两条直线的位置关系

1、两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：(i )对于两条不重合的直线li、12,假设其斜率分别为ki、k2,那么有li/l2?ki = k2.(ii)当直线li、12不重合且斜率都不存在时,1i/12.两条直线垂直：(i )如果两条直线li、l2的斜率存在,设为ki、k2,那么有liXl2?ki k2=i.(ii)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,li,l2.(2)两条直线的交点直线li: Aix+Biy+Ci = 0, l2： A2x+B2y+C2= 0,那么li与l2的交点坐标就是方程组的解.Aix+ Biy+ Ci = 0, =Ax+

2、 B2y+ C2= 02.几种距离Ax0+By0+C|'A2+ b2两点 Pi(xi, yi), P2(x2, y2)之间的距离 |PiP2| = M取2 xi彳 + 力2 yi?2.点P0(x0, y0)到直线l: Ax+ By+ C = 0的距离：d= (3)两条平行线Ax+By + Ci = 0与Ax+By+C2=0(其中C/C?间的距离=赛福.选择题:设 aC R,那么 “a=i 是“直线 li：ax+ 2y1 = 0与直线 l2：x+ (a+i)y+ 4=0平行的()A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a=i时,直线

3、li： x+ 2yi=0与直线l2： x+ 2y+4 = 0平行;必要性：当直线li: ax+ 2yi = 0与直线l2： x+(a+i)y+ 4= 0平行时有a= 2或i ； 所以“a=i是“直线li: ax+2y1=0与直线l2： x+(a+i)y+4= 0平行的充分不必要条件点(a,2)(a>0)到直线l: x-y+3 = 0的距离为i,那么a等于()A. 2B. 2 72C. 2-1D. . 2+ 1|a- 2+3|解析 依题意得一=1,解得 a= 1 + 42或 a= - 1 42,a>0, a=- 1 + 2.W+i直线11： (3+m)x+ 4y=5 3m, I2:

4、2x+ (5+m)y=8平行,那么实数 m的值为().、13A. 7B. -1C. 1 或一7D.W3解析3+ m5- 3m21i的斜率为一,在y轴上的截距为 T, l2的斜率为,在y轴上的截445+m距为85+ m又 = 1i / l2,3+ m 22由一 z d, m + 8m+7=0,得1 m 1 或一7.45+mm= 1 时,5 -3m 8= =5+ m2, 1i与l2重合,故不符合题意m= 7 时,5-3m 13/ 8=4,符合题意两条直线1i: (a1)x+2y+1=0, b: x+ay+ 3 = 0平行,那么a等于()A. 1B, 2C. 0 或2D. 1 或 2解析 假设a =

5、 0,两直线方程为x+ 2y+1=0和x= 3,此时两直线相交,不平行,所以a 1 2 1aw0.当aw0时,假设两直线平行,那么有 1=1W3,解得a= 1或a = 2,选D. 1 a 3点O(0, 0), A(0, b), B(a, a3).假设AOAB为直角三角形,那么必有()A . b=aB. b= a3+ aC. (b a3)a3： i= 0D. |b-a3|+|b-a3-1| = 0解析 假设以O为直角顶点,那么B在x轴上,那么a必为0,止匕时O, B重合,不符合题意；假设/A=；, 那么b=a3w0,假设/B = ：,根据垂直关系可知a2aj = 1,所以a(a3b) = 22a

6、1,即b a31 = 0,以上两种情况皆有可能,故只有 C满足条件. a过点A(m+1, 0), B(-5, m)的直线与过点C(-4, 3), D(0, 5)的直线平行,那么 m的 值为()A. 1B. -2C. 2D, 1m- 0m5 - 3 i解析由题意得：kAB=, kcD=.由于 AB/CD, 即 kAB5 ?m +17 6 m 0 ? 4?一 m 1 一所以 3 = 2",所以m= 26- m 2-1一当0<k<2时,直线11： kxy= k1与直线12： kyx=2k的父点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kx- y= k 1, k 2k

7、_ 11解析 解方程组彳得两直线的交点坐标为 一,由于0V k<1Iky- x= 2k卜1 k 1)2k2 1厂所以< 0, >0,故交点在第二象限.k-1k-1假设直线11： y= k(x4)与直线12关于点(2, 1)对称,那么直线12经过定点()A. (0, 4)B. (0, 2)C. ( 2, 4)D. (4, -2)解析 直线11： y=k(x 4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线11： y= k(x 4)与直线12关于点(2,1)对称,故直线12经过定点(0,2).从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8, 4)平行的直线射到y

8、轴上,那么反射光线所在的直线 方程为()A. x+ 2y 4 = 0B, 2x+y1=0C, x+6y 16 = 0D, 6x+ y 8=01 .解析由直线与向量a= (8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k= 2,所以直线的方程为y13= 2(x- 2),其与y轴的父点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(一2,3),所以反射光线过点(一2,3)与(0,2),由两点式知 A正确.填空题：a, b为正数,且直线ax+ by6 = 0与直线2x+ (b 3)y+5=0互相平行,那么2a+3b 的最小值为13+靖+#13+6*2患=解析 由于直线ax+by6 = 0与直线2x+

9、(b 3)y+5=0互相平行,所以a(b 3)=2b,即2 32 3-+r= 1(a, b 均为正数),所以 2a+ 3b=(2a+3b) ；+7 = a ba bb a25(当且仅当g=萨 即a=b=5时取等号) 假设直线(3a+2)x+(1 4a)y+8=0 与(5a2)x+ (a + 4)y 7 = 0 垂直,那么 a=解析由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a 2) + (14a)(a+4)=0,解得2=0或2 = 1.两直线方程分别为l1: x+ y=1, l2： ax+ 2y= 0,假设l1,l2,那么a=,解析.l1±l2, .klk2= 1,1-a- 2u直线y

10、=kx+ 2k+1与直线y=1 _-2x+2的交点位于第一象限,那么实数 k的取值范围是y=kx+ 2k+1,解析由方程组11(y= 一尹2,解得2-4k6k+ 1直线平行),交点坐标为必k+12k+ 12-4kx二,2k+16k+1V=2k+1_1 (假设 2k+1=0,即 k= -2,那么两,2-4k>0,2k+1又交点位于第一象限,解得一6k+1>0,12k+16<k<2.直线l过点P(-1, 2)且到点A(2, 3)和点B(-4, 5)的距离相等,那么直线l的方程为解析 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+ 1),即kx-y+k+2 = 0.由

11、题意知|2k- 3+ k+2| |-4k- 5+ k+ 2|门口1,即 |3k 1|=|3k3|, . .k= %31 一. .直线 l 的方程为 y 2= ax+ 1,即 x+3y 5 = 0. 3当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x= 1,也符合题意.过点P(0, 1)作直线1,使它被直线11： 2x+ y-8=0和12： x3y+ 10=0截得的线段被点P 平分,那么直线1的方程为解析 设11与1的交点为A(a,8-2a),那么由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6) 在12上,代入12的方程得a-3(2a-6)+10 = 0,解得a = 4,即点A(4,0)在直线1上,所

12、 以直线1的方程为x+ 4y4 = 0与直线11： 3x+2y 6= 0和直线12： 6x+ 4y 3 = 0等距离的直线方程是 3解析12： 6x+4y 3=0化为3x+2y =0,所以11与12平行,设与11, 12等距离的直线1315的万程为3x+ 2y+c=0,那么：|c+ 6|=|c+|,解得c=- -,所以1的万程为12x+ 8y-15 =0.两直线1i: axby+ 4 = 0和12： (a1)x+ y+ b=0,假设1i/12,且坐标原点到这两条直 线的距离相等,那么a+b =a+b?a1 ?= 0,解析 由题意得44_|b|“a2+ ?二 b?,?a-1y+1a = 2, 解

13、得b= 一2I b = 2经检验,两8种情况均符合题意,- -a+b的值为0或33 ,一,一,一兀 一 直线1i: ax+ y- 1=0,直线12： x y3=0,右直线1i的倾斜角为'那么a=;假设1i112,那么a=;假设1i / 12,那么两平行直线间的距离为 解析 假设直线11的倾斜角为*那么一a=k=tan45 = 1,故a= 1;假设11L2,那么ax 1+1 x (|1-7-3?|1)=0,故a=1;假设1i/12,那么a= 1, 1i: x y+1=0,两平行直线间的距离 d= tV1 + 1= 2 2.直线l:2x3y+1=0,点A(1, 2),那么点A关于直线l的对

14、称点A'的坐标为解析设3313'解做题两直线y+22X3=T,一一x+ 1 3A' (x, y),由得?x一 1 y一 22 2X2-3X-2-+1=0,33而解得£Ly13,11： x+ysina1=0 和 12： 2x sin a+ y+1=0,求a的值,使得:(1)11 / 12； (2)11 ±12.显然11不平行于12.sin2=一 2sin a,即 sin a= iz. 2解(1)当sin - 0时,直线11的斜率不存在,12的斜率为0,1当 sinaw0 时,k1 = -, k2= 2sina,要使 11/12,需一 sin a/所以a

15、= k：t, kZ,此时两直线的斜率相等.故当 后kJ, k Z时,11/12.(2)由于 A1A2+ B1B2= 0 是 11 X12 的充要条件,所以 2sin a+ sin a= 0,即 sin a= 0,所以 a= k 九, kCZ.故当 a= ktt, kC Z 时,11X12.如图,设一直线过点(一1,1),它被两平行直线11： x+ 2y1 = 0, 12： x+ 2y 3=0所截的线 段的中点在直线13： x y 1 = 0上,求其方程.解 与11、12平行且距离相等的直线方程为 x+2y 2 = 0.设所求直线方程为(x+2y 2)+ Xx y1) = 0,即(1 +姒+(2

16、?y 2-入=0.又直线过(一1,1),1 .(1+ 2)(1)+(2 ) 12入 =0,解得 仁%.所求直线方程为 2x+7y- 5=0.3正方形的中央为点C(1,0), 一条边所在的直线方程是x+ 3y 5 = 0,求其他三边所在直线 的方程| 1 5| 3a /10解 点C到直线x+3y 5 = 0的距离d=,1 + 95设与x+ 3y 5= 0平行的一边所在直线的方程是 x+ 3y+ m= 0(m w 5),| 1 + m| 3/10那么点C到直线x+ 3y+m=0的距离d=/ = * ,解得m= 5(舍去)或m=7,A/1 + 95所以与x+ 3y- 5=0平行的边所在直线的方程是

17、x+3y+ 7 = 0.设与x+3y 5= 0垂直的边所在直线的方程是 3xy+n = 0,那么点C至IJ直线3xy+n = 0的距离d =I 3+n|3月,解得n= 3或n = 9,所以与x+3y 5=0垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y 3 = 0和3x- y+9 = 0.直线l: 2x-3y+ 1 = 0,求直线m： 3x-2y 6 = 0关于直线l的对称直线m'的方程解 在直线m上任取一点,如M(2,0),那么M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上2Xa+2-3Xb+0+ 1=0,设对称点M' (a , b),那么L 八b 0a=13.l

18、 a-22X3=T,解得 ? 的301b=13M'袅2x 3y+1 = 0,设直线m与直线l的交点为N,那么由S得N(4,3).3x-2y-6 = 0,又 经过点N(4,3). .由两点式得直线 m'的方程为9x-46y+ 102=0.求与直线3x+ 4y+ 1 = 0平行且过点(1, 2)的直线l的方程.解 依题意,设所求直线方程为3x+ 4y+c= 0 (cw1),又由于直线过点(1, 2),所以3X1+4X2+c=0,解得c= -11.因此,所求直线方程为3x + 4y11 = 0.求经过两直线l1： x-2y + 4 = 0和l2： x+y 2=0的交点P,且与直线l3

19、： 3x-4y+ 5= 0垂直的直线l的方程.x- 2y+4 = 0,解 解方程组i得P(0, 2).Ix+ y- 2=0,由于13的斜率为3,且U13,所以直线l的斜率为一4,由斜截式可知1的方程为y= qX+ 2,即4x+ 3y6 = 0. 34ABC的顶点A(5, 1), AB边上的中线CM所在直线方程为2x- y- 5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x- 2y-5=0,求直线BC的方程.解 依题意知：kAC= 2, A(5, 1), ；1AC为 2x+ y- 11 = 0,2x+ y11 = 0,联立 1AC、1CM 得 5,C(4, 3).2x y 5 = 0,X0 + 5 y

20、0 + 1设 B(x0, y0), AB 的中点 M 为(下一,2),(2x0 y0 1 = 0,代入 2xy5= 0,得 2x0 y01 = 0, . S.(-1, 3),1x0- 2y0- 5= 0,66；kBC = 5,.直线 BC 的万程为 y3=5(x 4),即 6x5y 9 = 0.直线1经过直线11： 2x+ y- 5=0与12： x 2y=0的交点.假设点A(5, 0)到1的距离为3,求1的方程；(2)求点A(5, 0)到1的距离的最大值.解(1)易知1不可能为12,可设经过两直线交点的直线系方程为(2x+ y-5)+ Xx-2y)=0,即(2+ ；)x+(1 22)y5 = 0,点A(5,0)到1的距离为3,|10+ 5 b