函数及其表示

1、第一课时第一课时 函数的概念函数的概念问题提出问题提出1.1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？数解析式分别是什么？一次函数：一次函数：y ykxkxb (k0)b (k0)；二次函数：二次函数：y yaxax2 2bxbxc (a0)c (a0)；反比例函数：反比例函数： (k0). (k0). kyx2.2.初中对函数概念是怎样定义的？初中对函数概念是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于并且对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y都有唯一确都有唯一确定的

2、值与其对应，那么我们就说定的值与其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数的函数. . 3.3.我们如何从集合的观点认识函数？我们如何从集合的观点认识函数？知识探究（一）知识探究（一） 一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s26s落到地面击落到地面击中目标中目标. .炮弹的射高为炮弹的射高为845m845m，且炮弹距离，且炮弹距离地面的高度地面的高度h h（单位：（单位：m m）随时间）随时间t t（单位：（单位：s s）变化的规律是：）变化的规律是： 思考思考1 1：这里的变量这里的变量t t的变化范围是什么？的变化范围是什么？变量变量h h的变化范围是什么

3、？试用集合表示？的变化范围是什么？试用集合表示？A At|0t26t|0t26，B Bh|0h845h|0h845思考思考2 2：高度变量高度变量h h与时间变量与时间变量t t之间的之间的对应关系是否为函数？若是，其自对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？变量是什么？思考思考3 3：炮弹在空中的运行轨迹是炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高什么？射高845m845m是怎样得到的？是怎样得到的？ 知识探究（二）知识探究（二）1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001t（年）（年）S（106km2）50101520253

4、026近几十年来，大气层中的臭氧迅近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞速减少，因而出现了臭氧层空洞问题问题. . 下图中的曲线显示了南极下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从上空臭氧层空洞的面积从1979197920012001年的变化情况年的变化情况. . 思考思考1 1：根据曲线分析，时间根据曲线分析，时间t t的变的变化范围是什么？臭氧层空洞面积化范围是什么？臭氧层空洞面积S S的的变化范围是什么？试用集合表示？变化范围是什么？试用集合表示？A At|1979t2001t|1979t2001；B Bs|0s26s|0s26思考思考2 2：时间变量时间变量t t与

5、臭氧层空洞面与臭氧层空洞面积积S S之间的对应关系是否为函数？之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？若是，其自变量是什么？思考思考3 3：这里表示函数关系的方式这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？与上例有什么不同？知识探究（三）知识探究（三）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高生活质量越高.下表是下表是“八五八五”计划以来计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况我国城镇居民恩格尔系数变化情况.食物支出金额恩格尔系数总支出金额思考思考1 1：用用t t表示时间，表示时间，r

6、 r表示恩格尔表示恩格尔系数，那么系数，那么t t和和r r的变化范围分别是的变化范围分别是什么？什么？ A=1991A=1991，19921992，20012001， B=53.8 B=53.8，52.952.9，50.150.1，49.949.9， 48.6 48.6，46.446.4，44.544.5，41.941.9， 39.2 39.2，37.937.9思考思考2 2：时间变量时间变量t t与恩格尔系数与恩格尔系数r r之间之间的对应关系是否为函数？的对应关系是否为函数？ 知识探究（四）知识探究（四）思考思考1:1:从集合与对应的观点分析，从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之

7、间的关系上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？都可以怎样描述？ 对于非空数集对于非空数集A A中的每一个中的每一个x x，按，按照某种对应关系照某种对应关系f f，在数集，在数集B B中都有中都有唯一确定的唯一确定的y y和它对应，记作和它对应，记作 f f：AB.AB.思考思考2:2:上述三个实例中变量之间的关系上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？析，函数还可以怎样定义？ 设设A A，B B是非空的数集，如果按照某是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系种确定的对应关系f f，使对于集合，使对于集合A

8、A中中的任意一个数的任意一个数x x，在集合，在集合B B中都有唯一中都有唯一确定的数确定的数f(xf(x) )和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数，的一个函数，记作记作 y=y=f(xf(x) )，xAxA. .其中，其中，x x叫做自叫做自变量，与变量，与x x值相对应的值相对应的y y值叫做函数值值叫做函数值. .思考思考3:3:在一个函数中，自变量在一个函数中，自变量x x和函数值和函数值y y的变化范围都是集合，这两个集合分的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？别叫什么名称？自变量的取值范围自变量的取值范围A

9、A叫做函数的定义域叫做函数的定义域函数值的集合函数值的集合 f(x)|xAf(x)|xA 叫做函数的叫做函数的值域值域. .思考思考4:4:在从集合在从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数f f：ABAB中，集合中，集合A A是函数的定义域，集合是函数的定义域，集合B B是函数的值域吗？怎样理解是函数的值域吗？怎样理解f(xf(x)=1)=1，xRxR？值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .思考思考5:5:一个函数由哪几个部分组成？如一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条函数的值域确定

10、吗？两个函数相等的条件是什么件是什么？ 定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系、值域；定义域相同，对应关系相同，则定义域相同，对应关系相同，则两个函数相等是两个函数相等是一致的一致的. 函数的值域由函数的定义域和对应关函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；系所确定；(1) 集合集合A，B是非空的数集。是非空的数集。(2) 值域值域C是数集是数集B的子集，它是函数值的的子集，它是函数值的 集合，由定义域和对应法则所确定。集合，由定义域和对应法则所确定。(3) 函数符号函数符号”y=f(x)”为为“y是是x的函数的函数”的的 数学表示，它仅仅是函数符号，不是数学表示，它仅仅是函数符号，不是

11、表示表示 “y等于等于f与与x的乘积的乘积”. (4) 在定义中所用的字母在定义中所用的字母x,y,只是习惯的只是习惯的 表示方法，在不引起混淆的情况下表示方法，在不引起混淆的情况下 可以任意取用，比如可以定义函数可以任意取用，比如可以定义函数 y=g（x），或函数），或函数 y=F（t）等等。）等等。理论迁移理论迁移例例1 1 已知函数已知函数（1 1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（2 2）求）求 的值；的值；（3 3）当）当a a0 0时，求时，求 的值的值. .1( )32f xxx2( 3),( )3ff( ),(1)f af a例例2 2 在下列各组函数中在下列各组函数中 与与

12、 是否相等？为是否相等？为什么？什么？22222(1) ( )( )( )() ;(3) ( )11( )1;(4) ( )21( )21.xf xxf xxg xxf xxxg xxf xxxg ttt 与g(x)=1;(2)与与与( )g x( )f x 作业：作业：P P2424习题习题1.2A1.2A组：组： 1 1，2 2，3 3，4.4.1.2.1 1.2.1 函数函数的概念的概念第二课时第二课时 区间的概念区间的概念问题提出问题提出1.1.什么叫函数？用什么符号表示函数？什么叫函数？用什么符号表示函数？2.2.什么是函数的定义域？值域？什么是函数的定义域？值域？3. 3. 集合更

13、简单的表示方法吗？集合更简单的表示方法吗？知识内容总结成下表：知识内容总结成下表： 这里的实数这里的实数a a与与b b都叫做相应区间的端点都叫做相应区间的端点. .( a, b ( a, b 半开半闭半开半闭区间区间 x|ax|a xbxb a, b ) a, b )半开半闭半开半闭区间区间 x|axx|axbb a a b b( a, b )( a, b )开区间开区间 x|ax|axbx0,0,对对应关系应关系f f：正方形：正方形面积，那么从集合面积，那么从集合A A到集到集合合B B的对应是否是函数？为什么？的对应是否是函数？为什么？2.2.函数是函数是“两个数集两个数集A A、B

14、B间的一种确定的对间的一种确定的对应关系应关系”，如果集合，如果集合A A、B B不都是数集，这种不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？对应关系又怎样解释呢？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个对应：考察下列两个对应：AB图图1 1图图2 2AB思考思考1:1:上述两个对应有何共同特点？上述两个对应有何共同特点？集合集合A A中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素，在集合B B中都有唯中都有唯一确定的元素和它对应一确定的元素和它对应. .思考思考2:2:我们把具有上述特点的对应叫做映我们把具有上述特点的对应叫做映 射，那么如何定义映射？射，那么如何定义映射？ 设设A A、B B是两个非空

15、的集合，如果按某是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系一个确定的对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中中的任意一个元素的任意一个元素x x，在集合，在集合B B中都有唯一中都有唯一确定的元素确定的元素y y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个映射的一个映射. .其中其中集合集合A A中的元素中的元素x x称为原象，在集合称为原象，在集合B B中与中与x x对应的元素对应的元素y y称为象称为象. .思考思考3:3:下图中的对应是不是映射？为什么？下图中的对应是不是映射？为什么？AB B图图1 1AB B图图2

16、2不是不是不是不是知识探究（二）知识探究（二）思考思考1:1:函数一定是映射吗？函数一定是映射吗？ 映射一定是函数吗？映射一定是函数吗？思考思考2:2:映射有哪几种对应形式？映射有哪几种对应形式？ 一对一，多对一一对一，多对一 是是不一定是不一定是思考思考3:3:图图1 1是从集合是从集合A A到集合到集合B B的一个映射吗？的一个映射吗？ 图图2 2是从集合是从集合B B到集合到集合A A的一个映射吗？的一个映射吗？AB B图图1 1AB B图图2 2是是不是不是映射的特征映射的特征“唯一性唯一性”：对于集合：对于集合A A中的任何一个元中的任何一个元素，在集合素，在集合B B中和它对应的元

17、素是唯一的中和它对应的元素是唯一的. .“有序性有序性”：映射是有方向的，：映射是有方向的，A A到到B B的映的映射与射与B B到到A A的映射往往不是同一个映射；的映射往往不是同一个映射；“存在性存在性”：对于集合：对于集合A A中的任何一个元素，中的任何一个元素，集合集合B B中都存在唯一的元素和它对应；中都存在唯一的元素和它对应；理论迁移理论迁移例例1 1 试判断下面给出的对应是否为从集合试判断下面给出的对应是否为从集合A A到集合到集合B B的映射？的映射？（1 1）集合）集合A=P|PA=P|P是数轴上的点是数轴上的点 ，集合，集合B=RB=R，对应，对应关系关系f f：数轴上的点

18、与它所代表的实数对应；：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2 2）集合）集合A=P|PA=P|P是平面直角坐标系中的点是平面直角坐标系中的点 ，集，集合合B=(B=(x,y)|xR,yRx,y)|xR,yR ，对应关系，对应关系f f：平面直角：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；坐标系中的点与它的坐标对应；（3 3）集合）集合A=A=x|xx|x是三角形是三角形,集合集合B=B=x|xx|x是圆是圆 ，对应关系对应关系f f：每一个三角形都对应它的内切圆；：每一个三角形都对应它的内切圆；（4 4）集合）集合A=A=x|xx|x是师大附中的是师大附中的班级班级 ，集合，集合B=B=x|xx|x

19、是师大附中是师大附中的学生的学生 ，对应关系，对应关系f f：每一个：每一个班级都对应班里的学生班级都对应班里的学生; ;（5 5）集合）集合A=1,2,3,4, B=3A=1,2,3,4, B=3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，99，对应关系，对应关系f f：x2x+1 x2x+1 例例2 2 下列对应关系下列对应关系f f是否为从集合是否为从集合A A到集合到集合B B的的函数？函数？22(1), |0,:|;(2),:;(3),:;(4),:3.AR By yfxxAR BR fxxAZ BR fxxAZ BZ fxx22(1), |0,:|;(2),:;(3),:;(4),:3.AR By yfxxA