chenpc文件数理方法第三章+幂级数展开ppt课件

1、 第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 3.1 3.1 幂级数的收敛性幂级数的收敛性一、基本概念：一、基本概念： 11limnkknkkwzwz不存在存 在发散收敛 zN+pkk=N+1充要条件：w 1kkwz绝对收敛一致收敛 1kkwz收敛Nz与 无关复数项级数部分和的极限:Np任意大正整数任意正整数：任意小正数一、基本概念：一、基本概念：kk=1例题：试判断z 的收敛性。解：111111NpppNpNNzzzzzzz N+1kk=N+1z11z =1zN 任意小正数1zkk=1时， z 收敛11=11NppNpNpN N+1kkk=N+1k=N+11z =1zN 1zkk=1时，z 收敛1z

2、kk=1时， z 绝对收敛二、绝对收敛性的判别法：二、绝对收敛性的判别法： kwzk=1收敛 kwzk=1绝对收敛 NpNpkkwzwzk=N+1k=N+1 kkwzwzk=1k=1收敛绝对收敛1 1、达朗贝尔判别法：、达朗贝尔判别法： 111kkkkwkqwzw充分大时，绝对收敛证明：证明： 11111=1NNpNpNpkkk Nk Nqqwzw zqw zNq 1kkwz绝对收敛2 2、柯西判别法：、柯西判别法： 11kkkkwzqwzk充分大时，绝对收敛 1kkwz收敛二、绝对收敛性的判别法：二、绝对收敛性的判别法：二、二、 绝对收敛性的判别法：绝对收敛性的判别法：证明：证明： 1111

3、=1NNpNpNpkkk Nk NqqwzqNq 1kkwz绝对收敛三、幂级数的收敛半径：三、幂级数的收敛半径：1limkkkaRa或或1limkkkRa证明：证明： 1 达朗贝尔法：比值法 11kkwzkwz 1kkwz收敛11001kkkkazzazz01kkazzak1=limkkaRa 收敛半径 2 根式法： 1kkwzk01kkkazz三、三、 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛半径：01kkzza1=limkkkRa 收敛半径三、三、 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛半径：例题：例题：nn=1z-1求幂级数n!的收敛半径。n解：解：nnn!a =n111limlimlimlimlimnn

4、nnnnnnnnnaReannnn!n!n+11nn1+n+1 !n+1 !nnn+1n+1 3.2 3.2 解析函数的级数展开解析函数的级数展开一、泰勒级数：一、泰勒级数：Taylor seriesTaylor series1 1、泰勒定理：、泰勒定理： fzzbR在圆域内解析 0=!kkkfbf zzbkf z幂级数绝对且一致收敛展开是唯一的证明：（证明：（1 1级数展开：级数展开： 112RCff zdiz 112RCfdibzb一、泰勒级数：一、泰勒级数： 11121RCfdzbibb 1012RkCkfzbdibb 11012RkkCkfdzbib 0!kkkfbzbkzb1RCRC

5、R（2 2绝对且一致收敛：绝对且一致收敛： 111!2RkkkkCfbfzbdzbkib一、泰勒级数：一、泰勒级数： 1112RkkCfdzbb 2110112kkfRdzbR 20112kkMdzbfMR11kMzbRR一、泰勒级数：一、泰勒级数：0111kkMMRR又一致收敛 0!kkkfbf zzbk绝对且一致收敛（3 3展开唯一：展开唯一： 0kkkf zazb令 !kkfbk a则 !kkfbak 0!kkkfbf zzbk展开是唯一的。一、泰勒级数：一、泰勒级数：0!kkzkz例题:证明e。证明: nzzee 000|1!nzzzkkkkeezzkk一、泰勒级数：一、泰勒级数：co

6、ssinziziz例题:证明e。 0!kkizkiz证明:e 221002!21 !kkkkizizkk2221100112!21 !kkikkkkzzikk cossinziz 2 2、常见的泰勒级数：、常见的泰勒级数：0111-kkzzz收敛半径由展开中心到最近奇点间的距离决定0!kzkzezk 210sin121 !kkkzzzk 20cos12!kkkzzzk 一、泰勒级数：一、泰勒级数：二、洛朗级数：二、洛朗级数：Laurent seriesLaurent series 21f zRzbR在环形区域内解析 11=:2kklkff zdzblbibf z环域内包围 的闭曲线绝对且一致收

7、敛展开唯一证明：（证明：（1 1级数展开：级数展开： 1211=2 i2 iRRCCfff zddzz 1211=2 i2 iRRCCffddbzbbzbzb1RC1RC2RC2RC 121111=2 i2 i11RRCCffddzbbbzbbzb二、洛朗级数：二、洛朗级数：Laurent seriesLaurent series 120011=2 i2 iRRkkCCkkffzbbddbbzbzb1:RCzbb2:RCzbb 12110011=2 i2 iRRkkkkCCkkfdzbfbdzbb 121 10111=2 i2 iRRkkkkCCkkffdzbdzbbb1kk 111=2 iR

8、kkCkfdzbb二、洛朗级数：二、洛朗级数：Laurent seriesLaurent series（2 2绝对且一致收敛：绝对且一致收敛： 1211101112 i2RkkkkCfMdzbR dzbRb1kzbMR f zf zM解析11zbRR101111kkRMMRRR一致收敛 10kkkdzbR1Cf1绝对且一致收敛2 i-b 2221102112 i2RkkkkCfMdzbRdzbRb2=kzbMR二、洛朗级数：二、洛朗级数：Laurent seriesLaurent series2=1kRMkzb 2222kRMzbRRR21222212222221kkkkRRRRRMMMMRR

9、RRRR一致收敛 211RkkCkfdzbb1绝对且一致收敛2 i 1kklkfdzbb1绝对且一致收敛2 i二、洛朗级数：二、洛朗级数：Laurent seriesLaurent series（3 3展开唯一：展开唯一： nnnf zazb设，则： 111122nnnkkllabfddiibb112n knlnabdi 122nnainkika 展开是唯一的10nkKroneckernknk函数：三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：1 1、利用已知公式展开：、利用已知公式展开：0111kkzzz0!kzkzezk 20cos12!kkkzzzk 210sin121 !kkkzzzk

10、1121Dziz z例题：将在区域：内展开为洛朗级数。解：三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：221=111ABCzzz zz2z=01=11Azz z22z=-111=-11dBzdzz z22z=-111=-11Czz zxy011三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：221111=111zzz zz11=zzii 111izizi01kkizizi 10kkkizi 11kkkizi0111111111111kkzizizziiiiii 1011kkkzii120111111kkkddzidzzdziz111111kkkkkzii 2101111kkkkkzii三、常用的级

11、数展开法：三、常用的级数展开法：11121011=11kkkkkkkiziziz zi 120111kkkkkzii考虑：本题在考虑：本题在|z-i|1|z-i| |z-i| 收敛域内又如何收敛域内又如何展开？展开？注：注： , ,( , )MATLABR p Cresiduez b a可用下列函数把复杂分式化简为简单分式：如：如：2z341zz2三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：-1-12z=34zz-1-1-1-1-1-1z1-1-1-1-1z3z1lim1 z21 z3zz3lim3z21 z3zAB -1-1-1z1 z3z-1-1AB1 z3z2-1-1-1-11311z2

12、22213411 z3z1 z1z3zz, ,R p Cresiduez b aR = 0.50000000000000 -0.50000000000000p = 1.00000000000000 0.33333333333333C = 三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：按Z-1升序排列的多项式系数01 ;341 ;ba, ,b aresiduez R p Cb = -0.00000000000000 0.33333333333333a = 1.00000000000000 -1.33333333333333 0.33333333333333三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法

13、：三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：2 2、级数的逐项求导或逐项积分：、级数的逐项求导或逐项积分：3111z zzz 例题：将在环域内展开为洛朗级数。解：223211=211z zzzddzzz22211=121zzddzzzxy01三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：222011=2kkzzddzzz22120=2kkzzdzdz 230=122kkzzkkz 12001212=22kkkkkkkkzz 1211=22kkkkkkkkzz1111=22kkkkkkkkzz21=kkkz考虑：本题在考虑：本题在|z|1|z|1收敛域内又如何展开？收敛域内又如何展开？三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法：三、常用的级数展开法： 3.3 3.3 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 =f z 0limzbfza0kkkazbkkkmazbkkkazb zbf z不存在负幂项时，为的可去奇点 limmmzbzbf za zbf z存在m项负幂项时，为的m阶极点 zbfz存在无限