第二章平面力系(第二版)

1、1第二章第二章 平面力系平面力系2引引 言言平面力系平面力系力系力系 空间力系空间力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面任意力系平面任意力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间任意力系空间任意力系两种简单力系，研两种简单力系，研究复杂力系的基础究复杂力系的基础3 2.1 平面汇交力系平面汇交力系 2.3 平面力偶平面力偶 2.4 平面任意力系的简化平面任意力系的简化本章内容：本章内容： 2.2 平面平面力对点之矩力对点之矩 2.5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2.6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 2.7 平面桁架的内力计算

2、平面桁架的内力计算42.1 2.1 平面汇交力系平面汇交力系一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个力的合成两个力的合成力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的三角形法则力的三角形法则52. 多个力的合成多个力的合成oF1F2F3F4力多边形力多边形结论：结论：FR12FR123FRF1ABF2CF3DF4E(1)多个力构成的汇交力系合成时，可反复利用力的平多个力构成的汇交力系合成时，可反复利用力的平行四边形法则或三角形法则求解行四边形法则或三角形法则求解(2)还可用还可用力多边形法则力多边形法则求力系的合力。力多边形的封求力系的合力。力多边形的封闭边即为该力系的合力。闭边即为该力系的合力

3、。F2F3F4F1FRCDEBA4321FFFFFR6F2F2F3F4FRF3F1F1根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图顺序，可得形状不同的力多边形，但其合作图顺序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢任然不变，即力系的合成过程与各分力的力矢任然不变，即力系的合成过程与各分力的合成次序无关。合成次序无关。注注:oF1F2F3F4F4FR7 F1F2F3F4Fn刚体平衡刚体平衡 FR=0 力多边形自行封闭力多边形自行封闭二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件oF1F2F3F4Fn结论：结论：平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力

4、系平衡的几何条件:该力系的力多边形该力系的力多边形自行封闭。自行封闭。8几何法解题步骤：几何法解题步骤： 选研究对象；选研究对象； 作出受力图；作出受力图； 选择适当的比例尺，作力多边形；选择适当的比例尺，作力多边形； 求出未知数求出未知数9已知已知: 求求: A, B , C处的约束反力处的约束反力解解:(1)以以AC为研究对象为研究对象, 作作受力图如右受力图如右:(2) 以以CB为研究对象为研究对象, 作受力图如右作受力图如右, ABCPaaaPRBRCB45 CRARC45 ACP45 45 RBRC所以所以 并作力多边形如下并作力多边形如下:PPRRCB707. 045cosPRRC

5、A707. 0例例 10几何法解题不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。111. 力在平面直角坐标轴上的投影力在平面直角坐标轴上的投影三、三、 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法FFxcosFFycos22yxFFFFy=Fsin=F cosFx=Fcosa(1) 投影是代数量投影是代数量(2) 正负号的规定正负号的规定(3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别注意注意b1aba1FxFyxFyF为为力的解析表达式力的解析表达式 jiF

6、yxFFjFiFyyxxFF12(b)(b)力力F在相互不垂直的轴在相互不垂直的轴 x、y上的投影与沿上的投影与沿轴分解的分力大小是不相等的轴分解的分力大小是不相等的。y xFO 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小, ,而分而分力的大小却不一定小于合力。力的大小却不一定小于合力。力在任一轴上的投影可求，力沿一轴上的分量不可定。力在任一轴上的投影可求，力沿一轴上的分量不可定。xOFx分力分力Fx=？讨论：力的投影与分量讨论：力的投影与分量可见，可见， （a)a)力力F F在垂直坐标轴在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分上的投影与沿轴分解的分力大小相等解的

7、分力大小相等。FxyOxFy OFyFxFyFxFyFx132. 合力投影定理合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x轴投影的和为：轴投影的和为： aeFx4321xxxxFFFF41ixiFnixixFF1niyiyFF1 推广推广decdbcab14合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力合力在任一轴上的投影，等于各分力 在同一轴上投影的代数和。在同一轴上投影的代数和。nixixFF1niyiyFF1 推广推广合力的大小：合力的大小： RxiRxRFFFF),(cosiF2222)()(yixiyxRFFFFFRyiRyRFFFF),(cosjF方向方向：

8、15四、平面汇交力系平衡方程四、平面汇交力系平衡方程00yixiFF结论：结论：平面汇交力系平衡的充分必要条件平面汇交力系平衡的充分必要条件:各力在各力在两个坐标轴两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程刚体平衡刚体平衡 FR=00)()(22yixiRFFF关系？关系？16PABC303030FFTFABFBCB303030例例 已知：已知：P=20kN ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与与BC所受的力。所受的力。解：解： （1）以滑轮为研究对象，）以滑轮为研究对象， 并画受力图如右上方并画受力图如

9、右上方 （2）列平衡方程求解）列平衡方程求解, 0 xF030sin30cosTBCABFFF, 0yF030cos30sinFFFTBC其中其中 PFFTkNFAB64.54kNFBC64.74解得解得 （压）（压） （拉）（拉）17【例例】 如图所示结构，重力如图所示结构，重力P20kN，用钢丝绳挂在，用钢丝绳挂在支架的滑轮支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上，杆上，杆AB与与BC铰接，并以铰链铰接，并以铰链A、C与墙连接与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时轮的大小，试求平衡时AB杆

10、和杆和BC杆所受的力。杆所受的力。(a)(b)解解: (1)取滑轮为研究对象取滑轮为研究对象，由于滑轮的大小可忽略不计由于滑轮的大小可忽略不计，故其受力图如下图（，故其受力图如下图（b）所示。所示。18(2)列平衡方程列平衡方程，建立如图（，建立如图（b）所示的直角坐标系）所示的直角坐标系其中其中 F1=F2=P:0 xF030cos60cos21FFFBA(a)060cos30cos21FFFBC:0yF(b)(3)求解上两方程得求解上两方程得kN321. 7366. 0PFBAkN32.27366. 1PFBC(b)19(a)(b)解解: (1)画梁的受力图画梁的受力图如图（如图（b）所示

11、。）所示。(2)列平衡方程列平衡方程如下：如下：045sinsinBRRAFPF:0yF(b):0 xF045coscosPFRA(a)又又 2142tan(3)联解上各式联解上各式得得:kN81.15RAFkN07. 7RBF57.26【例例】 求如图所示梁的支座约束反力（梁重忽略不计）求如图所示梁的支座约束反力（梁重忽略不计）200 xF0yF045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例例 已知已知 P=2kN ，求求CD所受的力和所受的力和A处的约束反力。处的约束反力。312.14.0 ABEB tan解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sinPSCDkN

12、16. 3cos45cosCDASR解：解：(1)以以AB杆为研究对象杆为研究对象，画其受，画其受 力图如右下方所示力图如右下方所示(2)列平衡方程列平衡方程求解求解21例例 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求F F 力作力作用下工件所受到的夹紧力。用下工件所受到的夹紧力。解解：ABCFyxO逐一讨论逐一讨论A、B 块块，受力如受力如图示图示。ABFBAFCFBFABFAF0sinFFAB0cosCBAFFBAABFF对对A：对对B：而而AB为二力杆：为二力杆：FC=Fctg 由平面汇交力系平衡方程：由平面汇交力系平衡方程： , 0 xF , 0yF22解

13、题技巧：解题技巧：1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有只有 一个未知数。一个未知数。 2、力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力、力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力 方向与假设相反。方向与假设相反。3、对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，、对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值， 说明物体受压说明物体受压 力。力。23 不仅与力的大不仅与力的大小成正比，而且与点到力的作用线的垂直距离成正比小成正比，而且与点到力的作用线的垂直距离成正比一、力对点之矩的概念和计算一、力对点之矩的概念和计算1. 大小：力大小：力F与

14、力臂的乘积与力臂的乘积2. 转向：转动方向，逆正顺负转向：转动方向，逆正顺负 hFMOF力使物体绕某一点转动的效应的度量，力使物体绕某一点转动的效应的度量， FOM表示符号：表示符号：在平面内，力对点之矩是一在平面内，力对点之矩是一代代数量数量。有两个要素：。有两个要素：BAOAB2当当 F=0 =0 或或 h=0 =0 时，时， 。0)(FOMF沿沿作用线移动时，力对点之矩不变作用线移动时，力对点之矩不变易知：易知：2.2 2.2 平面力对点之矩平面力对点之矩24xyF1F2BA二、合力矩定理二、合力矩定理DCOFR21FFFRyOADDFODSM112)(FyOBDDFODSM222)(F

15、RyOCDRDFODSM2)(FyyRyFFF21 )()()( 21FFFDDRDMMM2521FFFRxDCBAOF1F2FRy)()()(21FFFDDRDMMM 推推 广广niiOOM1) )( () )( ( FFMR 定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。等于所有各分力对同一点的矩的代数和。26力矩力矩 合力矩合力矩 三、三、 力矩与合力矩的解析式力矩与合力矩的解析式 xyxOyOOFyFxMMMFFFixiiyiFyFx iOROMMFF27mN2360cos360sin2)()()(FFMMM

16、yAxAAFFF解：解：将将F分解分解N,1 10 00 0F 例例 力力F 作用于支架上的点作用于支架上的点C, ,如图所示，设如图所示，设试求力试求力F分别对点分别对点A, B之矩。之矩。3mABC60F2mmN15060cos30)()()(FMMMyBxBBFFFxFyF28解：解：用力对点之矩的定义求用力对点之矩的定义求例例 已知：如图已知：如图 F、Q、l, 求：求： 和和)(FOM)(QOM sin)(lFdFMOFlQMO)(Qsincot)(lFlFlFMyxOFlQMO)(Q应用合力矩定理求应用合力矩定理求29力偶：力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力由两个大小相

17、等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。组成的力系。力偶矩力偶矩是一代数量。是一代数量。一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩)()(),(FFFFOOOMMMFdxFdxF)(FdM),(FF可见，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长可见，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，短，与矩心位置无关与矩心位置无关。 在力学上，以力偶矩在力学上，以力偶矩 或或 M 度量力偶对物体的转动效应。度量力偶对物体的转动效应。),(F FF FM逆正顺负逆正顺负记作记作),(FF2.3 2.3 平面力偶系平面力偶系30（2）任一力偶可以在它的作用平面内任意移动，而不）任一力偶可以在它的作用平面内任意移

18、动，而不 改变力偶对刚体的效应。改变力偶对刚体的效应。同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效，即为偶彼此等效，即为同平面内力偶的等效定理同平面内力偶的等效定理。二、二、 同平面内力偶的等效定理同平面内力偶的等效定理( (1) ) 力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替代；力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替代； 力偶也不能用一个力来平衡。力偶也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学力和力偶是静力学 的两个基本要素。的两个基本要素。1.定理定理（3）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可

19、以 同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不 改变力偶对刚体的效应。改变力偶对刚体的效应。2.力偶的性质力偶的性质3160N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m2F 2F1F1F d1d21.1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成设有两个力偶设有两个力偶三、平面力偶系的合成与平衡三、平面力偶系的合成与平衡;111dFM 222dFM3F3F4F4Fd;13MdF24MdF32;43FFF43FFF2143)( MMdFFdFM合合力力偶偶矩矩FFd2F 2F1F1F d1d23F3F4F4Fd;111dFM 222dFM;13MdF24M

20、dF33 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各力偶矩所有各力偶矩的代数和等于零。的代数和等于零。 niinMMMMM12101niiM结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,合力偶矩等合力偶矩等于各个力偶矩的代数和于各个力偶矩的代数和。推广推广: :即即2.2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件34 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等在工件上同时钻四个等直径的孔直径的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端约束反力端约束

21、反力? ? mN154321MMMMmN60)15(4 4321MMMMM02 . 04321MMMMFNAN3002 . 060NAFN 300NANBFF由平面力偶系平衡方程有由平面力偶系平衡方程有: :（2）根据力偶的性质，力）根据力偶的性质，力FNA与与FNB必组成一力偶。必组成一力偶。方向如图所示方向如图所示 2M1M3M4MNAFNBF解解: : (1) (1)工件的总切削力偶距为工件的总切削力偶距为35 例例 在梁在梁AB的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小分别为分别为m1=125kNm, m2=275kNm, ,转向如图所示。梁长转向如图所示。梁

22、长5m, ,重量不计，试求固定铰链支座重量不计，试求固定铰链支座A和滚动支座和滚动支座B的约的约束反力。束反力。解：解：取梁取梁AB为研究对象，根据力偶的性质画出梁为研究对象，根据力偶的性质画出梁的受力图如图所示。的受力图如图所示。由平面力偶系的平衡条件得：由平面力偶系的平衡条件得：0iM即即021lRmmAkN30512527512lmmRRBAlAB36解解: : BC为二力杆，又根据力偶为二力杆，又根据力偶的性质，两半拱及整体的受力的性质，两半拱及整体的受力如图所示。如图所示。bMABacFB BFCBdFM0可解得可解得BF例例三铰拱受力偶三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，作用，不计拱

23、的重量， 求求A、B 处的约束力。处的约束力。BCCAFFFF有有又由又由 0MFAFBA BbMcdaFAAMF Cd37 作用在物体上的作用在物体上的 力的作用线任意分布在同一平力的作用线任意分布在同一平面内的力系面内的力系 ；当物体及所受的力都对称于同一平面；当物体及所受的力都对称于同一平面时，也为平面任意力系问题时，也为平面任意力系问题 。 本节介绍平面任意力系的简化和平衡问题，并本节介绍平面任意力系的简化和平衡问题，并介绍平面简单桁架的内力计算介绍平面简单桁架的内力计算2.4 2.4 平面任意力系的简化平面任意力系的简化38一、一、 力的平移定理力的平移定理其中其中ABFdBMFBA

24、FdFF FFF 可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力来的力F 对新作用点对新作用点B的矩。的矩。)(F FBMFdM39二、平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩主矢和主矩F1F2OFnOO 为简化中心为简化中心 Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，n) 平面任意力系等效为两个简单力系：平面平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。汇交力系和平面力偶系。MnnFM22FM11FnnF

25、FFFFF , , ,221140MO = M1+M2+Mn FR :原力系的原力系的主矢主矢MO：原力系对点原力系对点O的的主矩主矩 平面任意力系向作用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的力偶。这个力等于该力系的主矢，主矢，作用线通过简化中心作用线通过简化中心O。这个。这个力偶的矩等于该力系力偶的矩等于该力系对点对点O的的主矩。主矩。 平面汇交力系可合成为作用线通过点平面汇交力系可合成为作用线通过点O的一个力的一个力:平面力偶系可合成为一个力偶平面力偶系可合成为一个力偶: : n1iiFn1ii)(FMOoMOnFFFF

26、21RRFF1F2OFnOMnnFM22FM11F41 建立坐标系建立坐标系Oxy，则力系，则力系主矢主矢的解析表达式为的解析表达式为主矢主矢FR 的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为主矩主矩的大小为的大小为 22)()(yxFF FRRR),cos(FFiFxRy),(cosFFjFRRRRxyxyxyFFFF iF jF iF jnii 1()OOMMFF1F2OFnOMnnFM22FM11FoMORFxy42固定端约束或插入端支座约束固定端约束或插入端支座约束 FAxFAyMAAAFA MA 43三、三、 平面任意力系简化结果的分析平面任意力系简化结果的分析合力矩定理合力矩定理 简化结果

27、可能有以下几种情况，即简化结果可能有以下几种情况，即：（1 1）FR = 0，Mo 0； （2 2）FR 0，Mo = 0； （3 3）FR 0，Mo 0； （4 4）FR = 0， Mo = 0。FR = 0，Mo 0原力系合成为原力系合成为合力偶合力偶，合力偶矩，合力偶矩为为（2 2）平面任意力系简化为）平面任意力系简化为一个合力一个合力的情形的情形原力系简化为原力系简化为一个力一个力， FR 就是原力系的合力就是原力系的合力,合力合力作用作用线通过简化中心线通过简化中心O。n1ii)(FMMOO（1 1）平面任意力系简化为）平面任意力系简化为一个力偶一个力偶的情形的情形(a) FR 0，

28、Mo = 01. 简化结果分析简化结果分析44OFR MoAOAdFR FR FRdOAFR 原力系简化为原力系简化为一个力一个力，合力矢等于主矢；合力的合力矢等于主矢；合力的作用线在作用线在点点O的哪一侧，根据的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力主矢和主矩的方向确定；合力作用线到作用线到点点O的距离为的距离为d。ROFMd 平面任意力系平面任意力系平衡平衡。（3 3）平面任意力系）平面任意力系平衡平衡的情形的情形(b) FR 0，Mo 0FR = 0，MO = 0RRRFFF 45又又得得合力矩定理：合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力

29、系中各力对同一点的矩的代数和。点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。n1i)(iOOMMF Fn1i)()(iOROFMFM(b)OFR MoAOAdFR FR FRdOAFR(c)(a) 2.平面任意力系的合力矩定理平面任意力系的合力矩定理ORRO Md FFM)(由图由图(c), (c), 合力合力 对点对点O的矩的矩为为RF46 例例 已知已知F1=150N，F2=200N ，F3=300N ，F= F =200N。求力系向点求力系向点O简化的结果，并求力系合力的大小及其与原简化的结果，并求力系合力的大小及其与原点点O的距离。的距离。解解: :N 437.652101cos45321

30、FFFFxN 161.651103sin45321FFFFyjiF161.6437.6R（a a）求主矢大小，并确定方向）求主矢大小，并确定方向（1 1）求）求力系向点力系向点O简化的结果简化的结果F31210020011F113F280FF xyOji（a）47466.5N)161.6(437.6)()()(2222yxRFFFN 437.6xFN 161.6yF 主矢大小为：主矢大小为：主矢方向：主矢方向：71. 26 .1616 .437tan yxFF73.69 mN 21.440.08510.2sin45.0.1)(3 1FFFFMMOO（b b）求主矩大小，并确定方向）求主矩大小，

31、并确定方向逆时针逆时针MOFR Oxy（b）F31210020011F113F280FF xyOji（a）48MOFR Oxy(b)466.5NRRFF（2 2）求合力及其与原点）求合力及其与原点O的距离的距离45.96mmROFMd(c)OxyFRd如图如图(c) (c) 。492)(0l qdxxqFl设合力作用线到设合力作用线到A端的距离为端的距离为 xC ，ll ql qxlxqFxlC3223d1202xdxq(x)dxlxxxqxF0cd)(FxcABlq梁由梁由 x=0 到到 x=l 的分布载荷合力为的分布载荷合力为根据合力矩定理根据合力矩定理 例例 水平梁水平梁AB受按三角形分

32、布的载荷作用，如图示。受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为载荷的最大值为q，梁长，梁长l，求合力，求合力作用线作用线的位置。的位置。 解：解： 在在梁上距梁上距A端为端为 x 处的载荷集度为处的载荷集度为 。在此。在此处取的一微段处取的一微段dx，梁在微段，梁在微段dx 受的力近似为受的力近似为 F(x) = q(x)dx。( ) xq xql50 2.5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：讨论平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形： FR = 0 Mo = 0 主矢等于零，表明作用于主矢等于零，表明作用于

33、简化中心简化中心O的汇交力系为的汇交力系为平衡平衡力系；力系；主矩等于零，表明主矩等于零，表明附加力偶系也是附加力偶系也是平衡平衡力系，所以原力系必为力系，所以原力系必为平平衡衡力系。上式为平面任意力系力系。上式为平面任意力系平衡的平衡的充分条件充分条件。 由上节分析结果可知：主矢和主矩有一个不等于零时，则力系由上节分析结果可知：主矢和主矩有一个不等于零时，则力系简化为合力或合力偶；若主矢和主矩都不等于零，可进一步简化为简化为合力或合力偶；若主矢和主矩都不等于零，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零

34、时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的零时，力系才能平衡，上式为平面任意力系平衡的必要条件必要条件。 任意力系平衡的任意力系平衡的充分必要充分必要条件条件：力系的主矢和对任一力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。点的主矩都等于零。 510 xF0)(FMB0)(FMA0yF（或或 ） 一、平衡条件的解析式一、平衡条件的解析式( (即平衡方程）：即平衡方程）： 二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式条件是：条件是：A、B两点两点的连线不能与的连线不能与 x 轴轴或或 y 轴垂直轴垂直条件是：条件是：A、B、C三点不能共线三点不能共线0 xF0yF0)(FMO下一页55560)(FMB0)(FMA0)

35、(FMC52 例例 图示水平梁图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，端为固定铰链支座，B端为一端为一滚动支座。梁长为滚动支座。梁长为4a，梁重梁重P，作用在梁的中点作用在梁的中点C。在在梁的梁的AC段上受均布载荷段上受均布载荷q作用，在梁的作用，在梁的BC段上受力偶段上受力偶作用，力偶矩作用，力偶矩M = = Pa。求。求A和和B处的支座约束力。处的支座约束力。 AB4a2aMPqC53解解：（：（1 1）A A、B B两处的约束反力如图所示。两处的约束反力如图所示。AB4a2aMPqFBFAxFAy联解上各式得联解上各式得 0:xF :0yF:0)(FMA0AxF20AyBFqaPF0224a

36、aqaPMaFBaqPFB21431342AyFPq a0 xAF（2）列静力平衡方）列静力平衡方程如下程如下54例例 如图所示平面刚架如图所示平面刚架AB，其上作用有力，其上作用有力P 和力偶和力偶M，力偶，力偶矩等于矩等于Pa，若，若P、a均为已知，求均为已知，求A、B两处的约束反力。两处的约束反力。aaaM=PaPABC55解法一解法一：（：（1 1）A A、B B两处的约束反力如图所示。两处的约束反力如图所示。（2）列静力平衡方程如下）列静力平衡方程如下0:xF0:yF( )0:AM F aaaM=PaPABCRB XAYA0 PXA0BARY0MaPaRB联解上各式得：联解上各式得：

37、 PXAPYA2PRB256二力矩二力矩式式aaaM=PaPABCRB XAYA（2）列静力平衡方程如下）列静力平衡方程如下0:xF:0)(FMA0 PXA0MaPaRB联解上各式得：联解上各式得： PXAPYA2PRB2D:0)(FMD0MaPaYA50解法二解法二：（：（1 1）A A、B B两处的约束反力如图所示。两处的约束反力如图所示。57:0)(FMDaaaM=PaPABCRB XAYAD（2）列静力平衡方程如下）列静力平衡方程如下:0)(FMA0MaPaRB联解上各式得：联解上各式得： PXAPYA20MaPaYA:0)(FMB02MaPaYaXAAPRB2三力矩三力矩式式50解法

38、三解法三：（：（1 1）A A、B B两处的约束反力如图所示。两处的约束反力如图所示。58例例 自重为自重为P=100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于铅垂面内，载荷如图示。其中载荷如图示。其中M=20kNm,F=400kN, q=20kNm,l=1m。求固定端。求固定端A的约束力。的约束力。MPADB3lllqF3059MPADB3lllqF30解方程得：解方程得： 0 xF0yF0AMFAyMA13cos3002AxFqlFsin300AyFPF13sin30cos30302AMMql lFlFl316.4kN321cos30aqFFAxAsin30300kNyFPF11

39、88kN3cos30sin30321lFlFllqMMA解：解：T字形刚架字形刚架ABD的受力如图所示。的受力如图所示。FAx60二、二、平面平行力系平面平行力系的平衡的平衡 xF1F2F3FnyO如图：物体受平面平行力系如图：物体受平面平行力系F1 ，F2 ， ， Fn的作用。的作用。则平行力系的独立平衡方程为则平行力系的独立平衡方程为 ：如取如取 x 轴与各力垂直，不论力系轴与各力垂直，不论力系是否平衡，恒有是否平衡，恒有0 xF0yF0)(FMA0)(FMA0)(FMB平行力系平衡方程的二力矩式：平行力系平衡方程的二力矩式：612m2mQWPAB6m12m 例例 塔式起重机如图所示。机身

40、总重为塔式起重机如图所示。机身总重为W=220kN，作用线通，作用线通过过塔架的中心。最大起重量塔架的中心。最大起重量P=50kN，平衡块重平衡块重Q3030kN。求：满。求：满载和空载时载和空载时轨道轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻倒的危险。无翻倒的危险。（1）起重机受力图如图所示起重机受力图如图所示（2）列平衡方程）列平衡方程 如下：如下：解：解：:0AM0)212(24)26(PWRQB:0BM04)212(2)26(ARPWQ解方程得解方程得: : PRA5 . 2170PRB5 . 380RBRA62 满载时满载时, ,P

41、=50=50kN, ,则则 空载时空载时, , P=0,=0,则则RA=45kNRB=255kNRA=170kNRB=80kN讨论讨论:(a)满载时，为了保证起重机不致绕满载时，为了保证起重机不致绕B点翻到，必须使点翻到，必须使RA0;同理，空载时，同理，空载时，为了保证起重机不致绕为了保证起重机不致绕A点翻到，必点翻到，必须使须使RB0;(b)由上计算知：满载时，由上计算知：满载时，RA=45kN0; 空载时，空载时，RB=80 kN0; 所以此所以此起重机在使用过程中无翻倒的危险。起重机在使用过程中无翻倒的危险。PRA5 . 2170PRB5 . 3802m2mQWPAB6m12mRBRA

42、63 例例 塔式起重机如图。机架重为塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用线通过，作用线通过塔架塔架的中心。最大起重量的中心。最大起重量P2=200KN，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间的间距为距为4m。平衡荷重。平衡荷重P3，到机中心距离为，到机中心距离为6m。求：。求：保证起重机在满保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡荷重载和空载时都不致翻倒，平衡荷重P3 为多少？为多少？解解: : (1)(1)选起重机为研究对象选起重机为研究对象, ,受力如受力如 图示。图示。2m2mP3P1P2AB6m12mFAFB（2）列平衡方程）列平衡方程 如下：如下：:0AM0)2

43、12(24)26(213PPFPB:0BM04)212(2)26(213AFPPP64解方程得解方程得: : 3505 . 225 . 05 . 2223123PPPPPFA232315 . 33505 . 35 . 0PPPPPFB2m2mP3P1P2AB6m12mFAFB65 起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，倒，平衡荷重平衡荷重P3应在两者之间，即：应在两者之间，即： 75KNP3 350KN （3）讨论）讨论 满载时，满载时，P2=200kN，为为使使起重机不绕点起重机不绕点B 翻倒翻倒，考虑临，考虑临界情况界情况。

44、令。令FA=0，求出的，求出的P3 值是所允许的最小值。值是所允许的最小值。 空载时，空载时，P2=0，为为使使起重机不绕点起重机不绕点A 翻倒，考虑翻倒，考虑临界情况。临界情况。令令FB=0，求出的，求出的P3 值是所允许的最大值。值是所允许的最大值。17525. 123minPPNk3503maxP3505 . 2223PPFA令令0235 . 3350PPFB令令03350P75kN17520025. 166 2.6 物体系统的平衡物体系统的平衡 问题问题 由若干个物体组成的系统称为由若干个物体组成的系统称为物体系统，简称物系物体系统，简称物系。 若研究的问题中的未知量数目等于独立平衡方

45、程若研究的问题中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，所有未知量都能由平衡方程求出，这样的的数目时，所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为问题称为静定静定问题。问题。 若研究的问题中的未知量数目多于独立平衡方程若研究的问题中的未知量数目多于独立平衡方程的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为的问题称为超静定超静定问题。问题。1. 静定和超静定的概念静定和超静定的概念67下面看几个例子。下面看几个例子。ABFAFBPABCPFAFBFCABCPFAFBABPFAFBFCAAPFAxFAyMAF1F2BPFAxFAyMAF1F2FB6

46、8F1ABFByFBxFAxFAyMAPF2F12. 物系平衡问题分析实例物系平衡问题分析实例 （1）可以选每个物体为）可以选每个物体为研究对象，列出全部研究对象，列出全部平衡平衡方程，然后求解；方程，然后求解； （2）也可先取整体为）也可先取整体为研究对象，列出研究对象，列出平衡方程，平衡方程，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体为解出部分未知量，再从系统中选取某些物体为研究对研究对象，列出另外的象，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。平衡方程，直至求出所有未知量。PF2ABFAxFAyMAFB69q0ABCDFPq1m1m1m1m0.5m0.5m例例 图示组合梁（不计自重）由图示组合

47、梁（不计自重）由AC和和CD两部分铰接而两部分铰接而成。已知：成。已知：F=10kN， P=20kN，均布载荷，均布载荷 q=5kN/m，梁的梁的BD段段受受线性分布线性分布载荷，载荷，q0=6kN/m，求，求A和和B处处的的约约束反力。束反力。FBFAxFAyMA解：解：（1）选梁整选梁整体为研究对象。体为研究对象。0 xF0yF0)(FMA0 xAF012110qqpFFFByA0)31(32111.510.52.530qqPFFMBA70（2）选选CD为研究对象。为研究对象。FBq0BCDF1m1m0.5mFCyFCx0)(FMC0)31(12110.50qFFB解得解得 9kNBF 0

48、 xAF29kNyAF22.5kNAM71 例例 图示钢结构拱架由两个相同的钢架图示钢结构拱架由两个相同的钢架AC和和BC铰接，吊铰接，吊车梁支承在钢架的车梁支承在钢架的D，E上。设两钢架各重为上。设两钢架各重为P=60kN；吊车梁；吊车梁重为重为P1=20kN，其作用线通过点，其作用线通过点C；载荷为；载荷为P2=10kN ；风力；风力F=10kN 。尺寸如图。尺寸如图。D，E两点在力两点在力P的作用线上。求固定铰的作用线上。求固定铰支座支座A和和B的约束力。的约束力。PPP2P1F5m2m8m2m2mBACDE10m72解：解： （1）选整个拱架为研究对象选整个拱架为研究对象, ,受力如图

49、所示。受力如图所示。0:xF:0yF:0)(FMA0AxBxFFF2120AyByFFPPP21125210460ByFFPPPPPPP2P1F10m5m2m8m2m2mBACDExyFAxFAyFByFBX73PFCxFCyFByFBXFEBCE4m（2）选右边拱架为研究对象，受力如图所示。选右边拱架为研究对象，受力如图所示。:0)(FMC6104 ()0ByBxEFFPF（3）选吊车梁为研究对象，受力如图所示。选吊车梁为研究对象，受力如图所示。DEP2P1FE FD :0)(FMD128420EFPP解得解得12.5kNEF 17.5kNBxF77.5kNByF7.5kNAxF72.5kN

50、AyF74 例例 图示构架，由直杆图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆及直角弯杆AB组成，各组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉B穿透穿透AB及及BC两构两构件，在销钉件，在销钉B上作用一铅垂力上作用一铅垂力F。已知。已知q，a，M，且且M=qa2。求。求固定端固定端A的约束力及销钉的约束力及销钉B对杆对杆BC、杆杆AB的作用力。的作用力。ABCDqFq3aaaaM75解：（解：（1）选选CD杆杆为研究对象，其受力如图所示。为研究对象，其受力如图所示。:0)(FMD02Cxaa Fqa解得解得2CxqaF（2）选选BC杆杆为研究对象，其受力如图所示。

51、为研究对象，其受力如图所示。MBCFCx FCy FBCxFBCy0:xF 0BCxCxFF:0)(FMC0BCya FM解得解得2BCxCxqaFFBCyMFqaaCDqFCxFCyFDyFDx76（3）选销钉选销钉B为研究对象，其受力如图所示。为研究对象，其受力如图所示。BFFBCx FBCy FBAx FBAy 0:xF :0yF0BAxBCxFF0BAyBCyFFF解得解得2BAxBCxqaFFBAyBCyFFFqaF即即销钉销钉B对对杆杆AB的作用力为：的作用力为：2BAxBAxqaFFBAyBAyFFqaFABCDqFq3aaaaM77（4）选直角弯杆选直角弯杆AB为研究对象，其受

52、力如图所示。为研究对象，其受力如图所示。ABqFAyFAyFBAxFBAyMA :0 xF:0yF:0)(FMA1302AxBAxFqaF 0AyBAyFF 13302ABAyBAxMqa aa Fa F 解得解得AxFq a AyBAyFFFqa()AMq aFa78 例例 图示一结构由图示一结构由AB、BC 与与CE 三个构件构成。三个构件构成。E 处有一滑处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为轮，细绳通过该轮悬挂一重为 1.2 kN 的重物。尺寸如图，不计杆的重物。尺寸如图，不计杆件与滑轮的重量。求支座件与滑轮的重量。求支座A和和B处的处的约束约束反力，以及杆反力，以及杆BC 的内力的内力F

53、BC。ABCDE1.5m2m2m1.5m解：解：（1）选整体为研究对象，其受选整体为研究对象，其受力如图所示。力如图所示。FAyFFBFAx:0 xF:0yF:0AM0AxFF0AyBFFP4(1.5)(2)0BFFrPrP79（2）取取ADB杆杆为研究对象，其受力为研究对象，其受力如图所示。如图所示。ABDFAyFBFAxFDxFDyFBC:0DM322205AyBBCFFF )5(1.5kN3BCAyBFFF 解得解得式中式中r为轮的半径，为轮的半径，细绳拉力细绳拉力F=P。解得解得1.2kNAxF0.15kNAyBFPF3.51.05kN4BFP80解题步骤解题步骤1、根据题意选取研究对

54、象；、根据题意选取研究对象；2、 作该研究对象的受力图（受力图要画分离作该研究对象的受力图（受力图要画分离 体）体） ；3、列平衡方程求解未知量的大小与方向（尽量、列平衡方程求解未知量的大小与方向（尽量 一个方程求解一个未知数，尽量不联立求解一个方程求解一个未知数，尽量不联立求解 方程。方程。特别注意：特别注意：一个研究对象一个研究对象至多至多能列三个能列三个独立独立的平衡方程。的平衡方程。8182qBACaaqCBCFBXBY分析分析练习练习2： 求求A、B、C三处的约束力三处的约束力MAAXAYCFABMAAXAYBXBY83qCCFBBXBY解：解： 以以BC梁为研究对象，作受力图梁为研

55、究对象，作受力图0232cosaqaaFMCA021cosaqaaFCMAqCAXAYCFA以整体为研究对象，作受力图：以整体为研究对象，作受力图：:0 xF:0yF:0AM0sinCAFX0cosaqFYCA:0BM解得：解得：tan21qaXAqaYA21221qaMAcos2qaFC84MAABXBYBAXAY解法解法2 2以以BC梁为研究对象，作受力图梁为研究对象，作受力图0;xF 0;yF sin0;BCXFcos0;BCYFqa0;BMcos02CaFaqa2cosCqaF 以以AB为研究对象，作受力图：为研究对象，作受力图：0;xF 0;ABXXtan2ABBqaXXX0;yF

56、0;ABYY2ABqaYY0;BM0;ABMYa22AqaMqCCFBBXBY85 2.7 平面桁架的内力计算平面桁架的内力计算 桁架在桥梁、起重机、电视塔与屋架等工程对象桁架在桥梁、起重机、电视塔与屋架等工程对象中得到广泛的应用。中得到广泛的应用。8687 桁架的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发桁架的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的自重。挥材料的作用，节约材料，减轻结构的自重。 桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成桁架是一种由细长杆在其两端用铰链连接而成的结构，几何形状不变。的结构，几何形状不变。 如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷

57、均在一如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。本节的研究对象为平面桁架。架。本节的研究对象为平面桁架。 在载荷作用下计算桁架的内力是研究桁架的主要目在载荷作用下计算桁架的内力是研究桁架的主要目的之一。的之一。881、平面桁架的静力学模型、平面桁架的静力学模型 (1) 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；构成桁架的杆件均为构成桁架的杆件均为二力杆二力杆（3）桁架所受的）桁架所受的 力力(载荷载荷)都作用在节点上，且在桁都作用在节点上，且在桁 架的平面内；架的平面内； (2) 杆件用光滑的圆柱铰链

58、连接。桁架中杆件的铰杆件用光滑的圆柱铰链连接。桁架中杆件的铰 链接头称为节点；链接头称为节点；（4）杆件的自重不计，或平均分配到杆件两端的节）杆件的自重不计，或平均分配到杆件两端的节 点上。点上。这样的桁架为这样的桁架为理想桁架理想桁架892、简单平面桁架的构成、简单平面桁架的构成 平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点就增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结增加一个节点就增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结构构简单平面桁架。简单平面桁架。 (a) (b) 将杆件数与节点数分别记为将杆件数与节点数分别记为 n 与与 m

59、，根据上述的规则，根据上述的规则， 它们有如下的关系它们有如下的关系32)3(23mmn 对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两个平衡方程。因此共有独立的平衡方程系，存在两个平衡方程。因此共有独立的平衡方程 2m 个。个。由上式可知，它可以求解由上式可知，它可以求解 n+3 个未知数。个未知数。 如果支承桁架的约束力的个数为如果支承桁架的约束力的个数为 3，平面桁架的，平面桁架的 n 个杆件内个杆件内力可解，故简单平面桁架问题是静定的。显然，如果在简单平面力可解，故简单平面桁架问题是静定的。显然，如果在简单平面桁架上再增加杆件

60、或支承约束力超过桁架上再增加杆件或支承约束力超过 3，则使该静力学问题由静，则使该静力学问题由静定变为超静不定。定变为超静不定。903、桁架的内力计算、桁架的内力计算(1) 构成桁架的杆都是二力杆，其内力一定沿杆的轴构成桁架的杆都是二力杆，其内力一定沿杆的轴 线方向，因此，内力为拉力或压力。线方向，因此，内力为拉力或压力。 统一设拉为统一设拉为 正、压为负。正、压为负。（2）内力计算的方法：）内力计算的方法：节点法：节点法：利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。截面法：截面法：将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡 方程计