第4章流体动力学

1、实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)(dxdydzdtxudmdmMxxxx)(流体运动的连续性方程同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtzuMzz)(dt时间内，控制体总净流出质量：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(udivt连续性方程的微分形式不可压

2、缩流体即0udivc0zuyuxuzyx例：已知速度场 此流动是否可能出现？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现0)2(2)2(2txxt例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44 积分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(42.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则dtQdtQ2211222111AvAv连续性方程的积分形式不可压缩流体2

3、1QQ c2211AvAv分流时合流时iQQQQi2211QQ不可压缩平面流场满足连续性方程：0yuxuyx即：yuxuyx由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件dxudyudyx函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函数的主要性质：（1）流函数的等值线即是流线；c0d0dxudyuyxyxudyudx证明：流线方程（2）两条流线间通过的单宽流量等于两流函数之差；证明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性

4、方程？是否无旋流？解：022xxyuxuyx（1） 满足连续性方程021yuxuxyz（2） 是无旋流流体的运动微分方程1.理想流体运动微分方程（1）平衡微分方程01xpX01ypY01zpZ01pf（2）运动微分方程dtudpf1欧拉运动微分方程分量式xpX1zuuyuuxuutuypYyzyyyxy1zuuyuuxuutuzpZzzzyzxz10zuyuxuzyx常与连续性微分方程联立uutuzuuyuuxuutuxzxyxxx（1）（2）（3）2.粘性流体运动微分方程（粘性作用切应力）uutudtudupf21纳维-斯托克斯方程（N-S方程）分量式zuuyuuxuutuuxpXxzxyx

5、xxx21zuuyuuxuutuuypYyzyyyxyy21zuuyuuxuutuuzpZzzzyzxzz21元流的伯努利方程1.理想流体元流的伯努利方程（1）推导方法一dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx只有重力不可压缩恒定流gdzpddp1222222uduuudzyx将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、dz，并相加022udpdgdzcupgz22cgugpzgugpz2222222111dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx积分（3）物理意义单位重量流体的总势能（m）gpzgu

6、22单位重量流体的动能（m）位置水头+压强水头速度水头单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）cgugpz222.粘性流体元流的伯努利方程2222222111whgugpzgugpz能量守恒3.方程适用范围恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流4.应用：皮托管测流速gpgugp2212gpgph12ghcghu22h12c毕托管修正系数（11.04）总流的伯努利方程1.总流的伯努利方程元流的伯努利方程推导：2222222111whgugpzgugpz两边同乘以gdQ，积分gdQhgugpzgdQgugpzw2222222111（1）势能积分gdQgpz（2）动能积分dAugggudAgugdQgu

7、3222122gQgvgAgv2223AvdAu33动能修正系数层流=2紊流=1.051.11ppzgdudAzgQgg（3）水头损失积分gQhgdQhwwwhgvgpzgvgpz222222221111总流的伯努利方程总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2断面的平均流速2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程wihHgvgpzHgvgpz02222221111223.有分流（或汇流）的伯努利方程212222211122whgvg

8、pzgvgpz312333211122whgvgpzgvgpz1122334.水头线总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线水流轴线水流轴线基准线基准线例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程whgvH20022smhHgvw/43. 422smAvQ/35. 0322作水头线H112200总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线2221AvAv连续性方程gpzgpzgddv22114211211能量方程（忽略损失）gvgpzgvgpz

9、2222222111例 文丘里流量计gpzgpzgdddAvQ22114212111214仪器常数KhhKQ流量系数（0.960.98）hK动 量 方 程解决流体与固体壁面的相互作用力1.动量方程控制体内流体经dt时间，由-运动到-，元流经dt时间，由1-2运动到1-2元流动量方程：Fd112211112222111222udAuudAuudQudQ总流动量方程：11112222udAuudAuFd111122221111122222vQvQvAvvAvFAvdAu22动量修正系数层流=1.33，紊流=1.05-1.021不可压缩流体：211122vvQF分量式：xxxvvQF1122yyyv

10、vQF1122zzzvvQF1122适用范围：恒定流、不可压缩流体2.例：一水平放置的弯管，管内流体密度，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角，不计流动损失，求弯管所受流体作用力解：a.取1-1、2-2以及管流与管壁接触的流面作为控制面b.画控制体的受力图：c.连续性方程：d.能量方程（z1=z2=0）：gvgpgvgp22222211 p1A1、p2A2、FFx，Fyv1A1=v2A2v1v2p1p21122FxFyFf.解出Fx、Fyg.根据作用力与反作用力，弯管受力F与F大小相等，方向相反e.动量方程:x0sinsin:222vQFApyy22yxFFFxyFFt

11、gv1v2p1p21122FxFyF122211coscosvvQFApApx注意：1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑；2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负；3.牛顿第三定律例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、v2，求螺栓组受力解：（a）取1-1、2-2断面及管面为控制面（b）受力图p1A1，F注意：（1）p2=0；（2）螺栓是作用在管壁上，不是作用在控制体内，千万不可画！dDv2v1p1F1122（d）能量方程（e）动量方程（f）解出F（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F与F大小相等、方向相反1211vvQFAp（c）连续性方程dDv2v1p1F1122例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0，流量Q，密度，求挡板受射流作用力解：a.控制体b.受力图：F注意：p1=p2=0c.动量方程（水平方向）：00vQFd.牛顿第三定律Q、v0F222211讨论：1.如果射流在斜置光滑挡板，求挡板受力和Q1、Q2a.F挡板b.列挡板法线方向的动量方程：c.能量方程：sinsin000QvvQFgvgv222120gvgv222220021vvvQ、v0Q2、v2Q1、v1F牛顿第三定律Q、v0d.连续性方程：e.列挡板方向的动量方程：由c、d和e解出Q1、Q2022110QvvQvQQ1+Q2=QQ2、v2Q1、v1F2.