几何证明的好方法——截长补短

1、几何证明的好方法一一截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差” 及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法 来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二, 使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的 另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延 长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长 的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三 角形进行求解。截长法：(1) 过某一点作长边的垂线(2) 在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法(1)

2、延长短边。(2) 通过旋转等方式使两短边拼合到一起。几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型;类型a±b二c类型a±b=kc类型旦C类型c2 =a b对于类型，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为 类型证明。对于，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个 三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为 30°的直角三角形等。对于类型，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角 形中，与类型相同。实际上是求类型中的k值。对于类型，将c2二ab化为£二纟的形式，然后通过相似三角形的 a c

3、比例关系进行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或 补短的方法。在正方形ABCD中，DE二DF, DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG, GH, CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）BM A例题不详解。(第2页题目答案见第3、4页)(1)正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，上EAF二45。求证：EF二DE+BF(1)变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，ZEAF二45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系(1)变形bF正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，zE

4、AF二45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系(1)变形c正三角形 ABC 中，E 在 AB 上，F 在 AC 上上EDF=45° °DB二DC, zBDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系(1)变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，ZEAD=15 ZFAB=30 %ADp求aAEF的面积(1)解：(简单思路)延长CD到点G,使得DG二BF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90AD=AB又 DG=BF所以 ADG= aABF (SAS)ZGAD二zFABAG=AF由四边形ABCD是正方形得Z DAB=90&

5、quot; = z DAF+ z FAB= /DAF+zGAD=zGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF =90 “ 一45 “ =45。ZGAE=ZFAE=45"又 AG=AFAE=AE所以 EAG= aEAF (SAS)EF二GE二GD+DE二BF+DE变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得zADE=zABG=90"AD=AB又 DE=BG所以 ADE= aABG (SAS)ZEAD=/GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得z DAB=90。二 z DAG+ z GAB二 ZDAG+ZEAD

6、二 zGAE 所以 zGAF=zGAE-zEAF =90 ° -45 “ =45 °ZGAF=ZEAF=45"又 AG=AEAF=AF所以 EAF= aGAF (SAS)EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：(简单思路)EF二DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得zADG=zABF=90"AD=AB又 DG=BF所以 ADG= aABF (SAS)ZGAD二zFABAG=AF由四边形ABCD是正方形得Z DAB=90" = Z DAG+ Z GAB二 ZBAF+ZGAB 二 ZGAF所以 zGAE

7、=zGAF-zEAF=90" -45" =45"ZGAE=ZFAE=45"又 AG=AFAE=AE所以 EAG= aEAF (SAS)EF二EG二ED-GD二DE-BF变形c解：（简单思路）EF二BE+FC延长AC到点G,使得CG二BE,连接DG。由 ABC是正三角形得zABC=zACB=60"又 DB二DC, ZBDC=12O<,所以 ZDBC 二 ZDCB 二 30。Z DBE 二 z ABC+ Z DBC 二 60" +30 °=9Q °Z ACD= z ACB+ z DCB=60" +30。

8、二 90 “所以 ZGCD=180" -Z ACD=90 °ZDBE=/DCG=9O°又 DB=DC, BE=CG所以 DBE= ADCG (SAS)ZEDB 二 zGDCDE=DG又 ZDBC=12O° = ZEDB+ZEDC二 ZGDC+ZEDC 二 ZEDG所以 ZGDF=ZEDG-ZEDF二120。-60。二60"zGDF=zEDF=60"又 DG=DEDF=DF所以AGDF= AEDF (SAS)EF二GF二CG+FC二BE+FC变形d解：（简单思路）E延长CD到点G,使得DG二BF,连接AG。 过E作EH丄AG.前面如（1

9、）所证， aADG= aABF, aEAG= aEAFZ GAD= Z FAB=30", S EAG=S A EAF在 RtAADG 中，/GAD二30”，AD#ZAGD=60 AG=2设 EH=x在RtAEGH中和RtAEHA中ZAGD=60 /HAE二45"HG二AH二x3AG二2二HG+AH二也x+x, EH二x=3-厉3S EAF 二 S a EAG 二 EH x AG 一 2二3-点(第5页题目答案见第6页)正方形ABCD中，对角线AC与BD交于0,点E在BD上，AE平分zDACo求证：AC/2二AD-E0(2)加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上

10、，CM二AN,点E在BD上,NE 平分 zDNMo请问MN、AD、EF有什么数量关系(2)解：(简单思路)过E作EG丄AD于G因为四边形ABCD是正方形ZADC=9O BD 平分 zADC, AC丄BD所以 ZADB 二 ZADC/2 二 45。因为AE平分ZDAC, E0丄AC, EG丄AD所以 zEA0=/EAG,zDGE=zA0E=zAGE=90° 又 AE=AE,所以 AAE0= aAEG (AAS)所以 AG=AO, EO=EG又zADB二45', zDGE二90°所以aDGE为等腰直角三角形DG=EG=E0AD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2(2

11、)加强版解：(简单思路)MN/2二AD-EF过E作EG丄AD于G,作EQ丄AB于Q,过B做BP1MN于P按照(2)的解法，可求证，AGNE= aFNE (AAS)adge为等腰直角三角形AG二AD-DG二AD-EF,因为四边形ABCD为正方形，ZABC=zGAQ=zBCM二90 "BD 平分 ZABC, BC=BAZ ABD= z ABC/2=45 "，又 Z EQB 二 90 "A EQB为等腰Rt三角形，ZBEQ二45" 因为 Z GAQ= z EGA= z EQA=90。所以四边形AGEQ为矩形,UJV 上aLL8 虫祭中UUQVKW WQN Y0

12、CI7 NW OSHiQN 0 s as wua GUQH o 80 § aov7U0V7 0wvw 0W.VWCQWVW awvw8 00 09HV7 08 w y lbw aw咛.VWI4IZOIM + QM)Llw I "Gw §7?g/vvw咛咛VWBWLWJQWCNua UQ ua is s 4<J ONNW NVON NW8z>J 8 + 5 8 + 5 8 + 5 吗咛 乂乂 : od od ud ud Hd Uly OQ创 cd02d s s Op JyUIV OQud u<luBBD【例3】如图所示，AA3C是边长为1的正三角形，MDC是顶角为120°的 等腰三角形，以D为顶点作一个60°的ZMDN,点M、N分别在 AB、 AC上，求的周长板块二、全等与角度【例7 如图，在A43C中，ZE4C = 60° , M）是ABAC的平分线，且AC = AB + BD9 求 ZABC 的度数由已知条件可以想到将折线血“拉直”成AE,利用角平分线AD可