洛伦兹变换的详细推导

1、第三节 洛伦兹变换式教学容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。x vt三、洛伦兹坐标变换的推导x vtvx c2v c 2据狭义相对论的 两个基本假设 来推导洛仑兹变换式。1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标(x,

2、y，乙t)、(x，y，z，t)，因S相对于 S以平行于x轴的速度v作匀速运动，显然有y=y, z=z。在S系中观察S系的原点，x=0；在S系中观察该点，x= -vt，即x+vt=O。因此x=x +vt。在任意的一个空间点上，可以设：x=k( x + vt) ， k是一比例常数。同样地可得到：x= k ( x-vt) = k (x+ (-v)t)根据相对性原理，惯性系S系和S系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负 号)，所以k=k。2由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t(或t)，光信号到达点在S系和S系中的坐标分别是：x=ct

3、, x=ct,贝,xxc2ttk2 x vt x vtk2 ct vt ct vt由此得到k2tt cv2x vtx vt这样，就得到、J1 v c 2由上面二式，消去xvx c2vx c2得到若消去x得到，综合以上结果,就得到洛仑兹变换， 或洛仑兹反变换vtvtt VX C2 1 v c 2可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3. 讨论（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象， 故它有一定的适用围。（2）当|v/c|c, uc,所以与At同号。即事件的因果关系,同理在s系

4、中不同地点同时发生的两个事件，在S(4)上述情况是相对的。系看来同样也是不同时的。(5)当 V c 时，t回到牛顿力学。二、长度收缩(洛伦兹收缩)假设一刚性棒AB静止于S系中1X2x1，在S系中同时tl七2 t测量得1x2X1。由洛伦兹坐标变换式:得:即1.XiX2X1x1vt12，X2V cx2 vt2X2x1v t2t11 V C2X2X11 V C2固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度 （或原长），用Io表示。即I Io2.洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的1 v c 倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹

5、收缩 讨论：（长度缩短）。（1）长度缩短效应具有相对性。若在S系中有一静止物体，那么在S 同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有系中观察者将即看人家运动着的尺子变短了。（2）当 v c 时，有 I I 三、时间膨胀（时间延缓）t2 t1t2t1V x2x1c2由洛伦兹变换得，事件Pi、P2在S系中的时间间隔为t t2ti，事件P1、P2在S系中的时间间隔为 tt2 t1 o如果在S系中两事件 同地点 发生，即X2X1，则有:t t2 t1t2 t1 v/c 21. 固有时间（原时）的概念在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用0表示，且:2. 时间膨胀

6、在s系看来： t 0，称为时间膨胀。3.讨论(1)时间膨胀效应具有相对性。若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为At (称为原时)，则同理有 1 V c就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。(2) 当 vv V c 时，有 t t(3) 实验已证实卩子，n介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不 同。例1： 在惯性系s中，有两个事件同时发生，在XX1.0问由103m处，从另一惯性系s中观察到这两个事件相距 s系测得此两事件的时间间隔为多少？2.0轴上相距103m。X2隔为由题意知，在S系中，七2 匕，即31.010 m。而在S系看来，2.0 103mt2t1 0Xix2 x时间间隔为t2t1，空间间由洛伦兹坐标变换式得:X2X1x2 x1v t2 t1X2Xit2 t1t2t1.1 v c 2X2x22由（1）式得2 1 2x2x1x1X21 12代入（2）式得J32 1032c3 1033 1035.77 10 6 s例2:半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3 10 m。 设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999c，按地球上的时钟计算， 往返一次的时间又为多少？飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟