利用导数解决恒成立问题

1、利用导数求函数最值根底知识总结和逻辑关系1、 函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法：1)确定函数的f (x)的定义区间；2)求f ,(x),令f '(x) 0 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根；3)把函数f (x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f (x)的定义区间分成假设干个小区间；4)确定f'(x)在各个区间内白符号,由 f'(x)的符号判定函数f x在每个相应小区间内的单调性.2、 函数的极值求函数的极值的三个根本步骤1)求导数f,(x);2)求方程f '(x) 0的所有实数根；3)检3经

2、f '(x)在方程f'(x) 0的根左右的符号,如果是左正右负(左负右正) ,那么f (x) 在这个根处取得极大(小)值 .3、 求函数最值1) 求函数f (x)在区间(a, b)上的极值；2)将极值与区间端点函数值f(a), f(b)比拟,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.四利用导数证实不等式1)利用导数得出函数单调性来证实不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,那么该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证实不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证实该函数的单调性,然后再用函数单调性到达证实不等式的目的.即把证实不等式转化为证

3、实函数的单调性.具体有如下几种形式：直接构造函数,然后用导数证实该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增(减) 区间,自变量越大,函数值越大(小),来证实不等式成立.把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证实该函数的单调性,到达证实不等式的目的.2)利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证实不等式 导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证实不等式时,根据不等式的特点,有时可以构 造函数,用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得 该不等式恒成立.从而把证实不等式问题转化为函数求最值问题解题方法总结和题型归类利用导数研究含参变量函数的恒成立问题1) 其中关键是根

4、据题目找到给定区间上恒成立的不等式,转化成最值问题.2) 首先找不等式.一般来说,有以下五类题型：在某个区间上“单调递增减：说明f(x)0 ( f(x).)恒成立;“无极值点,说明f0恒成立或f(x) 0恒成立；“曲线y f(x)在曲线y g(x)上方(下方)：说明 f(x) g(x) 0 ( f(x) g(x) 0)恒成立；“无零点：说明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立；标志词：“任意,“所有,“均有,“恒成立等等,此时题干已给出不等式例1:设函数f(x)=ax33x+ 1 (xCR),假设对于任意x -1,1,都有f(x)>0成立,那么实数a的值为?【解析】 假设x=0,那么不

5、管a取何值,f(x)>0显然成立;当 x>0,即 xC (0,1时,f(x) = ax33x+ 1 >0 可化为 a？一W设 g(x)=,一W,那么 g' (x) x xx x3 1 -2xx4'一,一、一 111所以g(x)在区间0, 2上单倜递增,在区间2,1上单倜递减,因此g(x)max=g 24,从而a>4.当x<0,即xC1,0)时,同理awg(x)在区间 1,0)上单调递增,1- g(x)min= g( 1)=4,从而 a< 4,综上可知a= 4.【点评】首选考虑参量别离.得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值【答案

6、】a= 4.难度*【题】设函数f (x) = (x a)2 ln x , a e r(l)假设x = e为y f (x)的极值点,求实数 a ;2.(n)求实数a的取值范围,使得对任意的x £ (0,3e,恒有f (x) <4e成立.注：e为自然对数的底数.【难度*例2:aC R,函数f(x) = (-x2+ax)ex (xC R, e为自然对数的底数).(1)当a = 2时,求函数f(x)的单调递增区间；(2)假设函数f(x)在(一1,1)上单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)当 a=2 时,f(x) = (-x2 + 2x)ex,所以 f' (x)=(2x+ 2

7、)ex+(x2+2x)ex=(- x2+2)ex.令 f' (x)>0,即(-x2+2)ex>0 ,由于 ex>0,所以x2+2>0,解得42<x<也.所以函数f(x)的单调递增区间是也,烟.(2)由于函数f(x)在(一1,1)上单调递增,所以f (x)>0对xC(1,1)都成立.由于 f' (x)=(2x+ a)ex+(x2+ax)ex=-x2+ (a 2)x+ aex,所以x2+(a2)x+aex>0 对 xC (1,1)都成立.由于 ex>0,所以一x2+(a 2)x+ a>0 对 xC( 1,1)都成立,x2+

8、 2xx+ 1 2 11即 aR =(x+1) 一 对 x (1,1)都成乂.人11令 y=(x+1),那么 y =1 +2>0. .1所以y= (x+ 1)-在(一1,1)上单调递增,所以 y<(1 + 1)- -=3,即 a>|.1 + 1 22一 3因此a的取值氾围为a>2.【点评】(1)数在某区间上单调递增 (减)时,函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立,转化为不等式恒成立问题解决.(2)在形式上的二次函数问题中,极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况, 这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的,值得特别注意.3【答案】a的取值范围为a>2

9、难度*2例 3：函数 f (x alnx 2 (a 0).x(l)假设曲线y f (x)在点P(1, f(1)处的切线与直线 y x 2垂直,求函数y f(x)的单调区间；(n)假设对于 x (0,)都有£()<2(a 1)成立,试求a的取值范围；【解析】(I)直线y x 2的斜率为1.函数f (x)的定义域为(0,),2 a 一2 a由于 f (x)2一所以 f (1) f 1 ,所以 a 1.x x '11所以 f (x) 2 ln x 2. f (x) J2 xx由f (x) 0解得x 2;由f(x) 0解得0 x 2所以f(x)的单调增区间是(2,),单调减区间

10、是(0,2).4分2 a ax 22_(II) f (x) ,由 f(x) 0 解得 x ；由 f (x) 0 解得 0x x x 'a2 所以f (x)在区间(2,a2所以当x 2时,函数a2)上单调递增,在区间(0,)上单倜递减.2 一,一f(x)取得最小值,yminf ().由于对于xa(0,)都有f(x) 2(a 1)成立,222,22所以 f () 2(a 1)即可.那么一 aln 2 2(a 1)由 aln a 解得 0 a 一 a2 a. aea2所以a的取值范围是(0, 2). 8分A ,直接求f (x)【点评】此题直接求最值.此时不等式一般形如f (x) A或f(x)

11、的最值.,一 一2【答案】a的取值范围是(0, 2)e难度*例 4：函数f (x) ln(1 x) mx.(I)当m 1时,求函数f(x)的单调递减区间；(II )求函数f(x)的极值；(III )假设函数f (x)在区间0,e2 1上恰有两个零点, 求m的取值范围.【解析】(I)依题意,函数 f(x)的定义域为 1,当 m 1 时,f(x) ln(1 x) x,-1.f (x)1 2分1 x由f (x) 0得,1 0 ,即01 x1 x解得x 0或x 1 ,又 Q x 1 , x 0f (x)的单调递减区间为(0,) . 4分 1八(II ) f (x) m , (x 1)1 x(1) m

12、0时,f (x) 0恒成立f(x)在(1,)上单调递增,无极值.6分,一 1,(2) m 0时,由于一 11m所以f(x)在 1,1 1上单调递增,在 -1,上单调递减,mm ,1从而f (x)极大值 f (一 1) m In m 1.9分 m(III )由(II )问显然可知,当m 0时,f (x)在区间0,e2 1上为增函数,在区间0,e2 1不可能恰有两个零点. 10分当m 0时,由(II )问知f(x)极大值二f (1 1), m又f(0) 0,0为f(x)的一个零点.11分2f(e2 1) 0假设f(x)在0,e2 1恰有两个零点,只需101 e 1m2 m(e2 1) 02即 12

13、 m 113分2 m 1 e 1 e【点评】首先考虑参量别离.得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值.直接求最值.此时不等式一般形如f(x) A或f(x) A,直接求f (x)的最值.-2【答案】m 1e2 1例 5：函数 f (x) ln x ax 1a 1 . x1 _(i)当0 a 时,讨论函数f(x)的单调性；221(n)设g(x) x2 2bx 4,当a 时,假设对任意x (0,2), f(x) g(x)恒成立,求 4实数b的取值范围.2/,、11 a ax x (1 a)八【斛析】：(i) f (x) - a -2- 2 -2 分x xxax (1 a)(x 1)2(

14、x 0) x令 f/(x) 01 a得 x1 , x2 1 3 分a1当a 时,f (x) 0,函数f(x)在(0,)上单减 4分2当 0 a 1 时,La 1 ,2 a1 a在(0,1)和(,)上,有f (x) 0 ,函数f(x)单减,a1 a在(1,a)上,f (x) 0,函数f(x)单增 6分a11 a13(n)当 a 一时,3, f(x) ln x -x 14 a4 4x由(I)知,函数f (x)在(0,1)上是单减,在(1,2)上单增1所以函数f (x)在(0,2)的最小值为f(1)1 8分2假设对任意x1 (0, 2),当x2 1,2时,f (x) g(x)恒成立,1只需当x 1,

15、2时,gmax(x)即可1g2所以2 , 11分g(2)12.r11代入解得b U411所以实数b的取值范围是11,).13分4【点评】注意如果条件改为“f(Xi) g(X2)恒成立,怎么样解答,还可以移项构造新函数吗？11【答案】b的取值范围是U,4难度例6：设l为曲线C: y 见x在点(1, 0)处的切线. X(I)求l的方程；(II)证实：除切点(1, 0)之外,曲线C在直线l的下方【解析】(I)设f X 那么f,X XX所以f' 11.所以L的方程为y X 1.x 1 f x ,那么除切点之外,曲线 C在直线L的下方等价于g X >0 X 0, X 1 g x满足g 1

16、=0 ,且2x 1 ln xX =2X当0vxv1时,x2 1< 0,lnxv0,所以g X <0,故g X单调递减;当x>1时,x2 1>0, ln x>0,所以g x>0,故g X单调递减.所以 g x >g 1 =0x 0, x 1 .所以除切点之外,曲线 C在直线L的下方.【点评】构造函数,转化直接求最值.此时不等式一般形如f(x) A或f(x) A,直接求f (x)的最值.【答案】(I) y x 1*【题】函数f (x) ax2 (a 2)x In x . (I)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(n)当a>0时,函数f(x)在区间1 , e上的最小值为-2 ,求a的取值范围；(出)假设对任意 x1,x2 (0,), x1 x2,且 f (x1 )+2 x1 f (x2 )+2 x2 恒成立,求 a 的取值范围.：难度*1 C【题】己知函数f(x) 1x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的单调增函数,求实数a的3取值范围.【难度】*15【题】函数f (x) -x 2ex 3e ln x b在(x0,0)处的切线斜率为零. 2(i)求Xo和b的值；(n)求证：在定义域内f(x)为0恒成立；难度*1