2414（1）圆周角定理

1、钦州三娘湾钦州三娘湾BACD球门球门足球训练场上教练在球门足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图，甲、防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员分别在乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，两处，他们争论不休，都说在自己所在位置对球都说在自己所在位置对球门门AB的张角大，如果你的张角大，如果你是教练，请评一评他们两是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门个人谁的位置对球门AB的张角大？的张角大？ 数学思考数学思考 导入新课导入新课思考：（思考：（1）在这个实际情境中，出现）在这个实际情境中，出现ADB和和ACB，它是不是圆心角，它是不是圆心角?它有它

2、有什么特征什么特征?（2）你能仿照圆心角的定义给圆周角下）你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗个定义吗? 复习旧知：圆心角下定义复习旧知：圆心角下定义顶点在圆心的角叫圆心角。顶点在圆心的角叫圆心角。能仿照圆心角的定义，能仿照圆心角的定义， 给下图中象给下图中象ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？顶点顶点在在圆圆上，并且上，并且两边两边都和都和圆相交圆相交的角叫做的角叫做圆周角圆周角 问题探讨：问题探讨：判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的PP是否为圆周角？并说明理由。是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不顶点不在圆上。在圆上。顶点在圆上，

3、顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。交。两边不和两边不和圆相交。圆相交。有一边和圆有一边和圆不相交。不相交。如图，请画出弧如图，请画出弧BCBC所对的圆心角，然后再画同弧所对的圆心角，然后再画同弧BCBC所对的圆周角，你能画多少个所对的圆周角，你能画多少个同一条弧同一条弧所对的圆心所对的圆心角？多少个圆周角？角？多少个圆周角？ O C B小组讨论交流小组讨论交流四人一小组，根据下面的四个问题互相交流。四人一小组，根据下面的四个问题互相交流。1 1、量一量你所画的圆周角的度数，有何发现？、量一量你所画的圆周角的度数，有何发现？2 2、量一量你所画的圆心角的度数，又有何发现？、量一量你所画的圆心角

4、的度数，又有何发现？3 3、你得出了什么猜想？、你得出了什么猜想？4 4、你又是怎样验证你的猜想呢？、你又是怎样验证你的猜想呢？交流讨论后，学生代表说出本小组的猜想交流讨论后，学生代表说出本小组的猜想. .猜想猜想1 1：同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角_猜想猜想2 2：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的_。一半一半相等相等猜想：猜想：同弧所对的同弧所对的圆周角相等，圆周角相等，都等于这都等于这条弧所对的条弧所对的圆心角圆心角的一半的一半. . O C B圆心在一边上圆心在一边上圆心在角内圆心在角内圆心在角外圆心在角外圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系圆

5、周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 1 1. .首先考虑第一种情况：首先考虑第一种情况： 当当圆心圆心O O在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .nBOCBOC是是ACOACO的外角，的外角，nBOC=C+A.BOC=C+A.nOA=OCOA=OC，nA=C.A=C.BOC=2A.BOC=2A.即即 BAC = BOC.BAC = BOC.21期望期望: :你你可要理解可要理解并掌握这并掌握这个模型个模型. .圆心在一边上圆心在一边上此时印证：此时印证：同弧所对的同弧所对的

6、圆周角相等，圆周角相等，都等都等于这条弧所对的于这条弧所对的圆心角圆心角的一半的一半. .联联想想一面三角旗一面三角旗 第二种情况：第二种情况：如果圆心不在圆周角的如果圆心不在圆周角的一边上一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ? 2.2.当当圆心圆心O O在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关的大小关系会怎样系会怎样? ?n提示提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点A A作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : BAC = BOC.BAC = BOC.21DnBAD = BOD,

7、CAD = COD,BAD = BOD, CAD = COD,2121圆心在一边上圆心在一边上圆心在角内圆心在角内此时再印证：此时再印证：同弧所对的同弧所对的圆周角相等，圆周角相等，都都等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心角圆心角的一半的一半. .联联想想两面三角旗两面三角旗OABC 圆心在圆心在BAC的外部的外部.D作直径作直径AD.由于由于DAB= DOB12DAC= DOC，12所以所以DAC-DAB= （DOC-DOB）12即即BAC= BOC12第三种情况：第三种情况：此时又印证：此时又印证：同弧所对的同弧所对的圆周角相等，圆周角相等，都都等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心角圆心角

8、的一半的一半. .联联想想两面三角旗两面三角旗叠成叠成在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个在同圆或等圆中，如果两个圆周角圆周角相等，它们所对的相等，它们所对的弧弧一定相等一定相等 O F B A C E G圆周角定理：圆周角定理： 在在同圆或等圆同圆或等圆中中 , ,同弧或等弧同弧或等弧 所对的所对的圆周角相等圆周角相等， 都等于这条弧或都等于这条弧或等弧所对的等弧所对的 圆心角圆心角的的一半一半； 在同圆或等圆中，相等的圆周角在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的所对的弧弧也也

9、相等相等。 图 23.1.10 ACB= ； ADB= ； = . 如图：则有如图：则有AOB21AOB21ACBADB解决问题：解决问题： BACD球门球门O以圆心角以圆心角 AOB为桥为桥梁易证梁易证C、D相等。相等。也就是也就是C、D两地对球两地对球门的张角一样大。门的张角一样大。 尝试应用尝试应用判断正误：判断正误：1、同弦或等弦所对的圆周角相等、同弦或等弦所对的圆周角相等.（ ）2、同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角相等.（ ）3、相等的圆周角所对的弧相等、相等的圆周角所对的弧相等.（ ） 小结：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆

10、周角相等或互补相等或互补。练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_.OABC1.求圆中角求圆中角X的度数的度数BAO.70 x CAO.X120 C D B3.如图1，把一个量角器放置在BAC的上面，请你根据量角器的读数判断BAC的度数是（ ）A30B60C15D2013035120C如图，弦AB的长等于 O的半径，点C在 O上，则C的度数是_.OOC CB BA A30解题关键：解题关键：已知圆心角或圆周角，常已知圆心角或圆周角，常通过作辅助线构造同弧所通过作辅助线构造同弧所对的圆心角来解决问题。对的圆心角来解决问题。图图11235647如图如图1 1所示，所

11、示，1+2+3+4+5=_1+2+3+4+5=_180解题关键：解题关键：已知圆周角，常通过作辅已知圆周角，常通过作辅助线构造同弧所对的圆周助线构造同弧所对的圆周角。角。ABCD已知：已知：求证：求证：ABCD则则 D=AABCD如图如图, 若若 AC = BD 如图如图, 若若 AC = BD 证明：证明：(1)(1)一个概念一个概念（圆周角）（圆周角） 内容小结：本节课你有什么收获或疑问？内容小结：本节课你有什么收获或疑问？(2)一个定理一个定理： (4)两种思想两种思想：分类思想、转化思想分类思想、转化思想 同圆或等圆中同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的，同弧或等弧所对的 圆周角相等，等于该圆周角相等，等于