二项式定理知识点总结材料

1、标准实用文案二项式定理文档、二项式定理：a b Cnoa n C1nan 1bknCnkankkbCnnbn （n N ）等号右边的多项式叫做na b 的二项展开式，其中各项的系数Cnk (k0,1,2,3n） 叫做二项式系数。对二项式定理的理解：1 ）二项展开式有 n 1 项2）字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到o ；字母b按升幕排列，从第一项开始，次数由 o 逐项加 1 到 n3 ）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对 a,b 取不同的特殊 值， 可 为某 些问 题的 解决带 来方便。在定理中假设 a 1，b x， 则n o n 11 x

2、 Cn x Cn xk n kCnk x n knnCnnxn(nN）na b 展开，得到一个多项式；、二项展开式的通项：Tk 1 Cnkan k bk4 ）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式n 另一方面，也可将展开式合并成二项式 a bk n k k二项展开式的通项 Tk 1 Cnkan kbk （k o,1,2,3 n） 是二项展开式的第 k 1 项，它体现了 二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用k n k k对通项 Tk 1 Cnkan kb

3、k （k o,1,2,3 n） 的理解：（1 ）字母 b 的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有 a,b,n,k,Tk 1这 5个元素，知道 4个元素便可求第 5 个元素例 1. C：3C' 9Cn3n 1 n3 Cn等于( )4n4n 1A.4n B。 3 4nCo1D.-33例2 .(1 )求(12x)7的展开式的第四项的系数；(2)求(x丄)9的展开式中x3的系数及二项式系数x三、二项展开式系数的性质:对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即c；,c：Cn 1,CnC：Cn 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式

4、系数先增后减，且在中间取得最大值。nk如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn max Cf ；n 1n 1如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即c： maxcF 二项展开式的各系数的和等于2n，令a 1，b 1即c° cnC； (1 1)n 2n ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a 1，b 1即CnC1 Cn2n11例题：写出(x y)的展开式中:(1 )二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;(4) 二项式系数的和;(5) 各项系数的和四、多项式的展开式及展开式

5、中的特定项（1 ）求多项式（印 a2an）n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。213例题：求多项式（X2 2）3的展开式x（2 ）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。253例题：求（1 x） （1 x）的展开式中X3的系数例题：（1）如果在24 x的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。(2 )求32 的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定727(1

6、 ) aia2L a7 ；例题：已知（1 2x）ao aix a2X L a7x，求：(2) Ba3 a5 a7 ；( 3) | 比 | | ai | L1 a7 1 .六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1 ）进行近似计算（2 ）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：2n2n n 3,n N 取 2n1 1 n 的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1 ）近似计算的处理方法当n不是很大，| x|比较小时可以用展开式的前几项求（1 x）n的近似值。6例题： （1.05）6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是（）A 1.23B1.2

7、4C1.33D 1.34（2 ）整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为 1，若k为其他数，则需对幕的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了 要注意余数的范围， 对给定的整数 a,b（b 0） ，有确定的一对整数 q 和 r ，满足 a bq r ，其中b为除数，r为余数，r 0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数,要注意转换成正数例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7n

8、C：7n1 Cn7n 2n 1Cn 7被9除得的余数是()A. 0 B。2 C。7D.81例题：当n N且n>1，求证2(1-)n 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1在x 3 10的展开式中，X6的系数为A 27C：。B 27C4oC 9c1o4D 9Cio2 已知 a b 0,b 4a,a b n的展开式按a的降幕排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数 n等于A 4B 9C 10D 111)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 :

9、 2，贝U n 是()A 10B 11C 12D 134 5310被8除的余数是( )A 1B 2C 3D 75 (1.05) 6的计算结果精确到0.01的近似值是( )A 1.23B 1.24C 1.33D 1.3432 an6 二项式 2 x 1 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开 V7式有理项的项数是1 17 .设(3x 3 +x 2) n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=2 72，则展开式的x2项的系数是( )A. 1B . 1C . 2D . 328 .在(1 xx )的展开式中x5的系数为( )A . 4B . 5C . 6D . 7

10、9 . (3 X 5 X)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是11 .二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为A . 330B . 462C . 680D .790410 . ( . x 1) (x1)5的展开式中，x4的系数为()A. 40B . 10C . 40D .45-或23312 .在(1+ x)5+(1+ x)6+(1+ X)7的展开式中x4项的系数是等差数列an=3 n 5A .第2项B .第11项第20项第24项则x在0, 2 n内的值为A .一或一63二、填空题：本大题满分 16分，每小题4分，各题只要

11、求直接写出结果 13 .(X2 丄)9展开式中X9的系数是2x14 .若 2x3a0a1xa4x4，贝Ua0a2a42a1a32的值为15 .若(x3 x 2)n的展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是 .16 对于二项式（1-x） 1999，有下列四个命题：zip-, tj -i-r- _k. | t |1000999 展开式中T 1000 = C 1999 X 展开式中非常数项的系数和是1 ； 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；1999 当x=2000 时，（1-x） 除以2000的余数是1 其中正确命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大

12、题满分74分.117 （ 12分）若（6、X a ）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.Vx（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18 （ 12分）已知（丄2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项4式系数最大的项的系数.19 . （12分）是否存在等差数列an，使aQ*a2C；a3cnanC；n2n对任意 n N* 都成立？若存在，求出数列 a n 的通项公式；若不存在，请说明理由20 . （12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21 . （ 12分）设f（x）=（1+x） m+（1+x） n（m、n N）,若其展开式中，关于 x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值22 . （14分）规定CTx（x &#