高三数学第一轮复习轨迹方程的常用求法素材

1、课程信息年 级角二学 科1教学1版 本1通用版内容标题高二第一轮复习：轨迹方程的常用求法编稿老师【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】【知识点精析】1 .求曲线轨迹方程的基本步骤：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为例（x,y）;寻找动点与已知点满足的关系式；将动点与已知点坐标代入；化简整理方程；证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。通常求轨迹方程时，可以将步骤和省略。2 .几种常用的求轨迹的方法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等呈关系，这些条件简单明确，易于 表述成含X、），的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的 方程一M有建

2、系设点、列式、代换、化筒、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点。（y）却随另一动 点。（.匚），'）的运动而有规律的运动，且动点。的轨迹为给定或容易求得，则可先将Ey'表 示为），的式干，再代入。的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助 中间变星（参数），使尤），之间建立起联系，然后再从所求式于中

3、消去参数，得出动点的轨 迹方程。说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：参数的选择要合理，应与动点坐标尤丁有直接关系，且易以参数表达。可供选择作参 数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。消参数的方法有讲究，基本 方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。对于所选的参数，要注意其取值 范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满 足的条件，然后得出动点的轨迹方程。交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时 常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线

4、的联系，然后消去参数得到轨迹方程。说明：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹 方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变盘间的关系, 在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用，只要动 点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程。另外，要注意一些轨迹问题，都包含一定的隐 含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围。由曲线和方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意，它的完备性和纯粹性，即轨迹若 是曲线的一部分，应对方程注明尤的取值范围，或同时注明X,），的取值范围。若轨迹有不同 的情况，应分别讨论，以保证它的完整性

5、。轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”。一般说来，若是“求轨迹方程”， 求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型。【解题方法指导】例L设直线y =与双曲线3-产=1交于A、B,以A8为直径的圆过原点，求点。（“，）的轨迹方程。y = ax + b,解析： ,-=>(«' -3x +2abx+b +1 = 0(x»=i7A = (2ab)2 -4(«2 - 3)(/r +1) > 0< 3 0 设 A(%,升)、E5,必)，则有lab b2 +1X1+X2=_,X1X2=_,依题有即内+%

6、=。又 >?1>2 UX +)(,/ +) = 42工2 +4(玉 +X2) + /?2 ,. 2.2 j 2 2 b2.,有+-=+ =。，化简得C2尸=-1,故点尸(a,)的轨迹cr -3 cr -3 cr-3方程为 丁-2），2=一1卜2<3）评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等曷关系， 求方程可以用直接法，如本题中，OA_LO8推出玉9 + »为=。，从而利用根与系数的关 系建立方程。例2.如图所示，平面AA8C的两个顶点A、8分别为椭圆/+5），2=5的焦点，且三内角A、B、C满足sin二三2=geosg,试求顶点C的轨迹方

7、程。 222解析：在AABC中,C . A + B cos = sin22d = s422. B + A . B-A , A + B A + B.2 cossin= sincos又由正弦定理,2222in B-sin A = sin(A + B) = sinC 22得|AC| |8C| = ；|A8| = ；2c = 2,故。点的轨迹是以A、8为焦点。长轴长为2的双曲线的右支，其方程为/一心" = 1">0）。评述：当题设条件符合椭圆、双曲线、抛物线的定义时，可直接写出方程。例3.如图，已知P（4,0）是圆/+ 了2=36内的一点，a、8是圆上两动点，且满足N4P8

8、= 90 ,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。解析：设A8的中点为R（x, y）,则心AA8尸中，|=|AO|2-|O/?|2 = 36（/ + y2）,又 |AR| = PR =, W（-v-4）2 + y2 =36-（x2 +y2）,即/ + y2 -4x-10 = 0 o因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，。点即在所求的轨迹上运动。设Q（x，y）、R（$，%）,由R为尸。中点，x + 4代入方程/+),2一以一10 = 0,整理，得/ +),2 =56,即点。的轨迹方程为/ +),2 =56评述：在某些较侵杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程, 再以此点作为主

9、动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。【考点突破】【考点指要】轨迹问题是高考考查的重点，“求轨迹方程，并说明是什么曲线”是近几年高考的热点, 它常常与基值及分类讨论思想结合在一起。多出现在解答题中，选择题和埴空题也有出现。 考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理诸方面的能力，对思维能力， 思维方法的要求较高，分值大约是514分。考查通常分为三个层次：层次一：考查曲线轨迹方程的求法；层次二：考查判断曲线轨迹方程所表示的曲线类型；层次三：考查所求曲线轨迹方程的完备性和纯粹性。解决问题的基本方法和途径：直接法、定义法、代入法、参数法、几何法、交轨法、待定系 教法、教形结合法、

10、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例4. (2006陕西)如图，三定点 A(2,l)、5(0,-1), C(-2,l);三动点。、E、M满足 Ad = i aK,bK = t= iD京 t e 0,1求动直线DE斜率的变化范围；求动点M的轨迹方程。解析：解法一：设。(而，为)、Eg,4)、M (a> y) o由 AD = f AB,BE = f BC ,知- 2, -1) = r(-2,-2),. ,而=-2/ + 2=-2/yD = -2r +1yE = 2/-1 2代=招蔚2' -eMf (2)-/ DM =tE ,(x+2/-2,y + 2/-l) = /(-2/ +

11、 2/-2,2/-l + 2/-l)=r(-2,4/-2)=(2/,4广2z),卜=2(1-2/)/ '，y = 丁即 x- =4y卜=。-町4 . reO,l, /.x = 2(l-2f)e-2,2,即所求轨迹方程为/ = 4y , xe-2,2解法二：同上。如图,Ob = OA + AD = OA+tAB = OA+t(OB-dA)= (i-t)OA + tOB, 0E = 0B + BE = 0B + tBC = 0B + t0C-0B)= (-t)0B + t0C, OM =OD + DM =0D + tDE = 0D + t0E-0D)= (1-t)0D + t0E = (-

12、t)2OA + 2-t)tOB+t2OC 设加点坐标为(x,y), 由赤=(2,1),砺=(0,-1),无=(2,1),得x = (l-r)2-2 + 2(l-r)r-0+r-(-2) = 2(l-2r) <y = (l-/)2-l + 2(l-r)r-(-l)+r-l=(l-2r)2 '消去，得，k =4v ,/ eOj,x e -2,2,故所求轨迹方程为x2 = 4y , x e 一2,2评述：本题考查了利用参数法求动点轨迹方程，对于所选的参数，要注意其取值范围, 并注意参数范围对£户的取值范围的制约。例5. （2006山东）双曲线C与椭圆J +。= 1有相同的焦点

13、，直线），=>/黄为。的一 84条渐近线。求双曲线C的方程；过点。（0,4）的直线/,交双曲线C于A、8两点，交x轴于。点（0点与C的顶点不重合），当P0=4。4=4。月，且4+4=:时，求。点的坐标。2）92y-、广厂广解析：设双曲线c的方程为r-L = l由椭圆丁+ 丁 = 1,求得两焦点为 crb-84（-2,0）,（2,0）,.对于双曲线C c = 2又>，=底为。的一条惭近线，：.=6解2得2=1, =3, .双曲线c的方程为/ 一二=1设/的方程为y =履+ 4，4（为，）1）、8（，乃），4 则。一丁，0 k4A（xr yj在双曲线。上,k2E-l=0, 16 + 3

14、2+16/i12- 2-22 =0, 343.(16 42)42+324+16-詈 2 =0 同理有(16-在+324 + 162 =0若16-公=o,则直线/过顶点，不合题意，16-公工0,.4、%是二次方程（16*+32x + i6-枭2=o的两根,，328 X, + Xn =,-公 _163二代=4,此时A>0, .攵=±2, .所求。点的坐标为（±2,0） 解法二：由题意知直线/的斜率攵存在且不等于零。4 1设/的方程为y = 6 + 4，A（X, y）、8*2，丫2），则0 -7，°。 k ）,.八。=4。4,.q分方的比为4。由定比分点坐标公式得

15、_4_ 4%I 1+40=4 + 布=1+44苍=一？7（1+4）K /li,下同解法一。4解法三：由题意知直线/的斜率攵存在且不等于零。设I的方程为V = kx+ 4, A（卬y1）、PQ = QA = QB .(4(44,._丁-4 =4 X, + , y =A a-2 + -, y2 , k J k ) k J,44 = Ay =, 4 =>- ).4<8112&=一-o 又4+4=-q，,一+- = t>%3 力力 3即3(必+%) = 2yM将)，=依+4代入工2_2_ =,得(3&2),224)，+ 48 - 35=03-父工0,否则/与渐近线平行

16、,2448 3公,+为=书=3,o 24 c 48-3公 3x = 2x- , k =±2 ,3-尸3-222（±2,0）解法四：由题意知直线/的斜率攵存在且不等于零。设/的方程为丁 =履+ 4，A*】，以）、8（，y2）,则。一；，°）。_9_4卜4卜+ X ,_4744:4=一J =，同理人=-4 kxx +4- 米,+ 41 rQ*）=即 2k2x1x2 +5攵（内 +占）+ 8 = 0V = kx + 4又（ 2 y2 ，消去y,得（3-公卜2一8履一 19 =。当3-父=o时,丁 - = 1则直线/与双曲线的渐近线平行，不合题意，3-公工。8kx1+x2

17、 =由韦达定理有3/，代入（*）式得公=4,攵=±2, 占”占二所求。点的坐标为（±2,0）评述：本题考查直接法求轨迹方程，并利用所求得的轨迹方程解决其它综合问题。当研 究直线与圆锥曲线的住宣关系时，将直线方程代入圆锥曲线方程化为二次方程，讨论二次项 系数是否为零，并利用韦达定理得到关系式。【达标测试】一、选择题：1.设动点尸是抛物线y = 2/ + 1上任意一点，定点a（0,1）,点"分中所成的比为 2:1,则点M的轨迹方程是（）A. y = 6x2-1B.2.巳知椭圆的焦点是耳、y = 3x2C. y = -3x2 -1 D. x = 6y2点"的轨

18、迹是（）A.圆 B.椭圆C,双曲线的一支D.抛物线鸟，P是椭圆的一个动点，如果M是线段耳。的中点，则动3.巴知圆的方程为/ +）3=4,若抛物线过点A（1,0）、3（1,0）,且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是（B. - + = 1(x0)-= l(y =0)431 JD. j + g = l(yW0)4 .已知A、B、。是不在同一直线上的三个点，。是平面A8C内的一定点，P是平面A8c内一动点，若OP-OA = AyABBc Xe0, + s）,则点P的轨迹一定过三角形A8C的（）A.外心 B.内心C.重心D.垂心5 .设动点P在直线x = l上，。为坐标原点，以。尸为直角边、

19、点。为直角顶点作等腰 RtOPQ ,则动点。的轨迹是（）A.圆 B.两条平行线 C.抛物线 D.双曲线6 .已知点A（-2,0）、3（3,0）,动点P（笛y）满足西方=/,则点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线7 .如图，已知圆。的方程为W + y2= 100,点A的坐标为（-6,0）,例为圆。上的任意 一点，AM的垂直平分线交OW于点P,则点尸的轨迹方程为（）x2 y2 x2 y2 t25 1625 16（X + 3（X + 3y2+1I）. -1251625168 .与圆产 +）,2-41=。外切，又与），轴相切的圆的圆心轨迹方程是（）A. y2 = 8xB. )

20、9;2 =8x(x>0)和 y = 0C y2 = 8x(x > 0) d. y2 =8工1>0)和丫=0 (x<0)二、埴空题：9 .已知点A（6,0）, 8为圆/ +）3= 4上任意一点，则线段A8的中点用的轨迹方程为10 . P是椭圆，+今=1上的任意一点，"、鸟是它的两个焦点，。为坐标原点,OQ = PF+，月，则动点。的轨迹方程是11 . A4BC的顶点3（-1,0）、。（2,0）,若NACB = 2NA8C,则顶点A的轨迹方程为_12 .在平面内：到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆;到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；2到定

21、直线X =- >和定点F（-C,O）的距离之比为/ （c > a > 0）的点的轨迹是双曲线；2到定点厂（c，0）和定直线工=人的距离之比为色（a >c>。）的点的轨迹是椭圆。C其中正确命题的序号是:三、解答题:13.已知耳（一 1,0）、鸟（1。），Ar°)动点P满足3尸£。4 +。月刀=0求动点P的轨迹方程；是否存在点尸，使得04成为/6。入的平分线？若存在，求出夕点坐标；若不存在, 说明理由。14 .已知点。（-3,0）,点A在），轴上，点。在x轴的正半轴上，点何在直线4。上，满 ， 足 PAAM =0,4"=二2当点A在y轴上

22、移动时，求动点例的轨迹。的方程；设轨迹C的准线为/，焦点为尸，过尸作直线川交轨迹C于G、”两点，过点G作 平行于轨迹C的对称轴的直线，且c/ = E,试问点石、O、H （。为坐标原点）是否 在同一条直线上？并说明理由。15 .如图，已知A （-3P> 0） （P>0）, B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且ABBQ = O,BC = -CQ °2求动点。的轨迹方程；设过点A的直线与。的轨迹交于反尸两点,A'（3p,0）,求直线AE、A'F的斜率 之和。【综合测试】一、选择题：1. （2004辽宁）已知点片（",0）、F,（V2,0）,动点尸满足

23、|P周一|尸娟=2,当点产的纵坐标是!时，点p到坐标原点的距离是（） 23B. - C. a/3 P. 222 .已知椭圆的焦点是月、鸟，夕是椭圆的一个动点，如果"是线段写尸的中点，则动点M的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线3 .（2006河南）侵数2 =、+人工，y tR）,i为虚教单位，且闫2 2。在宣平面上，宣教Z对应的点p（h y）的坐标满足0£y<3-卜+1,则P点的轨迹所确定的图形的面积为（）A.九+ 7 B. 10-C 10 +4 D. 7一乃4 . （2005北京）如图，正方体A8CO-A百G"中，点P在侧面8CG用的

24、边界上运动,并且总保持AP 1 BD,则动点尸的轨迹是（）DiCiA.线段BCB.线段BGC. 中点与CG中点连成的线段d. bc中点与4G中点连成的线段5. （2005北京）方程9/一9y2 -父+ V =。所表示的曲线是（）A.双曲线和一个圆B.双曲线和两条相交直线C.两条相交直线和一个圆D.两条平行直线和一个圆6. （2005北京）若“、N为两个定点且1WN| = 6,动点P满足而丽=0,则点尸的轨迹 是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7. 平面直角坐标系中，。为坐标原点。已知力（3,1）、8（-1,3）,若C满足：OC = aOApOB ,其中。、且。+4=1,则点C的轨迹方程为

25、（）A. （X-1）'=5B. 3x + 2y-l 1 = 0C. 2x-y = 0D. x +2y 5 = 08. （2005湖北）已知两个定点A （-a, 0）、B （a, 0） （a>0）,动直线卜1分别绕A点、B点转动,并保持4到6的角为45,，则方与4的交点的轨迹是（）A. 一条直线B.两条相交直线C.两条平行直线P, 一个圆二、埴空题：229.过椭圆二十=1上任意一点“作不轴的室线，垂足为N,则线段中点的轨迹方程是110.（2005 重庆）已知 A - ,028是圆氏（x +丁=4 （尸为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P ,则动点P的轨迹方程为 o11.

26、 （2005上海）平面直角坐标系my中,若定点A（ 1,2）与动点P（x,，）满足丽市=4, 则点P的轨迹方程为=.12. （2005江西）以下四个关于圆锥曲线的命题中设A、8为两个定点，%为非零常数，若|西卜|而卜k ,则动点P的轨迹为双曲线;过定圆C上一定点A作圆的动弦A3,。为坐标原点，若。户=3（苏+。月），则 动点尸的轨迹为椭圆；方程2x2-5x + 2 = 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;r* 、广r-双曲线”一万=1与椭圆+r = i有相同的焦点；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）。三、解答题:13. （2005江西）设抛物线C：,，=炉的焦点为尸,动点尸在直线/

27、： x y 2 =。上运动，过 P作抛物线。的两条切线/%、尸£且与抛物线。分别相切于A、8两点。求AAP3的重心G的轨迹方程；证明= 方。 2214. 已知椭圆亍+今=1（"力。）的左、右焦点分别是£（一。,0）、鸟（c,0）,Q是椭圆 外的动点，满足|丽卜2"，点尸是线段”。与该椭圆的交点，点T在线段入。上，并且 满足西丽=0,再w6。设工为点P的横坐标，证明|*卜+（工；求点丁的轨迹C的方程；试问：在点7的轨迹C上，是否存在点使AF/W鸟的面积5= 若存在，求鸟的正切值；若不存在，请说明理由。15. （2005北京）巳知直线/:），= 吠+1与曲线

28、。：0+丁=2（"?、awK）交于两点 A、B。设无=3+砺，当” =一2时，求点尸的轨迹方程；是否存在常数。，对任意?£农，都有两砺=-2?如果存在，求出。的值；如 果不存在，说明理由；是否存在常数小，对任意eR+,都有市丽为常数？如果存在，求出?的值； 如果不存在，说明理由。G嬴燎生命吗？那密施费时间;因荷间是组赢一益命的材科-富兰克林【达标测试答案】一、选择题1 .答案：A解析：设P(x(p%)，M(x,y), PM =4MM = 2,_%)+ 2x0_/ 汽 + 2、(-1)_%_2pv°=3x1 + 23 -1 + 23y0=3y + 2又夕(小，%)在

29、已知抛物线上，=2,%2 +1 = 3y + 2 = 2(3x) +1,即 y = 6x2 ；2 .答案：B解析：连结OW,则|(W| = L|P引。|尸61+1”1=2。(=>1号鸟I), 2IMFJ+IM0l= 1(1 PF, 1+1 PF2l) = a(a >1 F.OI),M点的轨迹是以5、O为焦点的椭圆。3.答案：D解析：如图所示，设焦点坐标为F(x, y), 4、4分别为A、8到圆的切线/的距离。,抛物线过点 A(-1,0)、5(1,0),IAFI= J, BF= d2, AF+BF= +cl2 = Id ("为。至M 的距离),.,.IAFI+IBFI=4,

30、即产到A、8的距离之和为4,22尸的方程为：+千=1()号0)4 .答案：C解析：由加次=丸（荏+g团）得/二；/麴+3册）设8C中点为。，则有而=2而，因此点尸在直线AO上移动，故经过AA6C的重 心。5 .答案：B解析：设点。、户的坐标分别为（苍y）、（l，%），由OQ_LO尸，得k°Q,kop=l, 即:牛=f九=一： 又由|OQ| = |OP|,得"+了 =折+ 1 ,即/ + 丁2 =%2 + 1由、消去儿，得点。的轨迹方程为，=1与），= 16 .答案：D解析：PA = （x+2, y）,丽= （x-3, y）,则西丽= （x+2）（x_3） + y2=/，化简

31、得V = x+6,轨迹为抛物线。工答案：C解析：因为点尸在线段AM的垂直平分线上，所以=仍网，PA + PO = PM+PO = OM | = 10,即点 P 到定点 A（-6,0）和 0（0,0）的距离之和为 定长10,所以动点尸轨迹是以4。为焦点的椭圆，中心为（-3,0）,长轴长为io,故尸点（X + 3）2 y2的方程为L + 2- = l 25168 .答案：D解析：设动圆圆心为A/（x,y）,动圆半径为，定圆圆心为C（2,o）,半径h=2,由题设得|MC| = 2 +厂，又r = |x|, /. |MC| = 2 + |a-|,故状了+产=2 + 凶, 化简得丁=4工+ 4凡 当x&

32、gt;0时，）3=8x；当xVO时，），=0, .,所求轨迹方程为 y2 =8x（x）0）fq y=0 （x<0）二、埴空题：9 .答案：（x_3）? + y2=i解析：设"（x,y）,则 3（2工一6,2），），将 8 代入 F + y2=4 得（,.3+），2=110.答案:< +1=1-41厂解析：由oO = pR +困,又所+ * =0疝=2夕。=2。户，设Q（x, y）,即p点坐标为-£，-£ ,又尸在椭圆上, 22）厂 y'即。的轨迹方程是彳+萩=】11 .答案：x2- = l(x>l)解析:设 A(x, y),则 tan Z

33、ABC = ,tan ZACB = ,又 ZACB = 2ZABC, x + x-22上/. tan ZACB = tan 2ZABC = 2tanZ-4BC即一二_ =2,1-tan2 ZABCx - 29一W2整理得储一. = l(x>l)。J12 .答案：解析：根据椭圆及双曲线的第一、第二定义，结合条件及可能出现的变化情况即得。三、解答题：13 .解析：设尸（X，y）,由尸4=（_1_第_力，尸5=（1_g_力，PA = （；_x,_y .丽齐=（-17）67）+（-»玉+1）正西= （17）匕X +(-)')三"-1)/. 3 (x + 1)(x4)+

34、/ +(1)+产°,化简得4 y2 4即为0点的轨迹方程。PF . DA Dp DA假设存在，则 cosN"PA = cosNAPF）。v J, ,_d = . _2 ., 附上网P司网将条件3P1o4代入上式，显然不可能，,这样的P点不存在。14.解析：设点M的坐标为（x，y）,则由aa/ = -gwQ,得由、（ a 、苏病 =0,得3,-； - x,-y =0=），2=4x,故所求动点"的轨迹。的方程为y2 = 4x o轨迹C的焦点为E（LO）,准线为/： x = -1,对称轴为戈轴。当直线机的倾斜角为90°时，直线机的方程为x = l ,代入量2=

35、4x,得' = ±2 = （1,2）、G。, 2）, c/ = E（1,-2）,显然区 O、H 三点共线。当直线加的倾斜角不为90°时，直线机的方程为），= k（x - l）,代入V=4x,得V4=0。设”、g的坐标分别为（今，）'J，（手，火.c/ = E(-l, y2), :.OE = (-,)，2)，丽=信'y ,又 A(-3p,0),x得）-E °、”三点共线。15.解析：设Q(x, y),因为8c = $CQ,所以8 0,- 乙 N所以/公=（3,一）,8.=由巳知方丽=0,则3px-2）3=。，y?=4px,即动点。的轨迹方程为

36、y2 =4px 4设过点A的直线为y = k（x+3p）（女W0）, £（,卬凹）、尸（孙 必），联立方程组y = k（x + 3pk .,消去x得丁 ）/一），+ 3切=o,.g=i2p2y-=4px4k +k _ y ）'2_）'/2-3/%+小x3乃AL X -3p x2-3p（演一3）（±-3）'又）；=4px,>'22 = 4px2,片子-3/%+为23/小（K + %） 手-3P,怙 ”（x,-3/?）（x2-3/7）（内-3）（“3）由 M必=122,得、ae +L =0【综合测试答案】一、选择题：1 .答案：A解析：由巳

37、知4 = 1，C = " b = l, P的轨迹为双曲线r - y2 = l,将y =；代入得则|qp| = F7=J|M=当2 .答案：B解析：如图所示，由题知|P娟+ |”| =，（设椭圆方程为，+今=1,其中a>b>0）。连MO,由三角形的中位线可得：1月用1+1/。1=43>1/，1）,则M的轨迹是以6、。为焦点的椭圆。3 .答案：D4 .答案：A解析：设4、鸟为尸的轨迹上的两点,则AP2 1 BD.,因A、小 鸟不共线，A.4、鸟确定一个平面。，与面8c交于直线<2 ,且知BQ _La ,Eg _L84 ,又在面BC平行且只有B.C与点A确定的平面与

38、耳。垂直，二P点的轨迹为8。5 .答案：C解析：原方程化为卜2-)弓卜2 +)，2-9)= 0, Mx2-y2 =0wgx2 + y2-9 = 0 ,即y = ±x或a2 += 9 ,方程表示两相交直线和一个圆o6 .答案：A解析：以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，并设(-3,0)、N(3,0), P(x, y),则丽.丽= (_3_x,_)，>(3_x,_y) = (x2_9)+ y2=0,即/+),2=97 .答案：D解析:由= a次+尸砺=反=(1_尸)砺+)砺=祝一厉=处方一次)=>AC = /7AB ,设C点坐标为(X y),则 aC = (x-3, y-l

39、),AB = (,2)= (x-3, y-l) = /7(-4,2)=>- =>x+2y-5 = 08 .答案：D解析：设卜/,交点坐标为(x，y),则勺=-，鼠=,而/洌，2的角为45° , x + a x-atan 45 =-堂里=一" =1 ,即 i +),? 一 2ay-a2 =0 是一个圆。1 +与4 1 +上.上 x-a x + a二、埴空题：9 .答案:£ +与=1 cr lr解析：设MN的中点为尸（%，儿），则点M（如2%）在椭圆上，,% + 个】=1，由此得点P的轨迹方程为5 +注 =1cr Zr10 .答案：x2+iy2=解析：由图

40、知，PA = PB, PA + PF = BF = r,结合椭圆定义，知点P的轨迹为椭圆，-11 j 3其中 C = , 4 = 1, D = y244从而求得方程为W +3 = 111 .答案：x + 2y-4 = 012 .答案：解析：当k为负值时，动点轨迹不为双曲线；当砺=-砺时，点尸不在椭圆上;正确，则真命题为、®o三、解答题：13 .解析：设切点4 8坐标分别为（知a：）、（玉，片）（玉工内），切线AP的方程为2x°x - y -玉；=。；切线BP的方程为-xj=。，解得尸点的坐标为4 =X。+内二烧PB的重心G的坐标为% = / + ：+ ?=/2K）+ M _

41、 工0 +汇+入0再 _ （面 + 内）一曲& _ 4%一 一）、）7=-3%；+4%2,由点尸在直线/：“一）2 = 0上运动，从而得到重心G的轨迹方程为X-(3y + 4/) - 2 = 0, gpy = l(4x2-x + 2)方法一：因为bA =，方=X, x.2 -11 4由于尸点在抛物线外，则归可FP-FA.cos/"P = ；工 .2V + X</ _ 11"+了 ，同理有cos /BFP =竺,旦2网网1 知寸+ 74FP网."FA = "FB方法二：当士改）=0时，由于玉工小，不妨设/=0,则%=0,.尸点的坐标为lx I

42、,则P点到直线AF的距商为4=号；1犬而直线BF的方程为y-= 4 天(1 1X,则 2- x-xy + -xI =0 ,/qV-二尸点到直线8歹的距离为4 =_L %+土4； 2 42 1 , 1内|14jT_W.4=“2,即得/PFA = /PFB,人“A当与V。00时，直线A尸的方程为F(x-O),4 与一0)1(1 11 x - 7即 与2一: x_xy+ x =0,直线3厂的方程为=一三(、一0)，4J44 Xj - 014/4d空2卜+K _卜-()+(%)2|西同理可得到尸点到直线BF的距离4 = 因此知4 =出，可得到ZPM = "FB14.解析：证法一：设点户的坐标

43、为(苍y)y+同一花小 、2 L° 4 J%-即V42，7。|L,由。(X,y)在椭圆上，得(1Ai即 V-工一为丁 +二为=0,.P点到直线4E的距高为= J(x+c)?+y?=J(x + ca + £xc由人之一4,知a + -xN-c + a证法二：设点尸的坐标为(x,y)=(x-cf + V ,由八+4 =证法三：设点尸的坐标为(x,y)an a J。，所以|"户|=。+£工记|乔卜 不|可| =，3,则a = J(x + c + y2 ,2a,t2 +r22 =4cx ,得忻户| = ” + £x”尸椭圆的左准线方程由椭圆第二定义得-=crX+ 由 xN-a,知。+ £%之 一c + a >0,所以|"户| = " + £工。解法一：设点厂的坐标为（x,y）,当=0时，点（&。）和点（t/,0）在轨迹上；当|万卜0且|匹卜0时，由万丽=0得万_1丽又同| = |7同，所以T为线段用Q的中点。在QZE中，囱 =；|咽=4,所以 乙综上所述，点T的轨迹。的方程是+解法二：设点了的坐标为（X,），），当冏=0时，点,（）和点（-4,0）在轨迹上；当尸卜。且阿卜。