第八章李雅普诺夫稳定性理论

1、8.6 李雅普诺夫稳定性理论v经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)，描述函数法v俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，多变量，线性，非线性，定常，时变等系统。主要内容：n李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值n李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0)x 一. 稳定性基本概念ex 0eAx A奇异： 有无穷多个00eexAx A非奇异： Axx nRx a.线性系统 0),(txfxeeex系统的平衡状态3.平衡

2、状态：x 00( ;, )x t x t0000),(xtxtx 2.初态 =f(x,t)的解为 初态b.非线性系统 可能有多个 0),(txfxeex 102ex 103ex01x 02x 令3221211xxxxxx例 001ex4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。二. 李雅普诺夫意义下的稳定欧几里德范数欧几里德范数 2222211)()()(neneeexxxxxxxx 设设 是包含使是包含使 的所有点的一个球域，而的所有点的一个球域，而是包含使是包含使 的所有点的一个球域。的所

3、有点的一个球域。 )(S exx)( S)(0ttxxe 定义一定义一 若系统若系统对于任意选定的对于任意选定的， 存在一个存在一个，使得当，使得当时，时，恒有恒有 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是稳定的。稳定的。 ),(txfx 0 0),(0 t )(00ttxxe )(0 ttxxe 定义二定义二 如果平衡状态如果平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的，在李雅普诺夫意义下是稳定的， 且最后都能收敛到且最后都能收敛到xe附近，即附近，即，其中其中是任选的微量，则称系统的平衡状态是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是是 渐近稳定的。渐近稳定的。 |),(|lim00etxtxtx

4、 定义四定义四 : :如果从球域如果从球域 出发的轨迹，无论球出发的轨迹，无论球域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，则称平衡状态则称平衡状态x xe e为不稳定。为不稳定。 )( S定义三定义三 对所有的状态对所有的状态( (状态空间的所有点状态空间的所有点) )，如，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称平衡状态称平衡状态x xe e为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。 v线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。v非线性系统：稳定性与初始条件大

5、小密切相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 Axx 0)0(xx0tRe()0ini, 2 , 1三. 李雅普诺夫第一法（间接法） 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 李氏稳定的充要条件： 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。)(xf-非线性函数0ex在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：)(xfx 设非线性系统状态方程：2.非线性系统的稳定性分析：()()( )eeeTx xfxf xxxg xx其中：)(xg-级数展开式中二阶

6、以上各项之和nnnnnTxfxfxfxfxfxfxf2112111n上式为向量函数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为： Tnffff21Tnxxxx21()exxf x exxxexxTxfAxA x 结论：1) 若 ，则非线性系统在 处是渐近稳定的，与 无关。2) 若 则不稳定。3) 若 ，稳定性与 有关， 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。 Re()0ini, 2 , 1ex)(xgRe()0iRe()0jnji, 1Re()0i)(xg0)(xg四四. . 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法( (直接法直接法) ) 不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判不通过运动微分方程，也不通过

7、特征值，就能直接判定系统的稳定性。定系统的稳定性。 这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位置，系统应是稳定的。置，系统应是稳定的。 如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的 1 1标量函数的正定性与负定性标量函数的正定性与负定性 设设 V(x)V(x)是向量是向量x x的标量函数的标量函数, ,在在x=0 x=0处有处有V(0)

8、=0 V(0)=0 (1)(1)正定正定 :V(x)0 :V(x)0 例如，例如， 2221)(xxxV (2)(2)半正定半正定: :例如例如0)( xV221)()(xxxV (3)(3)负定负定 :V(x)0 :V(x)0(2) 若若V(x)负定负定,则称则称P为负定为负定,记作记作P0 (i=1,2, 0 (i=1,2,n),n),则则P P为正定为正定; ; 为为负负定定，则则为为奇奇数数为为偶偶数数Piii 00为半正定，则Pninii01, 2 , 10为为半半负负定定，则则为为奇奇数数为为偶偶数数Pniiii 000(2) 若若(3) 若若(4) 若若( (二二) )李雅普诺夫

9、稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理 定理一定理一 设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)对向量对向量x x中中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，t)t)为正定；为正定； ),(txfx )(0), 0(0tttf 2) 2) 为负定为负定 ),(txV则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。 如果随如果随 有有 ，则在原点处的平，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。衡状态是大范围渐近稳定的。 x )

10、,(txV说明：说明： 负定负定 能量随时间连续单调衰减。能量随时间连续单调衰减。),(.txV例例 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为 解解 原点原点x=0 x=0是给定系统的惟一平衡状态是给定系统的惟一平衡状态 )()(22212122221121xxxxxxxxxx试分析平衡状态的稳定性。试分析平衡状态的稳定性。 选取选取正定正定的标量函数的标量函数 2221)(xxxV )(222)(222122112211xxxxxxdtdxxVdtdxxVxV 负定负定 故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。又由于又由于时时 x )(xV设系统的状

11、态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)对向量对向量x x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，t)t)为正定；为正定； ),(txfx )(0), 0(0tttf 2) 2) 为半负定为半负定 ),(txV则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 定理二定理二 3) 对任意对任意及任意及任意 在在时不恒为零时不恒为零 ),(00ttxtxV0t00 x0tt 21221xxxxx例例解解 原点原点x=0 x=0是

12、给定系统的惟一平衡状态是给定系统的惟一平衡状态 222211222)(xxxxxxV 2221)(xxxV 选取正定的标量函数选取正定的标量函数 021 xx0)( xV0, 021 xx0)( xV)(xV当当为半负定为半负定)(xV0, 021 xx进一步研究进一步研究, ,当当 时时 不恒为零。不恒为零。 故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。2)(21)(2221221xxxxxV )()(2221xxxV 正定正定负定负定如选如选故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。)(xV又由于又由于时时 x

13、)(xV为负定不变，为负定不变，设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)对向量对向量x x中中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，t)t)为正定；为正定； ),(txfx )(0), 0(0tttf 2) 2) 为半负定为半负定, ,但在原点外的某一但在原点外的某一x x处恒为零，处恒为零， ),(txV则系统在原点处的平衡状态在则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫李雅普诺夫意义下是意义下是稳定的，但非渐近稳定。系统保持在一个稳定的等稳定的，但非

14、渐近稳定。系统保持在一个稳定的等幅振荡状态。幅振荡状态。 定理三定理三01221 kxxkxx)0(),(2221 kkxxtxV02222),(21212211 xkxxkxxkxxxtxV例例故系统是李雅普诺夫意义下的稳定定理四定理四设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1) V(x,t)1) V(x,t)在原点的某一邻域内是正定的；在原点的某一邻域内是正定的； ),(txfx )(0), 0(0tttf 2) 2) 在同样的邻域内也是正定的，在同样的邻域内也是正定的， ),(txV则原点处的平

15、衡状态是不稳定的。则原点处的平衡状态是不稳定的。 例：给定系统例：给定系统（1） 求系统的平衡点；（2） 利用函数 判断稳定性； 21122212( )sin( )costtx txtx ex tx ext1212(,)tV x xe x x解 22sincosttttexxe22sin0costtttexe令得0 x （1）（2）在x1,x2平面的一、三象限内 1212(,)0tV x xe x x 而在同一区域内 121212tttVe x xe x xe x x22120 xx所以系统不稳定 v推论1：当 正定， 半正定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。),(txV),(txV.

16、0 ( ;, ), V x t x t t),(txV),(.txV0 x0),( txVv推论2： 正定， 半正定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。几点说明：1) 选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致 不定的结果。2) 这仅仅是充分条件。 ),(txV),(.txV),(txV例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解: 即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有21221 xxxxx 0 21 xx0 21 xx0 ex2221)(xxxV 22.2)(xxV )(.xV1x01x02x0)(. xV0)(. xV 故 半正定。

17、 令 即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。)(.xV0, 00)(12.xxxV)(.xV推论1李雅普诺夫第二法的步骤：1)构造一个 二次型；2)求 ，并代入状态方程；3)判断 的定号性；4)判断非零情况下， 是否为零。),(txV),(txV渐近稳定李雅普诺夫稳定不稳定),(txV),;(00ttxtxVn令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 渐进稳定 0),(. txV0,x 0,x 0),(. txV0),(. txV半负定),(txVn令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 不稳定 0),(. txV0,x 0,x 0),(. txV0),(. txV半正定)

18、,(txV4.4 4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 1 1线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 定理一定理一 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称阵对于任意给定的一个正定对称阵Q Q，有惟一的正定，有惟一的正定对称阵对称阵P P使下式成立使下式成立 QPAPAT 上式称为李雅普诺夫方程，而上式称为李雅普诺夫方程，而 是该系统的一是该系统的一个李雅普诺夫函数个李雅普诺夫函数 PxxT 21211110 xxxx例例 22211211ppppPQPAPAT 1001111011102221121122211211pppppppp 12/12/12/3P02/311 p, 04512/12/12/322211211 pppp解解: : 选选