浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.20 一元二次方程的应用（巩固篇）（专项练习）（附参考答案）

专题2.20一元二次方程的应用（巩固篇）（专项练习）类型一、一元二次方程的应用➽➼传播问题➽➼增长率问题1．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了x个人．(1)用含x的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒？(2)列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？2．年月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了多少人？3．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少?4．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？类型二、一元二次方程的应用➽➼握手问题➽➼数字问题5．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？6．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？7．参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？8．某象棋比赛，每名选手都要与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分．有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数，分别是2017，2070，2018，2078，经核实，只有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？类型三、一元二次方程的应用➽➼图形问题➽➼动态几何问题9．某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．10．第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出人口，共用去隔栏绳50米（靠墙一面不用隔栏绳）．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米?11．如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．12．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．(1)用含x的式子表示：，，，(2)当的面积为时，求运动时间；(3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．类型四、一元二次方程的应用➽➼销售问题13．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．（销售利润销售价进货价）(1)请写出关于的函数解析式___________；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，写出与之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？14．已知A产品的售价比年初上涨了，上涨后购买1件A产品需要元．(1)填空：年初购买1件A产品的价格是______元；(2)某超市将进货价为每件元的A产品，按元价格出售，平均一天能销售件；经调查发现：A产品的售价每下降1元，其日销售量就增加件，超市为了实现销售A产品每天有元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，A产品的售价应该下降多少元？15．根据题意，列出方程：（1）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？（2）三个连续数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？16．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解．类型五、一元二次方程的应用➽➼行程问题➽➼工程问题17．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？18．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．20．某公司主营铁路建设施工．(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．类型六、一元二次方程的应用➽➼图表信息问题➽➼其他问题21．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元平均每次累计票房增长的百分率是多少？在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票22．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?里程x（km）0＜x≤33＜x≤6x＞6单价y（元）N23．国庆节期间，康辉旅行社发布了“南召县五朵山风景区的旅游信息”，某企业组织一批优秀员工到该风景区参加一日游活动，依据一日游信息，该企业一共支付给康辉旅行社2800元．请你算一算该企业参加这次旅游的优秀员工一共有多少人？南召县五朵山风景区一日游信息表（仅限国庆节期间）旅游人数收费标准（含交通费、午餐费）不超过30人人均收费80元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元24.陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游?参考答案1．(1)人； (2)11．【分析】（1）因为每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒；（2）两轮传播了人，列方程得，解方程即可．（1）解：设平均一个人传染了x人，根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒；（2）解：由题意可知：，整理得，解得或（舍去）．答：平均一轮传染11个人．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键．2．【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答；解：设每轮传染中平均一个人传染个人．由题意可得：解得：，（舍去）答：每轮传染中平均一人传染了人．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答的关键．3．(1)50% (2)67.5万台【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2020年出口量×（1+年平均增长率）=2022年的出口量，列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）利用2023年的出口量=2022年的出口量×（1+年平均增长率），即可得出结论．（1）解：设年平均增长率为x，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：这两年新能源汽车出口量的年平均增长率为；（2）万台，∴预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．(1)二、三这两个月的月平均增长率为 (2)当商品降价5元时，商品获利4250元．【分析】（1）由题意可得，一月份的销售量为：256件；设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，利用销量×每件商品的利润，列出方程，解方程即可．（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，(不合题意舍去)，答：二、三这两个月的月平均增长率为；（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，(不合题意舍去)，答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程，解方程．5．（1）15；；（2）参加聚会的有9人．【分析】（1）根据每一人与其它五人握手，可得6×5次，其中每两人重复一次握手，共有，根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）设有x人参加聚会，由（1）的结论结合共握手36次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论解：（1）若参加聚会的人数为，则共握手（次）；参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次．故答案为：15；；（2）设有人参加聚会，根据题意得，，整理得，因式分解得，解得：，（不合题意，舍去），答：参加聚会的有9人．【点拨】本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．6．(1)6； (2) (3)8【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场；（2）直接根据题意列出函数关系式即可；（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：（1）如果有四个队参赛，则需要打：场；（2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：；（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：，解得：，（舍去），这次比赛共有8个队参加．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．7．10．试题分析：设共有x家公司参加商品交易会，就可以得出有份合同，根据总共有45份合同建立方程，求出其解即可．解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意得：，解得：，（舍去）．答：共有10家公司参加商品交易会．考点：一元二次方程的应用．8．这次比赛的选手共有46名．【分析】全部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x则比了x（x-1）局，根据题意列出方程解答即可．解：设这次比赛共有x名选手．由题意可知，无论胜负，每局两名选手得分总和均为2分，x名选手比赛的总局数为，所以得分总数为．因为x是正整数，且大于1，所以x，是两个连续的正整数．不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是2070，则，解得（舍去）．答：这次比赛的选手共有46名．【点拨】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系解决问题．9．(1)， (2)不能使窗的面积达到2平方米，理由见分析【分析】（1）先求出窗框的高，再根据长方形的面积公式求解即可；（2）把代入（1）所求式子，建立关于x的一元二次方程，看方程是否有解即可．（1）解：设窗框的宽度为x米，则窗框的高为米，∴，∵落地窗的高不小于2米，∴，∴；（2）解；由题意得，∴，∵，∴原方程无实数根，∴不能使窗的面积达到2平方米．【点拨】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的应用，正确理解题意列出窗的面积与宽的关系式是解题的关键．10．工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米【分析】设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则实际围2米，则长为米，根据面积列方程求解即可．解：设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米，根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意.答：工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握面积公式，列方程是解题的关键．11．(1) (2)当时，的面积是面积的．【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据即可得出答案；（2）分两种情况：①当点在线段上，即时，②当点在线段的延长线上，即时，分别根据的面积是面积的列方程求解即可．（1）解：∵在中，，，，∴，∵点P从点A开始沿射线向点以的速度移动，∴，∴当点在线段上运动时，、两点之间的距离为，故答案为：；（2）解：，①当点在线段上，即时，∵，，∴，整理得：，∵，∴该一元二次方程无实数根，∴此情况不存在；②当点在线段的延长线上，即时，∵，，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所述，存在，当时，的面积是面积的．【点拨】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．12．(1)；； (2)2或4 (3)不可能，理由见分析【分析】（1）由题意可得，，从而可以解决问题；（2）表示出，，解方程即可；（3）表示出，，解方程即可．（1）解：根据题意得：，，∵，故答案为：2x；；4x；（2）解：，，∴，解得：或4，当的面积为时，或4；（3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下：，∴，解得或，，四边形的面积不可能等于．【点拨】本题是动点问题，主要考查了图形的面积，一元二次方程的解法，解决问题的关键是能够化动为静，并且注意的取值范围，属于常考题．13．(1) (2) (3)27.5万元；50万元【分析】（1）根据利润等于（29进货价降价）可得出关于的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出关于的二次函数；（3）将二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．解：（1）由题意得：，∴，（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，则，（3）由（2）知，∴时，最大为50，∵（万元）∴当每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元．【点拨】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．(1) (2)【分析】（1）设年初购买1件A产品的价格是x元，根据上涨后的价格＝年初的价格×（1＋上涨率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设A产品的售价应该下降y元，则每日可售出件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．（1）解：（1）设年初购买1件A产品的价格每件x元，依题意，得：，解得：．答：年初购买1件A产品的价格每件元．故答案是：；（2）设A产品的售价应该下降y元，则每日可售出件，依题意，得：，整理，得：，解得：．∵让顾客得到实惠，∴．答：A产品的售价应该下降元．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．15．（1）；（2）【分析】（1）设这个正方形的边长是，根据题意，得，化为一般式即可；（2）设三个连续整数依次为，根据题意，得，化为一般式即可．解：（1）设这个正方形的边长是，根据题意，得，即；（2）设三个连续整数依次为，根据题意，得，即．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．16．周瑜逝世时的年龄是36岁【分析】设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，根据“十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．解：设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，则个位数字为x+3，根据题意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2，化为一般形式得：x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x1＝2，x2＝3，当x＝2时，（x+3）2＝25，当x＝3时，（x+3）2＝36，又∵周瑜的年龄在30-40岁之间，∴周瑜逝世时的年龄是36岁．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），那么从刹车到停车所用的时间是s；（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，则这段路程内的平均车速为，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x²-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．18．(1)4s；(2)2.5m/s；（3）4-2.【分析】弄清题意，根据以下关系解答：（1）小球滚动时间=总路程÷平均速度；（2）平均每秒小球的运动减少的速度=减少的速度÷小球滚动时间；（3）要用到的等量关系为：速度×时间=路程，时间为x，则速度为10-2.5x．解：（1）小球滚动的平均速度==5（m/s）

小球滚动的时间：=4（s）

（2）=2.5（m/s）

（3）小球滚动到5m时约用了xs平均速度==依题意，得：x·=5，整理得：x2-8x+4=0解得：x=4±2，所以x=4-2.【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，本题的重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度=(初始速度-末速度)÷时间.19．(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依题意，得：，整理，得：，解得：，，当时，总成本为：（万元），∵，∴不符合题意舍去；当时，总成本为：（万元），∵，∴符合题意；答：a的值为6．【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．(1)4； (2)2．【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可；（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可．（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，∴，解之得：，∴桥梁施工最多是4千米．（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，∵总成本为254亿元，∴，解之