设 A= 3 41 226 .试计算行列式427 .设矩阵A= 100 , B 二13

8、15 120152 312341133.求(1) ABT； |4A|. 02 32130130128.给定向量组a 1=a 2=,a 3=,a 4=.02243419试判断a 4是否为a 1,a 2, a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。1210 229.设矩阵A= 223求：(1)秩(A)；(2) A的列向量组的一个最大线性无关组。2 230.设矩阵A= 223 4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.4331.试用配方法化下列二次型为标准形222f(X 1 ,X2,X3)= X1 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ,并写出所用的满秩线

9、性变换。答案：一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)15. 6 16.17. 418. -1019. Y 1+C（ Y 2-刀1）（或刀2+C（刀2-刀1） , c为任意常数20. n- r21. -522. t221z22z23z24z三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分）25.解（1） ABT =18 103 10（2） |4A|二43|A|=64|A|,而120|A|=3402.121所以 14A|=64 - （-2） =- 1

10、2826.解3112513420111533511111131001055 30511111155 06 230 10 40.5527.解 AB=A+2B 即（A-2E） B=A,而12231（A- 2E） -1= 11 011所以 B=（A-2E）-1A= 114342 353110641 2 3386=296 .2 12928.解一21301301022434190 5 3213 010 1120 131 1210350112008800141410 0 20 10 10 0 11,0 0 0 010 3 50 1120 0 110 0 0 0所以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,组

11、合系数为( 解二考虑 4 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2, 1, 1)2X1 X2 3X3 0X1 3X212X2 2X343X1 4x2 x3 9.方程组有唯一解2, 1, 1) T,组合系数为2, 1, 1)29.解对矩阵A施行初等行变换1210 200062A03282096321210203283000620002171210 203283=B.0003100000(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B) =3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大

12、线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是)30.解 A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为E 1= (2,-1, 0) T, E 2=_(2, 0, 1) T. _2、.5/52 5/15经正交标准化，得 Y 1= J5/5 , Y 2= 475/15 .05/3入=-8的一个特征向量为11/3E 3= 2 ,经单位化得Y 3= 2/322/3所求正交矢I阵为T =1 0对角矩阵 D= 0 10 02 5/5（也可取T= 05/52,5/5 2,15/15 1/3 ,5/5 4,5/152/305/32/30 0 .2J5/151/3.5/32/3 .)4.

13、5/152/3X3)2- 2X22+4X2X3- 7X32 X3)2- 2(X2-X3)2- 5X32.X1 y1 2y2即 X2 y2 y3,X3y301可逆，故此线性变换满秩。1：3)的标准形5y32 .31.解 f(x1, X2, X3)=(X1+2X2-： =(X1+2X2-1 y 1 X1 2X2 2X3设 y2X2 X3 ，y 3X312因其系数矩阵C= 0 100经此变换即得f(X1, X2, y12- 2y22-临沂大学信息学院填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在 每小题的空格内。错填或不填均无分。1.1 13 59 252.设D162

14、614，则 A31A32A331 74 22 0222031T3，则(AB)19.向量组 1(1,2, 1,1)T,2(2,0,3,0)T,3 ( 1,2, 4,1)T的秩等10.设1, 2是n（n 3）元齐次线性方程组AXO的基础解系,则r（A）、选择题（每小题2分，共20分）1.已知AA. 1a x yx 1 0 ,则A中元素a的代数余子式Ai等于（y 0 1B.1C. aD.a3 .设A144 .行列式33302 2971 215 .已知矩阵A 0 2 1, A是A的伴随矩阵，则（A ） 10 016 .A、A分别为线性方程组AX b的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组AX b有解的充分必

15、要条件是.23 17.设 A1 a 1 ,且秩（A）=2,则 a .5038.设A为三阶方阵，且A 3,则2A1.2 .已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,2,2,它们的余子式的值分别为3, 2,1,1,则 A ().A. 3B . 3C. 5D . 53 . A,B均为n阶矩阵，且(A B)2A. A BB. A IA2 2AB B2 ,则必有()C. B I D. AB BA4.设A、B均为n阶矩阵，满足ABA. A B 0 B. r(A) r(B)5.设3 3阶矩阵A ( 1, , ), BC. A。或 B O(2,),其中 1, 2D.|A 0 或 |B 0均为3维列向量,若 A

16、 2 , B| 1 ,则 |A B ().A. 4B . 4C. 2D. 16.设AX B为n个未知数m个方程的线性方程组，r( A) r,下列命题中正确的是().A.当m n时，AX B有唯一解C.当r m时，AX B有解Xi X2 X37.若齐次线性方程组x1 x2 x3B.当r n时,D.当r n时, 00有非零解，则(AX B有唯一解AX B有无穷多解).x1 x2x3 0D . -1 或一2A.1 或 2B.1 或2C. 1 或28 . n阶矩阵A的秩r n的充分必要条件是A中()A.所有的r阶子式都不等于零B.所有的r 1阶子式都不等于零C .有一个r阶子式不等于零D .有一个r阶

17、子式不等于零，且所有r 1阶子式都9 .设向量组1 (1,a,a2)T, 2 (1,b,b2)T, 3 (1,c,c2)T ,则1, 2, 3线性无关的充分必要条 件是().A. a,b, c全不为0 B . a, b, c不全为0 C . a,b,c互不相等 D . a, b, c不全 相等10.已知1, 2为AX b的两个不同的解，1, 2为其齐次方程组AX 0基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组 AX b的通解可表成()A. k1 1 k2( 1C . k1 1k2( 11212B. k1k2 ( 1三、(8分)计算行列式D32112320D.1551k11923k2 ( 11.21

18、224 2 3四、(10 分)设 A 1 10,且 AX A 2X。(1)计算 AAT ; (2) (A 2I) 1; (3)求矩阵 X1 2 3x1 x2 kx3 4五、(12分)k取何值时，线性方程组x1 kx2 x3 k2有唯一解、无解、有无穷多x1 x2 2x34组解？并在有无穷多解的情况下，求出其通解。六、(10分)求下列向量组的秩与它的一个极大线性无关组,并用极大无关组表示该组中的其余向量。1(1, 2, 1,0,2)T, 2 ( 2,4,2,6, 6)T,3 (2, 1,0, 2,3)T,4 ( 3,3,3,3,4)T.2x1 x2 3x3 x41七、(12分)给定线性方程组3x

19、1 2x2 2x3 3x4 3x1 x2 5x3 4x427x1 5x2 9x3 10x4 8(1)利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方 程组的一般解；(2)求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方 程组的全部解。八、(8分)设1, 2, 3为Ax 0的基础解系。证明112 2,22 2 3 33 3 31也是Ax 0的基础解系。线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分，共20分)1.6 2.03.0141713104.55.6. r(A) r(A) 7.8.9.1/211/2011/2001/2210.选择题（每小题2分,共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D四、(2)3211232015511923(10分)解:(A 2E) 13211(D由 AX A 2X1(A 2E) 1 A（12 分）9.C(232 ，0 4740AAT，得（A10.B8-83101)1)18123634)0011)181363182E)X334296991148912解：将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵:4 k2448k2 4(12k 22k)(42k)k(