2019年中考数学一轮复习：第八章专题拓展8.4二次函数与几何图形综合型ppt课件

1、第八章 专题拓展8.4二次函数与几何图形综合型中考数学中考数学 (江苏公用江苏公用)解答题1.(2021云南昆明,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y0时,自变量x的取值范围;(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PABA时,求PAB的面积. 好题精练解析解析(1)解法一解法一:抛物线抛物线y=ax2+bx过点过点B(1,-3),对称轴为直线对称轴为直线x=2,(1分分)解得解得(2分分)抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分分)抛物线过原点抛物线过原点,

2、对称轴为直线对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得由抛物线的对称性得A(4,0),由题图可知由题图可知,当当y0时时,自变量自变量x的取值范围为的取值范围为0 x4.(4分分)解法二解法二:抛物线抛物线y=ax2+bx过原点过原点,对称轴为直线对称轴为直线x=2,由抛物线的对称性得由抛物线的对称性得A(4,0),把把A(4,0),B(1,-3)分别代入分别代入y=ax2+bx中中,得得(1分分)解得解得(2分分)抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分分)2,23,baab 1,4.ab 1640,3,abab 1,4.ab 由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0 x4.(

3、4分)(2)解法一:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=EBA=45,PABA,即PAB=90,PAF=45,FPA=PAF=45,PF=AF.(5分)设点P的坐标为(x,x2-4x),点P在第二象限内,x0,PF=x2-4x,又AF=4-x,x2-4x=4-x,解得x1=4(不符合题意,舍去),x2=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PF=5.设直线PB的解析式为y=kx+m(k0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,

4、得解得直线PB的解析式为y=-4x+1.(7分)当y=0时,-4x+1=0,x=,C,5,3,kmkm 4,1.km 141,04AC=4-=,(8分)SPAB=SPAC+SABC=5+3=15.(9分)解法二:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,设PA与y轴交于点D.点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=EBA=45,且AB=3,PABA,即PAB=90,PAF=45,ODA=PAF=45,OD=OA=4,点D的坐标为(0,4),1415412154121542设直线PA的解析式为y=kx+m(k0),把D(0,4),A(4,0)分别代入y=k

5、x+m中,得解得直线PA的解析式为y=-x+4.(5分)由x2-4x=-x+4解得x1=4,x2=-1,点P在第二象限内,x=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PAF=APF=45,PF=AF=5,在RtPFA中,AFP=90,由勾股定理得AP=5.(7分)4,40,mkm1,4.km 22AFPF22552在RtPAB中,PAB=90,SABP=APAB=53=15.(9分)(其他解法参照此规范给分)121222思绪分析思绪分析(1)知抛物线的对称轴为直线知抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线经过点且抛物线经过点B(1,-3),那么用待定系

6、数法可求那么用待定系数法可求得抛物线的解析式得抛物线的解析式,求得抛物线与求得抛物线与x轴的另一个交点轴的另一个交点A的坐标的坐标,或者先求出或者先求出A点坐标点坐标,然后将然后将A、B点坐标分别代入点坐标分别代入y=ax2+bx中中,得到抛物线的解析式得到抛物线的解析式.从而结合图象即可得从而结合图象即可得y0时自变量时自变量x的取值的取值范围范围;(2)过过B作作BEx轴于点轴于点E,过过P作作PFx轴于点轴于点F,由由BE=AE,APAB,得得PF=AF,建立方程求建立方程求得点得点P的坐标的坐标,确定直线确定直线PB的解析式的解析式,从而求得从而求得PAB的面积的面积,或者过或者过B作

7、作BEx轴于点轴于点E,过过P作作PFx轴于点轴于点F,由由BE=AE,APAB,得得OD=OA(D为为PA与与y轴交点轴交点),从而求出直线从而求出直线PA的解析式的解析式,建建立方程求得点立方程求得点P的坐标的坐标,进而求得进而求得PAB的面积的面积.疑问突破此题调查了用待定系数法求抛物线的解析式以及二次函数图象的性质疑问突破此题调查了用待定系数法求抛物线的解析式以及二次函数图象的性质.难点为本难点为本题第题第(2)问问,当当PABA时时,求求SPAB,先确定点先确定点P的坐标的坐标,再用分割法或直角三角形面积公式求出再用分割法或直角三角形面积公式求出SPAB.2.(2021天津天津,25

8、,10分分)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,点点O(0,0),点点A(1,0).知抛物线知抛物线y=x2+mx-2m(m是常是常数数),顶点为顶点为P.(1)当抛物线经过点当抛物线经过点A时时,求顶点求顶点P的坐标的坐标;(2)假设点假设点P在在x轴下方轴下方,当当AOP=45时时,求抛物线的解析式求抛物线的解析式;(3)无论无论m取何值取何值,该抛物线都经过定点该抛物线都经过定点H.当当AHP=45时时,求抛物线的解析式求抛物线的解析式.解析解析(1)抛物线抛物线y=x2+mx-2m经过点经过点A(1,0),0=1+m-2m,解得解得m=1.抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2+x

9、-2.y=x2+x-2=-,顶点顶点P的坐标为的坐标为.(2)抛物线抛物线y=x2+mx-2m的顶点的顶点P的坐标为的坐标为.由点由点A(1,0)在在x轴正半轴上轴正半轴上,点点P在在x轴下方轴下方,AOP=45,知点知点P在第四象限在第四象限.过点过点P作作PQx轴于点轴于点Q,那么那么POQ=OPQ=45.可知可知PQ=OQ,即即=-,解得解得m1=0,m2=-10.当当m=0时时,点点P不在第四象限不在第四象限,舍去舍去.m=-10.抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2-10 x+20.212x9419,2428,24mmm284mm2m(3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x

10、2可知,当x=2时,无论m取何值,y都等于4.点H的坐标为(2,4).过点A作ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,那么DEA=AGH=90.DAH=90,AHP=45,ADH=45,AH=AD.DAE+HAG=AHG+HAG=90,DAE=AHG.ADE HAG.DE=AG=1,AE=HG=4.可得点D的坐标为(-3,1)或(5,-1).当点D的坐标为(-3,1)时,可得直线DH的解析式为y=x+.35145点P在直线y=x+上,-=+.解得m1=-4,m2=-.当m=-4时,点P与点H重合,不符合题意,m=-.当点D的坐标为(5,-1)时,可得直线DH的

11、解析式为y=-x+.点P在直线y=-x+上,-=-+.解得m1=-4(舍),m2=-.m=-.28,24mmm35145284mm352m1451451455322328,24mmm53223284mm532m223223223综上,m=-或m=-.故抛物线的解析式为y=x2-x+或y=x2-x+.145223145285223443思绪分析思绪分析(1)把点把点A(1,0)代入抛物线代入抛物线,求出求出m的值的值,确定抛物线的解析式确定抛物线的解析式,可求出顶点可求出顶点P的坐标的坐标;(2)由函数解析式得出顶点坐标为由函数解析式得出顶点坐标为,作作PQx轴于点轴于点Q,那么那么PQ=OQ,

12、建立方程求出建立方程求出m的值的值,得出抛物线的解析式得出抛物线的解析式;(3)由由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知可知,定点定点H的坐标为的坐标为(2,4),过点过点A作作ADAH,交射线交射线HP于点于点D,分别过点分别过点D,H作作x轴的垂线轴的垂线,垂足分别为垂足分别为E,G,由由AHP=45,得出得出AH=AD,可证可证ADE HAG,再求得点再求得点D的坐标的坐标,分类讨论求出抛物线的解析式分类讨论求出抛物线的解析式.28,24mmm方法总结此题为二次函数的综合题方法总结此题为二次函数的综合题,属压轴题属压轴题.三个问题分别给出不同条件三个问题分别给出不同条件,再用待定

13、系数法再用待定系数法求二次函数关系式求二次函数关系式.第一问代入点第一问代入点A的坐标即可得解的坐标即可得解;第二问关键是构造直角三角形第二问关键是构造直角三角形,根据顶点根据顶点P的位置特点的位置特点,建立方程求解建立方程求解;第三问难度较大第三问难度较大,找到定点找到定点H的坐标是关键的坐标是关键,再根据点再根据点H,点点A的坐的坐标以及标以及AHP=45构造构造“一线三等角的模型确定点一线三等角的模型确定点D的坐标的坐标,最后根据点最后根据点P在直线在直线DH上上,分分类讨论求出类讨论求出m的值的值,即可求出抛物线的解析式即可求出抛物线的解析式.3. (2021上海崇明一模上海崇明一模,

14、24)如图如图,抛物线抛物线y=-x2+bx+c过点过点A(3,0),B(0,2).M(m,0)为线段为线段OA上一个上一个动点动点(点点M与点与点A不重合不重合),过点过点M作垂直于作垂直于x轴的直线与直线轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线求直线AB的解析式和抛物线的解析式的解析式和抛物线的解析式;(2)假设点假设点P是是MN的中点的中点,那么求此时点那么求此时点N的坐标的坐标;(3)假设以假设以B,P,N为顶点的三角形与为顶点的三角形与APM类似类似,求点求点M的坐标的坐标. 43解析解析(1)设直线设直线AB的解析式为的解析式为y=px+q,把把A

15、(3,0),B(0,2)代入得代入得解得解得直线直线AB的解析式为的解析式为y=-x+2.把把A(3,0),B(0,2)代入代入y=-x2+bx+c得得解得解得抛物线解析式为抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)M(m,0),MNx轴轴,N,P.NP=-m2+4m,PM=-m+2.而而NP=PM,-m2+4m=-m+2.30,2,pqq2,32,pq 234324330,32,bcc10,32,bc431032410,233mmm2,23mm43234323解得m1=3(舍去),m2=,N.(3)A(3,0),B(0,2),P,AB=,BP=m.而NP=-m2+4m,MNOB,BPN=ABO

16、.当=时,BPNOBA,那么BPNMPA,即m 2= ,整理得8m2-11m=0,解得m1=0(舍去),m2=,那么M.当=时,BPNABO,那么BPNAPM,121 10,232,23mm223213222223mm 13343PBPBPNBA1332443mm1311811,08PBBAPNOB即m = 2,整理得2m2-5m=0,解得m1=0(舍去),m2=,那么M.综上所述,点M的坐标为或.133132443mm525,0211,08502思绪分析思绪分析(1)利用待定系数法求直线和抛物线解析式利用待定系数法求直线和抛物线解析式;(2)设出设出N点的横坐标点的横坐标,表示出表示出N点、

17、点、P点点的坐标的坐标,用含参数用含参数m的代数式计算出的代数式计算出NP的长度的长度,利用利用NP=PM得到以参数得到以参数m为未知数的方程为未知数的方程,解方解方程求出程求出m的值的值,即可得到即可得到N点坐标点坐标;(3)利用两点间的间隔公式计算出各三角形中的边长利用两点间的间隔公式计算出各三角形中的边长,根据根据BPN=ABO,分类讨结论定三角形类似分类讨结论定三角形类似,由不同的比例线段由不同的比例线段,建立方程建立方程,解关于解关于m的方程即可得的方程即可得到对应的到对应的M点的坐标点的坐标.4.(2021四川攀枝花四川攀枝花,24,12分分)如图如图,抛物线抛物线y=x2+bx+

18、c与与x轴交于轴交于A、B两点两点,B点坐标为点坐标为(3,0),与与y轴轴交于点交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式;(2)点点P在在x轴下方的抛物线上轴下方的抛物线上,过点过点P的直线的直线y=x+m与直线与直线BC交于点交于点E,与与y轴交于点轴交于点F,求求PE+EF的最大值的最大值;(3)点点D为抛物线对称轴上一点为抛物线对称轴上一点.当当BCD是以是以BC为直角边的直角三角形时为直角边的直角三角形时,求点求点D的坐标的坐标;假设假设BCD是锐角三角形是锐角三角形,求点求点D的纵坐标的取值范围的纵坐标的取值范围.解析解析(1)由题意得由题意得解得解得抛物线的解析

19、式为抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2分分)(2)如图如图,过过P作作PGCF交交CB于于G,图图由题意知直线由题意知直线BC的解析式为的解析式为y=-x+3,OC=OB=3,OCB=45,CEF为等腰直角三角形为等腰直角三角形,(3分分)PGCF,GPE为等腰直角三角形为等腰直角三角形,F(0,m),C(0,3),2330,3,bcc4,3,bc CF=3-m,(4分)在CEF和GPE中,EF=CF=(3-m),PE=PG,设xP=t(1t3),那么PE=PG=(-t+3-t-m)=(-m-2t+3),当x=t时,t2-4t+3=t+m,PE+EF=(-m-2t+3)+(3-m)=(-

20、2t-2m+6)=-(t+m-3)=-(t2-4t)=-(t-2)2+4,当t=2时,PE+EF值最大,最大值为4.(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点的坐标在C上方D1位置,由勾股定理得,CD2+BC2=BD2,(7分)即(2-0)2+(n-3)2+(3)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5.(8分)当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标在C下方D2位置时,由勾股定理得BD2222222222222222222222222+BC2=CD2,即(2-3)2+(n-0)2+(3)2=(2-0)2+(n-3)2,

21、解得n=-1,当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标为(2,5)或(2,-1).(9分)图如图,以BC的中点T,BC为半径作T,与对称轴直线x=2交于D3和D4,由直径所对的圆周角是直角得CD3B=CD4B=90,(10分)设D(2,m),由DT=BC=得+=,解得m=,23 3,2 212123 222322232m23 223172D3,D4,又由得D1(2,5),D2(2,-1),假设BCD是锐角三角形,D点在线段D1D3或D2D4上时(不与端点重合),点D的纵坐标的取值范围是-1yD或yD,=),并证明他的判别并证明他的判别;(3)P为为y轴上一点轴上一点,以以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形为顶点的四边形是菱形,设点设点P(0,m),求自然数求自然数m的值的值;(4)假设假设k=1,在直线在直线l下方的抛物线上能否存在点下方的抛物线上能否存在点Q,使得使得QBF的面积最