大学物理：第2-3-能量守恒定律

1、2-4 2-4 能量守恒定律能量守恒定律2-4-2 动能和动能定理动能和动能定理2-4-1 功和功率功和功率2-4-3 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能2-4-4 机械能守恒定律机械能守恒定律2-1 牛顿定律牛顿定律2-2 动量守恒定律动量守恒定律2-3 角动量守恒定律角动量守恒定律2-5 守恒定律和对称性守恒定律和对称性2-4-5 碰撞碰撞功和能功和能 Work and Energy 功和能是物理学中的两个非常重要的概念。功和能是物理学中的两个非常重要的概念。1、能量、能量 energy 能量是物体所具有的做功的本领。能量越大，做能量是物体所具有的做功的本领。能量越大，做功的本领也

2、就越大，能量有多种不同的形式，例如：机功的本领也就越大，能量有多种不同的形式，例如：机械能，热能，化学能，光能，电磁能，原子能，核能等械能，热能，化学能，光能，电磁能，原子能，核能等等。等。 能量可以从一个物体转移到另一物体，也可以从一能量可以从一个物体转移到另一物体，也可以从一种形式转变成另一种形式。例如，水力发电，电热器，种形式转变成另一种形式。例如，水力发电，电热器，热电厂，电池等。热电厂，电池等。 能量是一个状态量，它是系统状态的单值函数，物能量是一个状态量，它是系统状态的单值函数，物体处于某一确定的状态，就有一个确定的能量值。体处于某一确定的状态，就有一个确定的能量值。2-4-1 功

3、和功率FrFWFr cosF r02,0A/2,0A2、功、功 work它是一个它是一个过程量过程量。能量变化除了作。能量变化除了作功外，还可以通过功外，还可以通过热传递热传递方式来实现。方式来实现。3、恒力的功、恒力的功定义：定义： 在力在力 的作用下，的作用下，物体发生了位移物体发生了位移 ，则，则把力在位移方向的分力与把力在位移方向的分力与位移位移 的乘积称为功。的乘积称为功。Frr国际单位：焦耳（J ）Nm0 rcosdWF drF dr的一小段位移的一小段位移（2）元功）元功一般来说，线积分的值与积分路径有关，也就是一般来说，线积分的值与积分路径有关，也就是说，沿着不同的路径走，所作

4、的功是不同的。说，沿着不同的路径走，所作的功是不同的。rdabFrdcosbbaaWFrFrdd合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21合力对质点所作的功等于每个分力对合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和质点作功之代数和（3）几个力同时作用时的功）几个力同时作用时的功在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。5、 功率：平均功率：tWP瞬时功率：0limtW

5、WPtt dd瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd绳子张力绳子张力 T：W1000300cos()2Wmg drmgLd0 0 Fm例 有一单摆， 用一水平力作用于 ，使其缓慢上升。当由增大到时，求各力做功和总功。解：选地面为参照系，分析受力如图dTmdrLmgFcosdWF drFLd 0200mgsin(1cos)WLdmgL 0(1cos)mgL 拉力拉力 F：重力重力 ：1230WWWW设作用在质量为设作用在质量为2kg的物体上的力的物体上的力F = 6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力）内这力作了多少功？作了多少功？

6、ttmFa326taddvtttad3ddv两边积分：两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ36的定义：的定义： 如果某力所作的功与相对路径的形状无关，如果某力所作的功与相对路径的形状无关，只决定于相互作用的质点的始末相对位置，这样的力只决定于相互作用的质点的始末相对位置，这样的力称为称为。的另一种定义：的另一种定义： 一个质点相对于另一质点沿闭合路径移动一周一个质点相对于另一质点沿闭合路径移动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。时，它们之间的保守力做的功必然是零。2-4-3 保守力与非保守力 势能2-4-3 保

7、守力与非保守力 势能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力作功只与质点的始、末位置有关，而与具重力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。体路径无关。 =dAF dr.bdrF地球地球mdraMarbrr drrrrMmGF33MmGr drr 211()barabrbadrAdAGMmGMmrrr 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。 3MmGrdr

8、r 2MmGdrr （2） 万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为M的质点固的质点固定，另一质量为定，另一质量为m的质点的质点在在M 的引力场中从的引力场中从a a点运点运动到动到b b点。点。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrMmGrrMmGWba11d020 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。 （3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW221

9、21122Wkxkx 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。ikxFx2box1mxamF 弹性力是保守力弹性力是保守力 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与而与弹性变形的过程弹性变形的过程无关。无关。2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变

10、形的过程无关。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。0drF设保守力沿闭合路径设保守力沿闭合路径acbda作功作功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：因为：因为：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW由物体的相对位置所确定的系统能量称为由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能势能（E Ep p）势能势能 Potential Energy说明：说明： 1.势能是状态的函数，仅取决于始末位置。势能是状态的函数，仅取决于始末位置。 2. 对于对于非保守力

11、非保守力不能引入势能的概念。不能引入势能的概念。 3.势能的相对性，零势能面选取任意，但势势能的相对性，零势能面选取任意，但势能差是绝对的。能差是绝对的。 4.势能为势能为系统系统所有，单个物体没有势能的。所有，单个物体没有势能的。 （1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。（2）（3）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选取。 设空间设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：的势能为：orropprFrErErEd)()()( 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。点

12、移动到势能零点时保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）为势能零点）为势能零点）221kxEp（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rMmGEp0（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa与与 Epb之差，等之差，等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力所做的功点过程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(PFdEdldldEFPlFl d lF 保守力保守力 与势能的关系与势能的关系,pFldldE如图：质点在保守力 作用下沿 方向位移表示势能增量，则

13、cosFdlldlF zEFPzyEFPyxEFPx()pPPEEEFijkxyz , ,lx y z若设 分别沿三个方向，则可得保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppdddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。指向势能降低的方向。 结论：sFrFWdcosdd2-4-2

14、动能和动能定理 设一质点质量设一质点质量 m 在力的作用在力的作用下沿曲线从下沿曲线从 a点移动到点移动到 b点点1质点动能定理质点动能定理W dcosFmamtddvsdmtddvrdFabmdv vbaWWd2122211()2mmdvvv vvv)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质

15、点所做的功等于质点动能的增量。1221222121kkEEmmWvv2质点系的动能定理质点系的动能定理 iFif一个由一个由 n 个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第 i 个质点。个质点。 质点的动能定理：质点的动能定理： iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12kkEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。内力作功之代数和。 内力做功可以改变系统的总动能。但内力做功可以改变系统的总动能。但是不改变系统的动量。例如地雷的

16、爆炸是不改变系统的动量。例如地雷的爆炸 例例2 如图所示，用质量为如图所示，用质量为M的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉子的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？全相同，问第二次能把钉子敲入多深？1S2SxO设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，敲打后两者的共同速敲打后两者的共同速度为度为v。 vv)(0mMM

17、mMM0vv铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：力大小为： kxf由动能定理，由动能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S ，则有，则有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为： cm41. 0cm1) 12(211SSS例例2 如图，在如图，在光滑光滑的水平地面上放着一辆小车，小车左的水平地面上放着一辆小车，小车左 端放着一只箱

18、子，今用同样的水平恒力端放着一只箱子，今用同样的水平恒力 F 拉箱子，使拉箱子，使它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小车没有固定，若以车没有固定，若以地面为参照系地面为参照系，则下面的说法中，则下面的说法中正正确确的是：的是：（1）、两次）、两次 F 做的功相同；做的功相同；（2）、两次摩擦力对箱子做的功相同；）、两次摩擦力对箱子做的功相同；（3）、两次箱子获得的动能相同；）、两次箱子获得的动能相同；（4）、两次由于摩擦而产生的热量相同。）、两次由于摩擦而产生的热量相同。LFf2-4-4 机械能守恒定律21ppWEE 保内12kkEE外内

19、WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中12kkEEWWW非保内保内外 1p1k2p2kEEEEWW非保内外pkEEE机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。守内力所作功的代数和。 质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只受保守内力作功时，质点系的总机当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：（1 1）机械能守恒定律只适用于惯性系机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功

20、。非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2 2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。在另一参考系中外力功也许不为零。例例3. 传送带沿斜面向上运行速度为传送带沿斜面向上运行速度为v = 1m/s，设物料无，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M = 50kg/s，并，并被输送到高度被输送到高度h = 5m处，求配置的电动

21、机所需功率。处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）hv解：解： 在在t 时间内，质量为时间内，质量为Mt 的物料落到皮带的物料落到皮带上，并获得速度上，并获得速度v 。t内内系统动能的增量：系统动能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW电动机对系统做的功：电动机对系统做的功：tP由动能定理：由动能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv 例例3 如图当突然撤掉，其如图当突然撤掉，其 值为多大时，值为多大时，m2 才能跳起？才能跳起？ m2m1选选m1、m2地球、弹簧为系

22、统地球、弹簧为系统，则系统的，则系统的机械能在机械能在态到态到态过程中守恒，选如态过程中守恒，选如图水平线图水平线o1o2 为势能水平面为势能水平面 为零势面为零势面。 mm2m2m2x0 x1x201o2（）（）解：地面为参照系。解：地面为参照系。mx0 x1x201o2（）（）210101)(21)(xxkxxgmEA222121kxgxmEB又2201,kxgmkxgmEEABgmmkxFmmkgx)(),(211211例例4 如图，如图，m1 和和m2 之间只有万有引力的作用，假之间只有万有引力的作用，假设现有一力作用在上，使以设现有一力作用在上，使以向右匀速运向右匀速运动，试求；（）

23、、动，试求；（）、m1、m2之间的最大距离之间的最大距离 lmax (2)、从地面观察，当、从地面观察，当l=lmax时，外力做的功是多时，外力做的功是多少？少？At=0m1ml0BFV0(静止）解：选B为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒max21021201)(21lmmGlmmGvmt=0m1ml0BFV0(静止）max21021201)(21lmmGlmmGvm02022max22lvlGmGml（）、选地面为参照系，则当（）、选地面为参照系，则当m1、m2以其同速度以其同速度 运动时两者之间距离最大，运用功能原理，外力运动时两者之间距离最大

24、，运用功能原理，外力做的功为：做的功为：)21()(2121021202max21202201lmmGvmlmmGvmvmAF201021max2120121vmlmmGlmmGvmAF例例4 链条总长为链条总长为 L，质量为，质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条与桌，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求： （1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？ （2）、这时候链条的速度？）、这时候链条的速度？把链条分把链条分 割成无限多的质元，割成无限多的质元，则当则当dm在桌面上移动的长度为在桌面上

25、移动的长度为x 时，摩擦力作的功为时，摩擦力作的功为xdmgdAf （1）、dxLxmgdAf 20)(2aLLmgdxLxmgAaLf（2）、）、由功能原理)2()21(212aaLmgmgLmvAf)()(222aLaLLgv LaaxdxXY解解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图例例4. 一长度为一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）l 2lOO解解设单位长度的质量为设单位长度

26、的质量为cc始末两态的中心分别为始末两态的中心分别为c和和c机械能守恒：机械能守恒： 2221222vlglllg l解得解得lgv例例5. 5. 计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量，质量为为M，卫星质量为，卫星质量为m。要使。要使卫星在距地面卫星在距地面h高度绕地球高度绕地球作匀速圆周运动，求其发作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRmhR

27、MmG22v解方程组，得：解方程组，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。2-4-5 碰撞 两个或两个以上的物体在运动中两个或两个以上的物体在运动中发生极其