不定积分解法总结

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中， 很多情况需要使用微分法的逆运算积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好 不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有幸可循”。本 丈论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是亳无解题规律可言。本文所总结的是一般 规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作 用，为读者在学习不泄积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。1换元积分法换元积分

2、法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中 我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。1. 当出现 Ja： ±- a 形式时，一般使用 x = a sin t, x = a sec t,x = a tan方三种代换形式。I* ,=x = a tan 11* sec t = lnsec t + tan t + CJ la2 + x2f 6A - = ln.v + yja' + x + CJ J, + 子2. 当根号内出现单项式或多项式时一般用上代去根号。| sin Txdxt = 7J2J t sin tdt = - 2(? c

3、os t - j cos tdt) =-2t cost 4- 2 sin f + f 二 -2長 cos Jx + 2sin 長 + C但当根号内出现高次幕时可能保留根号,arcsin xh + c63. 当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。使用万能代换2 t咗,dx = J1 2dt1 + ;+严尤訂dt3 / 4 + + 1 / 2，2 +(2“/(l + £二)1 + t2x2 tan + 1arctan2对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三 角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的枳分法。这不失为解题的

4、一 种好方法。2不定积分中三角函数的处理不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径 庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代 换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函 数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。1 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数f 一;-J sirr x + cos- x丛丫上下同乘siruv变形为dx =sin x + cos x丿(cos xd(cos x)1 - COS2 A* Il + COS x)udur sin x cos x ,

5、1dx =J sin x + cos x2sin x + cos 打 - 1sin x + cos xdx1一 sin x 一 cos x2-JdxV2 sinCy + / 4)x tan F12fl+ u) "2(1 + uj 4(1 + u) 4(1 一 u严11 _1 + COS X7 In+ c2(1 + cos X) 41 - cos x1 .o X 1 a X=-In tanwsec- + c2 242 2只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sir x + cos2 x = 1的使用。三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三

6、角函数之间的转换可以使解题的思路变得淸晰。3.函数的降次形如J sin" x cos77 xdMl勺积分（m, n为非负整数） 当m为奇数时，可令u = cos x 于是J sin” x cos" xdx = -J sin""1 x cos” xd cos x = 转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u = sinx,于是=-J (1 - u2f? undu ,J sin” x cos” xdx = J sin" x cos73-1 xd sin x = 同样转化为多项式的积分。当m, n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：Jdu，sin x

7、cos x = sin 2x、2.几1 - cos 2xsin- x =,21 + COS 2ATCOS- X =,2不断降低被积函数的幕次，直至化为前两种情形之一为止。 形如J tann刃/y和J cot"毗女的积分（n为匸整数）令 u = tan xdx > 贝iJ-Y = arctan u , dx = , 从而1 +f tan73 xdx = | duyJ 1 + L已转化成有理函数的积分。类似地，J cot” xdx可通过代换u = cot x转为成有理函数的积分。形如J secn x乂和J esc” x/y的枳分（n为正整数）当n为偶数时，若令u = tan x ,

8、则x = arctan u, dx =色=,于是1 + usec" xdx = J (1 + tan* xydx = f (1 +du = J (1 + /)： du已转化成多项式的枳分。类似地，| esc"毗力丫可通过代换U = COt-¥转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。x"x sin 2xcos 2x + c4 48 3有理函数积分法的总结有理函数积分法主要分为两步：1 化有理假分式为有理真分式：2化有理真分式为部分 分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代

9、数学的方法可得，这里不 做讨论。I 有理真分式化为部分分式之和求解简单的有理真分式的拆分此类题目一般还有另外一种题型:2注意分母（分子）有理化的使用4特殊题型该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型有助于提髙数学的思维逻辑能力。1 善于利用ej因为其求导后不变。x(l + xex)"* 1-r dt = In - + c+ r)1 + txe:(丫+2严訂加(I诂伯)+ xeIn一 + c1 +这道题目中首先会注意到因为其形式比较复杂匚但是可以发现其求导后为与分母差另外因为e'求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以e'。2 某些题正

10、的不行倒着来7=(In sin x ,1:dxsin x =sin" xuJ tJrr u In u -( duJ ylu2 - 1=j In udQtr - 1=yu'-l In u - f duJ nJ/ - 1f tan yauu = sec y sec y tan ydy u=sec yJ tan2 ydy = tan y - y + c原式= -J sin xd(cot x) = - cot x In sin x + J cot x/(ln sin x)-r COS X COS X ,=一 cot x In sin x +axJ sin x sin x=- cot

11、x In sin x + J cot" xdx=一 cot x In sin x 一 cot x - x + c这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u = sinx,然而这样的换元方法 是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u = sinx这类一般的换 元法行不通时尝试下丄=siruvo这种思路类似于证明题中的反证法。u3.注意复杂部分求导后的导数r + 2-本题把被积函数拆为三部分：yPy2,y3,儿的分子为分母的导数，乙的值为1，儿的分 子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。4.对于J Rix、lax2 + bx + c)dx(a丰0)型积分，考虑 = f 一的符号来确定取不同的变换。如果 > 0,设方程a，+bx + c = 0两个实根为a, 0 ,令yl