第2章概率论分析资料

1、|第2章习题同步解析1. 下列给出的两个数列，是否为随机变量的分布律，并说明理由.i 1 一八Pi ,i 1,2,3,4,525，、 i5 i，、(1) pi,i 0,1,2,3,4,5 ; (2) pi ,i0,1,2,3； (3)156Pi是否满足下列两个条解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证件： pi 0,i1,2,依据上面的说明可得（1）Pi 1 中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为 p340; （3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为65Pi i 1空1.252.示取出的依题意X可能取到的值为3,4,5 ,事件3表示随机取出的

2、3个球的最大号码为3,则另两个球的只能为 1号，2号，即PX3113 ；事件X 4表不随机取C3103个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1,2,3号球中任选，此时PX,1 C；433C533一；同理可得PX 5101 C： _6C5310X的分布律为X345P1361010103.止射击,某射手有5发子弹，现对一目标进行射击，每次射击命中率为0.7,如果击中就停如果不中就一直射击到子弹用尽,求子弹剩余数的分布列.令X表示子弹剩余的数目，则X可能取值0,1,2,3,4 ,根据题意得PX 4 0.7; PX 3 0.30.7 0.21; PX 2 0.32 0.7 0.063PX 1 0.33

3、 0.7 0.0189;4PX 0 1 PX i 0.0081一袋中有5个乒乓球，编号分别为 1, 2, 3, 4, 5,从中随机地取 3个，以X表 3个球中最大号码，求 X的概率分布.X的分布律为4.并求:X1234P0.00810.01890.210.7c试确定常数c,使PX i) 了，i 0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律,15PX 2； P 1 X -22要使 工成为某个随机变量的分布律，必须有2i4 c0 2i由此解得c16一；31(2)PX2PX 0P X 1 PX2163128312PX16 11 PX 2 31 212315. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3

4、, 3,1,1,1,2这样的数字.从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函解 X可能取的值为13,1,2,且 PX 3) -,PX1)的分布律为X-312111P一326X的分布函数F x PX x0,1, 356,1 ,3,2.6. 设离散型随机变量X的分布函数为F x0, 0.4, 0.8, 1,1,2,x 1,求X的分布律.x 33解 可以看出X取值为1,1,3,且X在每点取值的概率是该点的跳跃高度，所以PX 1 F( 1) F( 1 0) F( 1) F(0) 0.4 0 0.4;所以其分布列为PXPX13F(1) F(1 0) F F(

5、1) 0.8 04 0.4;F(3) F(3 0) F(3) F(1) 1 0.8X-112P0.40.40.27.设随机变量B(6, p),已知 PX 1 PX5,求p与PX 2的值.解由于 X B(6, p),因此 PX 6Ckpk 1k,k0,1,L ,6 .由此可算得P X 16p(1p)5,PX 56P5(1p),6p(1 p)56P5(1p),解得12 2'此时，PX 2 C；15648. 有一汽车站有大量汽车通过， 某天该段时间内有1000辆汽车通过,分布，即每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在求事故次数不少于2的概率.设X为1000辆汽车中出事故的次数，

6、依题意，X服从n 1000, p 0.0001的二项B(1000,0.0001),由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从np 1000 0.0001 0.1的泊松分布，即 X P(0.1),所求概率为PX21 PX0.10.1e0!1 0.9048370 P X 10.11 0.1e 1!0.090484 0.004679.9 .一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率；(2)某一分钟的呼唤的次数大于3的概率.解设X为电话总机每分钟收到呼唤的次数，依题意 X P(4),则(1) PX8484一 e 8!0.0298PX3k44e k 4

7、k !3 4k 4 ek 0 k!1 0.4335 0.5665每班平均为4人.若预定票而又10 .某航线的航班，常常有旅客预定票后又临时取消, 取消的人数服从以平均人数为参数的泊松分布，求：(1)正好有4人取消的概率；(2)不超过3人(含3人)取消的概率；(3)超过6人(含6人)取消的概率；(4)无人取消的概率解 设X为取消的人数，依题意 X P(4),则(1)PX4444e 4!0.1954.(2)PX33 4ke 0 k!0.4335 .(3)PX64k e k 6 k!k4 4 e k!1 0.7852 0.2148.11.PX040一e 0!0.0183.设连续型随机变量X的密度函数

8、为Ax 0 x 1f(x)0 其他求(1)常数 A； (2) P0X 0.5; (3) P0.25 X 2.,一1A 2 A 3 A解：(1) f(x)dx Axdx x 一(1 0) 一 1 02022解得：A 2密度函数为:f(x)2x00 x 1其它0.5(2) P0 X 0.5° f (x)dx0.52 0.52xdx x000.25.(3) P0.25 X 2 P0.25X 1 P1 X 2122xdx 0dx 0.9375 0.25112.设随机变量X的分布函数为F(x)1 (1 x)ex x 00x 0求相应的密度函数，并求PX 1.解：因为F (x) f(x),知随机

9、变量 X的密度函数为f(x)1 (1 x)e x , x 0xxe所以PX-1一1 F(1) 1 (1 1)e1 2e13.设随机变量X具有概率密度f(x)3xKe（1）试确定常数K求P(X0.1)；解：（1）由于f (x)dx 1 ,f (x)dx =Ke3xdx0,(3)Ke求 F(x).3 xKd ( 3x)e 33x得K3.于是X的概率密度f(x)3e 3x(2) P(X0.1)0.1f(x)dx=0.1（3）由定义F(x)= f (t)dto 当 x0,3eF(x)= f(t)dt =3x .dx0.7408;0时，F(x)=0;当 xx o 3x , 3e dx3x1 e0时,3x

10、 e所以F(x)14.若随机变量在（1,6）上服从均匀分布,试求关于t的方程t210有实根的概率是多少?22解：万程t t 1 0有实根的条件是由于 在（1,6）上服从均匀分布，其密度函数为f(x)6,其它.所以有实根的概率为P2 P 261dx250.8.15.某类日光灯管的使用寿命X （单位：小时）服从参数为2000 1的指数分布.问任取一只这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率.解：使用寿命 X的密度函数为:f(x)12000 1x八2000 e , x 0,0,x 0.12000 1 x .2000 1x .0.5所以 Px 1000 iooq2000 e dx e|1000 e

11、 0.607.16.设XN(3,22),(1)求 P2 X 5, P 4X 10, P| X | 2, PX 3；(2)试确定c使得PX c PX c;(3)设d满足PX d0.9 ,问d至多为多少?一.5 32 3解：(1) P2 X 5(5-3)(2-3)(1)( 0.5) 0.5328,、10 34 3P 4 X 10()()(3.5)( 3.5) 0.9996,P| X | 2 PX 2 PX 2( 2.5) 1( 0.5) 0.6977 ,PX 3 1 Px 3 1(0) 0.5.(2)由题意可知(3)因为PX_ .一 一 c 3PX c PX c 0.5,即(J) 0.5,查表可知

12、 c 3. 2d 0.9PfX- 0.9 可知(3_J) 0.1 得222X 3 )0.120.9,查表可知 (1.29) 0.90150.9 ,所以 d 0.42.17.标准普尔中公司股票的价格(单位：美元)服从30,8的正态分布，问(1)某公司股票价格至少为 40美元的概率是多少？(2)某公司股票价格不超过 26美元的概率是多少？(3)若公司股票价格排名位于全部股票的前10%,则公司股票至少应达到多少？解：设股票价格为 X ,由题意可知 X N(30,82),(1) PX 40 1 PX 40 1(40 30) 1(1.25) 0.1056.826 30(2) PX 26( 6)(0.5)

13、 0.3085.8k 30(3)可设股票价格为k美元，由题意知PX k 0.9,即(一30) 0.9,杳表8可知(1.29) 0.9015 0.9,所以 k 40.3218.设离散型随机变量 X的分布列为X 21012P 00000.1.2.3.3.1求(1) Y 3X1的分布列；(2) Z 2X2的分布歹U.解：(1)Y52 147P 00000.1.2.3.3.1(2)19.设随机变量解:由题意可知Z028P0.30.50.2X服从(0, 2)上的均匀分布，求随机变量3Y X的概率密度函数.X的概率密度为f(x)1 -,0x2, 20,其它.函数y3g(x) x ,其值域为0,8,单调且有

14、唯一反函数h(y) 两，y 0,8；且,、1一一一，h (y) ,得Y的概率留度函数为33 y220.解:fY(y)设随机变量由题意可知112 33y2, 00, 其它.X E(2),求 YX的概率密度为x 8,f(y)的概率密度.1 6y0,0 y 8,其它.f(x)2x2e , x 00, x 0函数yg(x) ex,其值域为1,),单调且有唯一反函数 xh(y) ln y , y 1,);1且x h (y) y .得Y的概率留度函数为f(y)2e2lny y 1, y 1,0, 其它.f(y)2y3, y 0,0，其它.21.设X N（0,1）,求（1） Y 2X2 1的概率密度；（2）

15、求Z |X|的概率密度.解：（1）先求Y的分布函数2Fy（y） .注意到Y 2X2 1的值域是当 y 1 时，FY（y）py yp 0当 y 1 时，FY（y）PY y2P2X 1y(y 1)/2(y 1)/2Py 1 x X2再用求导的方法求出(y 1)/2(y 1)/2 fX(x)dxX2e 2 dxY的密度函数fY(y) Fy(Y)2、(y 1)0(y 1)e 4 , y 1,（2）先求Z的分布函数Fz（z） .注意到| X |的值域是Z0,因此,当 z 0时，FZ(z)pzz P 0.当 z 0时，FZ(z)pzz P| X | zPz X z再用求导的方法求出fZ(z)zz fX(x

16、)dxZ的密度函数z2e 2, z0,其它.ze 2 dxzf(x)2ez22z 0,其它.第2章自测题与答案(满分100分，测试时间100分钟)一、 填空题(本大题共 10个小题，每小题2分，共20分)1 .随机变量 X的分布函数F(x)是事件的概率.2 .当a的值为 时，PX k a(2)k, k 1,2,L才能成为随机变量 X的分布列.3.已知离散型随机变量 X的概率分布如下表X123P0.20.30.5则概率 PX 3 , PX 2 .4 .设随机变量 X服从0,10上的均匀分布，则 P2 X 5 .5 .设离散型随机变量 X : B(2, p),若PX 1 -9 ,则p .256 .

17、已知连续型随机变量 X : N(3,9),若概率PX a PX a,则常数a 7 .已知连续型随机变量X : E(),若PX 1 0.05 ,则 .58 .设随机变量 X B(2, p),Y B(4, p),若 PX 1 5 ,则 PY 1 90, x 011 39.已知连续型随机变量X的分布函数是F(x) x3 , 0 x 3,则271, x 3PX 2 , P 1 X 1 10.设随机变量 X N (2,8)，则Y 5X 1服从 分布.答案：1. PX x ; 2. 0.5;3. 0.5,0.8;4. 0.3;5. 0.6;6. 3;7. ln0.95;8. 65; 9.色，工；10. N

18、( 9,200).812727二、单项选择题(本大题共5个小题，每小题2分，共10分)1 .下面哪一个符合概率分布的要求()xxA. PX x -(x 1,2,3)B. PX x -(x 1,2,3)64|0.752分xC. PX x -(x 31,1,3)2xD. PX x (x81,1,3)2.设随机变量X N(2),其概率密度的最大值为(A. 0B.C.2D. (212) 23.设连续型随机变量的分布函数是 F(x),密度函数是f(x),则PX x(A. F(x)B. f(x)C. 0D.以上都不对4.若函数y f(x)是一随机变量X的概率密度，则()一定成立.a. yf(x)的定义域为

19、0,1;b. yf(x)非负;c. yf(x)的值域为0,1;d. yf(x)在()内连续.5.设随机变量X2 一一 N(,)，则随的增大,概率PA.单调增大；答案：1. A 2, D 3. 三、计算题(本大题B.单调减小；C.保持不变；D.增减不定.1.已知随机变量C 4. B 5. C5个小题，每小题10分,共60分) P(),PX 00.4 ,求参数，并求 P X 2.解：由题意知PX00-e 0!0.40.4ln 2.5,所以P X 2PX0PX12.设随机变量1PX - 0.75,解:0.4ln 2.510.40.2335X的分布密度函数为f(x)kxbx 1,(bf(x)dxkxbdx k(b1 b1) x110其它1k(b 1)0*。)，且1PX20.7511 kx dx k(b 1) x21|0.50.751b 1k(b 1) 1 (0.5)综上两式可推出 k 2,b 1|3 .某大学学生入学数学成绩X(分)近似服从正态分布 N (65,102).求数学成绩在85分以上的学生占大学新生的百分之几？6分4分2分2分解