北师大版五年级数学下册易错题精编讲义 第4讲 长方体的认识及展开与折叠（附答案）

第4讲长方体的认识及展开与折叠（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、长方体的特征。有6个面（6个面都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形），相对的面形状相同，大小相等；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。温馨提示：长方体的棱长分3组，每组棱长的长度相等。2、长方体的长、宽、高。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。3、正方体的特征。正方体的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。4、长方体、正方体的棱长总和。长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4；正方体的棱长总和=棱长×12。5、长方体和正方体展开图的特点。（1）长方体展开图是由6个小长方形组成的（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。（2）正方体展开图是由6个小正方形组成的，而且6个小正方形的面积相等。6、判断哪些图形折叠后能围成长方体或正方体的方法。方法一：想象折叠，不重复，不遗漏。方法二：实际动手操作。温馨提示：折叠后能围成正方体的图形必须是由6个相同的小正方形组成的，但不是所有由6个相同的小正方形组成的图形折叠后都能围成正方体。1、长方体的6个面有时不都是长方形。2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。3、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。【易错一】下面的图形都是由相同的小正方形拼成的，图形（）不能折成正方体。A． B． C．【解题思路】根据正方体的展开图的11种特征，选择出不能折成正方体的图形即可。【完整解答】A．不是正方体展开图的类型，不能折成正方体；B．属于“2—3—1”型，可以折成正方体；C．属于“2—3—1”型，可以折成正方体。故答案为：A【易错点】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型。【易错二】在如图的图形中，再给1个格子涂上颜色，使涂色部分折叠后能围成正方体，请你用4种不同的涂法表示。【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，可在这四个图形中再给出一个格子，涂上颜色，使这4个图形成为正方体展开图的“3－3”型、“1－3－2”型。【完整解答】

【易错点】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。【易错三】一个长方体棱长总和是60厘米，从一个顶点出发的三条棱长的和是()厘米。【解题思路】由于长方体棱长总和是60厘米，从一个顶点出发的三条棱是长方体的长、宽、高，由此即可根据长方体的棱长公式：（长＋宽＋高）＝棱长总和÷4，把数代入公式即可。【完整解答】60÷4＝15（厘米）【易错点】本题主要考查长方体的棱长公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。【易错四】一个长方体广告箱，长5米，宽5分米，高3米。广告箱的占地面积多大？如果广告箱的框架用铝条镶嵌，至少需要多少米铝条？【解题思路】广告箱的占地面积就是这个广告箱的底面积，根据长方形面积公式，求出占地面积，铝条镶嵌就是求长方体的棱长总和，根据长方体的棱长公式：（长＋宽＋高）×4，求出棱长即可。【完整解答】5分米＝0.5米占地面积：5×0.5＝2.5（平方米）需要铝条：（5＋0.5＋3）×4＝（5.5＋3）×4＝8.5×4＝34（米）答：广告箱占地面积是2.5平方米，至少需要34米铝条。【易错点】本题考查长方体棱长的计算方法，注意单位名数的统一。【易错五】淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。【解题思路】根据长方体面的特征：相对的两个面相等，据此画出长方体纸盒的草图，即可解答。【完整解答】纸盒的底面是长15厘米；宽是6厘米；前面和后面的两个面是长是15厘米，宽是10厘米；侧面两个面是长是6厘米，宽是10厘米；用五张纸板做一个无盖的长方体纸盒；图如下：【易错点】利用长方体的特征进行解答。【易错六】琪琪用一根铁丝做成了一个长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体框架。现要在它的外面糊上彩纸，使它成为一个无盖的纸盒。请你在图中画出所需彩纸的展开图。（方格边长为1厘米）。【解题思路】根据长方体展开图的特征，可以画一个“1－4－1”结构，“1”表示上、下底面，4表示的四个长方形，4个长方形表示长方体的侧面展开图，因为无盖，要去掉一个“1”，侧面是前、后为长6厘米，宽2厘米的长方形，左、右面是长3厘米，宽是2厘米的长方形，底面是长6厘米，宽3厘米的长方形（画法不唯一）。【完整解答】（答案不唯一）【易错点】本题考查长方体展开图的知识，结合长方体展开图的特征进行解答。【易错七】为了让福利院的孩子们度过一个幸福、难忘的“六一”儿童节，福利院的叔叔、阿姨们把特设的长方体“小剧场”每条边上装上了各种颜色的彩灯（地面的四边不装）。已知小剧场的长是90m，宽是55m，高是20m，至少需要多长的彩灯线呢？【解题思路】“小剧场”是个长方体，要求的是两个长和两个宽和四个高的和，据此解答。【完整解答】（90＋55）×2＋20×4＝290＋80＝370（m）答：至少需要370米的彩灯线。【易错点】此题应根据题意，结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可。一、选择题1．淘气用铁线搭一个长9分米。宽6分米的长方体框架，共用去铁线72分米。这个长方体的高是（

）。A．12分米 B．9分米 C．3分米2．我们知道，正方体是特殊的长方体，正方体和长方体的关系就像什么？（

）。A．苹果和水果的关系 B．课桌和椅子的关系C．哥哥和弟弟的关系 D．窗户和窗帘的关系3．选择哪几组小棒可以搭成一个长方体框架？（

）。A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②③⑤4．一个正方体，有三个面上分别画上了一个图形（如图1）。把这个正方体像图2那样翻动，得到的图形正确的是（

）。A． B． C．5．下图中能围成正方体的是（

）图形。A． B． C．D．6．下列图形中，不能围成正方体的是（

）。A． B． C． D．7．下面图形不是正方体展开图的是（

）；在正方体的展开图中，数字“2”的对面是数字“5”的是（

）。A．BC B．BD C．CD D．AD8．有一个无盖的正方体，下底标有字母“M”，将其剪开展成平面图形，想一想，可能是（

）。①

②

③

④A．①；② B．①；③ C．②；③ D．③；④二、填空题9．长方体有()条棱，有()条棱是高，()条棱是长，有()条棱是宽。10．至少需要()cm长的铁丝，才能做一个底边周长20cm，高是5cm的长方体框架。11．一个长方体的棱长总和是64厘米，它的底面是一个周长为24厘米的长方形，它的高是()厘米。12．长方体灯笼框架（如图），至少需要()厘米长的木条。13．下图是一个正方体的展开图，与“疫”相对面上的字是()。14．按要求，做一做。2022年4月8日，北京冬奥会、冬残奥会总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行。授予国家速滑馆场馆运行团队等148个集体“北京冬奥会、冬残奥会突出贡献集体”称号；授予苏翊鸣等147名同志、追授邓小岚同志“北京冬奥会、冬残奥会突出贡献个人”称号。如图是一个正方体的展开图，将它围成一个正方体后，与“贡”字相对面上的字是“()”。15．合阳县是国家扶贫开发工作重点县、国家生态示范县、国家卫生县城、国家园林县城、全国文明城市提名城市、全国“四好农村路”示范县、省级文一明县城、省级环保模范县。将下面这个展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？共对()，合对()，建对()。16．一个长方体有()个面，其中至少有()个面是长方形。三、判断题17．站在同一个位置看一个长方体，最多看到两个面。()18．将一个棱长为8dm的正方体钢架，铸造成一个长为16dm、宽为4dm的长方体钢架，则这个长方体钢架的高为4dm。()19．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“天”字相对的面上的汉字是“镇”。()20．左图折叠成正方体后，与a相对的面上的数字是2。()四、作图题21．请你在下面的长方体上分别标出两组长、宽、高。22．张强要做一个无盖的长方体鱼缸。你能帮他在下面的长方形玻璃中选择合适的玻璃吗？（在选择的玻璃上画“√”）23．下图是长方体和它的展开图。（单位：cm）在下面的长方体展开图上，把相对的面涂上相同的字母，再标出前面或后面，左面或右面，上面或下面3个面每个面的长和宽。24．在下图的正方体展开图中分别填上1、2、3、4、5、6，使把它折成一个正方体时，1的对面是2，3的对面是4，5的对面是6。25．如图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下将它剪成三部分，使每部分都可以沿某些格线折成一个没有盖的小方盒，应怎样剪？请在图中用线画出来。五、解答题26．淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。27．灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼。元宵节就要到了，笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图，单位：cm），至少需要多少厘米的木条？28．至少需要多长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架呢？29．母亲节要到了，小英准备送妈妈一件礼物。如图，要用线带包装礼品盒，礼品盒是一个长25厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体，丝带的接头部分长30厘米，这个礼品盒要用多长的丝带？30．心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？31．蛋糕店卖出一种蛋糕，蛋糕盒长36cm、宽36cm、高17cm，用彩带捆扎，接头处有25cm，捆扎一个这样的蛋糕盒至少需要多少厘米的彩带？32．将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。33．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？34．贝贝为妈妈准备了一份生日礼物（如下图）。他用下面第（

）种尺寸的包装纸包装这个礼物盒比较合适。先画一画这个礼物盒的展开图，再选择。

参考答案1．C【解题思路】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，那么高＝棱长总和÷4－（长＋宽），把数据代入公式解答。【完整解答】72÷4－（9＋6）＝18－15＝3（分米）故答案为：C【易错点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。2．A【解题思路】正方体是长、宽、高都相等的长方体，长方体包括正方体，它们之间的关系是“包含”关系，即长方体包含正方体。据此解答。【完整解答】A．苹果是水果中一种，水果包含苹果；符合正方体和长方体关系；B．课桌和椅子不是包含关系；不符合正方体和长方体关系；C．哥哥和妹妹不是包含关系，不符合正方体和长方体关系；D．窗户和窗帘不是包含关系，不符合正方体和长方体关系。故答案为：A【易错点】本题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征及应用。3．B【解题思路】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的四条棱长相等，按长度分为三组，每一组有4条棱，据此解答。【完整解答】根据分析可知，长方体的长需要4条，宽需要4条，高需要4条，因此选择①②⑤这三组线段可以搭成长方体框架。故答案为：B【易错点】本题考查长方体的棱长的特征。4．A【解题思路】不论怎样翻动，三个面上的图形相对位置不会改变。长方形与正方形有一个公共顶点，用长方形、正方形与三角形不相连，据此即可作出选择。【完整解答】由分析可得：一个正方体，有三个面上分别画上了一个图形（如图1）。把这个正方体像图2那样翻动，得到的图形正确的是。故答案为：A【易错点】关键抓住三个图形的相对位置不会改变的这一特征。5．C【解题思路】根据正方体展开图的11种特征：分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个正方形，第二行放4个正方形，第三行放1个正方形；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；据此解答。【完整解答】A．，不符合正方体展开图的特征，不能围成正方体；B．，不符合正方形展开图的特征，不能围成正方体；C．，符合正方体展开图的“1－4－1”型结构，能围成正方体；D．，不符合正方体展开图的特征，不能围成正方体。下图中能围成正方体的是图形。故答案为：C【易错点】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。6．A【解题思路】根据正方体展开图的11种特征、4种类型“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，进行判断即可。【完整解答】A．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图，不能围成正方体；B．，符合正方体展开图的：“1－4－1”型，能围成正方体；C．，符合正方体展开图的“2－3－1”型，能围成正方体；D．，符合正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体。故答案为：A【易错点】熟记正方体展开图的11种特征、4种类型是解题的关键。7．B【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，图A属于正方体展开图的“1－3－2”型，图C属于正方体展开图的“1－4－1”型，图D属于正方体展开图的“2－2－2”型；图B不属于正方体展开图。图A中数字“2”与“6”相对；图C中数字“2”与“4”相对；图D中数字“2”与“5”相对。【完整解答】如图：不是正方体展开图的是B；在正方体的展开图中，数字“2”的对面是数字“5”的是D。故答案为：B【易错点】本题主要考查正方体展开图特征，这11种情况每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。8．B【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，，，是正方体展开图的“1－4－1”型少一个面，都能折成正方体，不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体；和折成正方体后，“M”在底面，折成正方体后，“M”在侧面，据此解答。【完整解答】根据分析可知，有一个无盖的正方体，下底标有字母“M”，将其剪开展成平面图形，可能是或。故答案为：B【易错点】根据正方体展开图的特征进行解答，关键是熟记展开图的特征。9．

12

4

4

4【完整解答】我们把相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。习惯上，把水平方向的棱的作为长，把前后方向的棱作为宽，竖着的棱作为高。长方体有12条棱，长方体相对的4条棱互相平行且长度相等；其中4条棱是高，4条棱是长，4条棱是宽。10．60【解题思路】将底边周长÷2求出长和宽的和，然后加上高，再×4即可解答。【完整解答】（20÷2＋5）×4＝15×4＝60（cm）至少需要60cm长的铁丝。【易错点】此题主要考查学生对长方体棱长总和的理解与灵活解题，需要掌握长方形周长＝（长＋宽）×2。11．4【解题思路】长方体特征为：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积和周长都相等，12条棱分3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。此题中一个长方体的棱长总和是64厘米，它的底面是一个周长为24厘米的长方形，则它的另外一个底面周长同样也是24厘米，用棱长和减去两个底面的周长之和，可得4条高的长度，除以4即为1条高的长度。【完整解答】4条高的长度为：64－24×2＝64－48＝16（厘米）1条高的长度为：16÷4＝4（厘米）【易错点】此题主要考查了对长方体特征的掌握程度，同时要求对棱长总和计算方法能够联系题目灵活运用。12．400【解题思路】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。【完整解答】（50＋25＋25）×4＝100×4＝400（厘米）【易错点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用。13．同【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，“同”与“疫”相对，“呼”与“共”相对，“吸”与“战”相对。【完整解答】由分析得，这个正方体的展开图，与“疫”相对面上的字是“同”。【易错点】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并掌握规律，能快速解答此类题。14．人【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2－3－1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便。折成正方体后，相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。【完整解答】将它围成一个正方体后，与“贡”字相对面上的字是“人”。【易错点】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。15．

阳

美

丽【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，围成正方体后，共与阳相对，合与美相对，建与丽相对。【完整解答】由分析可知；将围成正方体后，共与阳相对，合与美相对，建与丽相对。【易错点】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。16．

6

4【解题思路】长方体有6个面，一般情况下6个面都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形。据此解答即可。【完整解答】一个长方体有6个面，其中至少有4个面是长方形。【易错点】此题考查长方体的特征，解题关键是理解有些长方体相对的两个面是正方形。17．×【解题思路】观察一个正方体或长方体，从它的一个面观察，只能看到一个面，从它一条棱观察，能看到它的相交于这条棱的两个面，从它的一个顶点观察，此时能看到它最多的面，能看到它的三个面。据此判断即可。【完整解答】站在同一个位置看一个长方体，最多看到三个面。原说法错误。故答案为：×【易错点】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，是培养学生的观察能力。18．√【解题思路】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体棱长总和；正方体棱长总和等于长方体棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝长方体棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。【完整解答】8×12÷4－16－4＝96÷4－16－4＝24－16－4＝8－4＝4（dm）将一个棱长为8dm的正方体钢架，铸造成一个长为16dm、宽为4dm的长方体钢架，则这个长方体钢架的高为4dm。原题干说法正确。故答案为：√【易错点】根据正方体棱长总和公式，长方体棱长总和公式进行解答，关键明确正方体棱长总和等于长方体棱长总和。19．×【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，属于正方体展开图的“2－2－2”型，折成正方体后，“天”字相对的面上的汉字是“库”，“然”字相对的面上的汉字是“镇”，“药”字相对的面上的汉字是“巴”；据此解答。【完整解答】根据分析可知，是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“天”字相对的面上的汉字是“库”。原题干说法错误故答案为：×【易错点】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。20．×【解题思路】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折叠成正方体后，数字1与字母a相对，2与4相对，3与5相对。据此判断。【完整解答】根据正方体展开图的特征可知：折叠成正方体后，与a相对的面上的数字是1。原题说法错误。故答案为：×【易错点】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。21．【解题思路】底面长的棱为长，短的棱为宽，垂直地面的棱为高。据此即可作图。【完整解答】【易错点】此题考查了长方体的特征，属于基础知识，需熟练掌握。22．【解题思路】因为这个鱼缸无盖，所以只需要选择5个长方形玻璃并且有4个长方形是两两一致的，同时不同的长方形之间，它们的长或者宽必须相等，这样子才能使其拼成个长方体，据此解答。【完整解答】【易错点】熟练掌握长方体的结构特征。23．见详解【解题思路】根据长方体展开图的特征，属于展开图的“1－4－1”，找出最长的边为6cm，较长的为5cm，最短的就是4cm。两个相同的面中间间隔一个面，据此解答。【完整解答】长为6cm，宽为5cm，高为4cm。（字母不唯一）。【易错点】本题考查长方体的特征以及长方体展开图的特征。24．见解析【解题思路】由题可知，正方体的展开图属于“1-4-1”型，折成正方体后，根据相对面的特点，相对面之间间隔一个正方形，据此在正方体的展开图上分别标出1、2、3、4、5、6。【完整解答】作图如下：（答案不唯一）【易错点】本题主要考查正方体展开图以及展开图相对面的特点。25．见详解【解题思路】根据正方体的表面展开图的判断方法即可解答。【完整解答】如图：（答案不唯一）【易错点】解答此题的关键是掌握正方体常见的几种展开图的形式。26．见详解【解题思路】根据长方体面的特征：相对的两个面相等，据此画出长方体纸盒的草图，即可解答。【完整解答】纸盒的底面是长15厘米；宽是6厘米；前面和后面的两个面是长是15厘米，宽是10厘米；侧面两个面是长是6厘米，宽是10厘米；用五张纸板做一个无盖的长方体纸盒；图如下：【易错点】利用长方体的特征进行解答。27．240厘米【解题思路】根据题意，求制作这个长方体灯笼的框架，需要多少厘米的木条，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。【完整解答】（30＋15＋15）×4＝（45＋15）×4＝60×4＝240（厘米）答：至少需要240厘米的木条。【易错点】利用长方体棱长总和的公式进行解答，关键是熟记公式。28．48厘米【解题思路】底面周长＝（长＋宽）×2，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝底面周长×2＋高×4，把数据代入公式计算。【完整解答】18×2＋3×4＝36＋12＝48（厘米）答：至少需要48厘米长的铁丝才能做这样的长方体框架。【易错点】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的计算方法。29．160厘米【解题思路】由图可知：包装礼品盒所需线带的长度等于长方体的2条长加上2条宽加上4条高，再加上接头部分长度。【完整解答】＝160（厘米）答：这个礼品盒要用160厘米的丝带。【易错点】此