托勒密定理与西姆松定理0001

1、4 托勒密定理与西姆松定理C托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形中， 两条对角线的乘积 （两对角 线所包矩形的面积 ）等于两组对边乘积之和 （一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和 ）证：在四边形 ABCD内取点 E，使 BAECAD，ABE ACD则： ABE和ACD相似AB BEAB CD AC BEAC CD又Q AB AE且BACEADABC和AED相似AC ADBC EDADBCAC EDAC ADAB CD ADBCAC(BE ED)AB CD AD BC AC BD且等 号当且仅当 E在 BD上时成立，即当且仅当 A、B、C、D四点共圆时成立；即：定理：在四

2、边形 ABCD中，有： AB CD AD BC AC BD并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等式成立；一、直接应用托勒密定理例1、 如图 2，P是正 ABC外接圆的劣弧 上任一点（不与 B、C重 合），求证： PA=PBPC 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形， 均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有 PA·BC=PB·ACPC·AB， AB=BC=ACPA=PB+PC二、完善图形 借助托勒密定理例 2 、证明“勾股定理”：在RtABC中， B=90°，求证：AC2=AB2BC2证明： 如图，作以 RtABC的斜边 AC为一对角线的

3、矩形 ABCD，显然 ABCD是圆内接四边形由托勒密定理有AC·BD=AB·CD AD·BC又 ABCD是矩形， AB=CD，AD=BC，AC=BD把代人，得 AC2=AB2 BC2例 3 、如图，在 ABC中， A 的平分线交外接圆于 D，连结 BD， 求证： AD·BC=BD（ABAC）证明： 连结 CD，依托勒密定理有AD·BCAB·CDAC·BD 1= 2， BD=CD故 AD ·BC=AB·BD AC·BD=BD（AB AC）三、构造图形 借助托勒密定理例4 若 a、b、x、y是实数，

4、且 a2 b2=1 ，x2 y2=1 求证： ax by1证明：如图作直径 AB=1 的圆，在AB两边任作 RtACB和RtADB， 使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知 a、b、x、y 是满足题设条件的 据托勒密定理有AC·BDBC·AD=AB·CD CD AB 1， axby 1四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例5、已知 a、b、c是ABC的三边，且 a2=b（b c），求证： A=2 B 分析：将 a=b（b c）变形为 a·a=b ·b bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一

5、底边为 c证明：如图，作 ABC的外接圆，以 A为圆心， BC为半径作弧交圆于 D，连结 BD、DC、DAAD=BC， ?ACD B?DC ABD= BAC 又 BDA=ACB（对同弧 ），1=2依托勒密定理有BC·AD=AB ·CDBD·AC而已知 a2=b（b c），即 a·a=b ·cb2 BAC=2ABC五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例 6 、在 ABC中，已知 A BC=124， 分析： 将结论变形为 AC·BCAB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图

6、，作 ABC 的外接圆，作弦 BD=BC，连结 AD、CD 在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理有 AC·BDBC·AD=AB·CD易证 AB=AD，CD=AC， AC·BC BC·AB=AB·AC，练习 1.已知 ABC中， B=2C。求证： AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过 A作BC的平行线交 ABC的外接圆于 D，连结 BD。 则 CD=DA=AB ，AC=BD。由托勒密定理， AC·BD=AD ·BC+CD·AB。练习2.由 ABC外接圆的弧 BC上一点P分别向边 BC、A

7、C与AB作垂线PK、PL和PN，求证：BC AC ABPK PL PM证：连接PA、PB、PC，对于四边形 ABPC利用托勒密定理有：BC AP AC BP AB CPBCACAB即： AP PK BP PL CP PMPKPLPM由 KBPLAP可知 Rt KBP和Rt LAP相似PK PBPL PAAP PKBP PL同理可得： BPPLCPPMBCACAB由 AP PKBPPLPKPLPMBC AC ABCP PM 可得：PK PL PM西姆松（Simson）定理（西姆松线）:从 ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它们的延长线引垂线，垂足分别为 D、E、 F，则D、E、F三点共

8、线 . 证明: 连接 DE、DF，显然，只需证明 BDFEDC即可；Q BDP BFP 90 B、F 、P、D四点共圆，BDF BPF 同理可得： EDC EPC又 Q BFP PEC 90 且 PCE 180 PCA PBA BPF EPC BDF EDC D、E、F 三点共线 注：1o直线DEF叫做 ABC的关于 P点的西姆松 线；2o西姆松定理的逆定理也成立，即：从一点 P向 ABC的三边 （或它们的延长线 ）引垂线， 若其垂足 D、 E、 F 在同一直线上，则 P在 ABC 的外接圆上；3o西姆松定理还可推广为从 ABC外接圆上任意一点 P引与 BC、CA、AB分别成同向的等角直线 交

9、点分别为 D、E、F，则 D、 E、F三点共线。例 7、 设 ABC的三条垂线 AD、BE、CF的垂足分别为 AB、 BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为 P、Q、R、S， 一直线上；证明 : 设 ABC的垂心为 O，则 O、 E、 C、 D四点共圆 Q 由西姆松定理有： Q、 R、 S 三点共线 又Q O、F、B、D四点共圆 且由西姆松定理有： P、Q、 R三点共线P、Q、 R、 S四点共圆PD、 PE、 PF，它们与三边D、 E、F；从点 D作 求证 P、 Q、R、S在同例 8、四边形 ABCD是圆内接四边形，且 D是直角，若从 B作直线 AC、AD的垂线，垂足分别为 E、F，则直线 EF

10、 平分线段 BD证明: 作BG DC ,由西姆松定理有： F、E、G共线，又 Q BFD FDG DGB 90四边形 BFDG 为矩形对角线 FG 平分另一条对角线 BD例 9、 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在一条直线上； 证明：如图，设四条直线 AB、 BC、CD、 AD中， AB交CD于点E，BC交AD于点 F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为 GBGF BGC CGF BEC CDABGF A 180 ，即圆 ABF过点G 同理圆AED也过点 G 圆BCE、圆CDF 、圆ABF、圆 AED交于同一点 G若点 G向AB、BC

11、、 CD、 DA所作垂线的垂足分别为 E、L、M、N、P， 由西姆松定理可知 L、M 、N在一条直线上， M 、N、P在一条直线上，故 L、M、N、P在同一条直线上例 10、 设 ABC的外接圆的任意直径为 PQ，则关于 P、Q的西姆松线是互相垂直的。 提示:由P、 Q向BC作垂线并延长交外接圆于点 P'、Q'，先证P'A、Q'A分别与点 P、Q 的西姆松线平行，再证 PP'QQ'是矩形，则 P'A Q'A作业：1设 AD 是ABC的边 BC上的中线，直线 求证：2过 ABC的重心 G的直线分别交 AB、AC于 E、F， 交 CB

12、 于 D。求证：。3D、E、F分别在ABC的 BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成 LMN8O 为ABC内一点 AB 的距离 求证9ABC中， H、G、O 分别为垂心、重心、外心5已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证：4以 ABC 各边为底边向外作相似的等腰 BCE、 CAF、ABG。求证： AE、BF、CG 相交于一点7正六边形 ABCDEF的对角线 AC、CE分别被内分点 M、N 分成的 比为 AM ：AC=CN ：CE=k，且 B、M、N 共线。求 k。(23-IMO-5 )6ABC的BC边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED交 AC

13、延长线于 F。求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。分别以 da、db、dc表示 O到 BC、CA、 以 Ra、 Rb、 Rc表示 O 到 A、B、C 的距离。 1)a·Rab·db+c·dc;(2) a·Rac·db+b ·dc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+d b+dc)。求证： H、G、O 三点共线，且 HG=2GO。（欧拉线）10O1 和O2 与 ABC的三边所在直线都相切， E、F、 G、H 为切点，EG、FH 的延长线交于 P。求证：PABC。11如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE与 AC相交于 F，延长 DF交 BC于G。 求证： GAC=EAC。1. 分析： CEF截ABD（梅氏定理）评注：也可以添加辅助线证明：过 A、 B、D 之一 作 CF 的平行线。2. 分析：连结并延长 AG交BC于M，则 M为BC的中点DEG 截ABM（梅氏定理）DGF 截ACM（梅氏定理） = = =1 评注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 评注：托勒密定理6.评注：西姆松定理（西姆