D31连续性间断点ppt课件

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念 第一节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数的连续性 第三章 可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1 1.0, 0,

2、 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 机动 目录 上页 下页 返

3、回 完毕 .,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.假设)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . ,baC记作记作例例2. 证明函数证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysi

4、n在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 x

5、f均存在 ,，不不存存在在或或0000,)()(xfxfxfxf假设称0 x, )()(00 xfxf假设称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定

6、义, 则可使其变为连续点.1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xf有理点x,x无理点x,xxyo1xyo第九节 目录 上页 下页 返回 完毕 , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断点且都是第二类间断点.再如再如:仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.)()

7、(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0lim0yx内容小结：备用题备用题 确定函数确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxx