难题攻克之奇偶性与单调性专题复习进程

1、难题攻克之奇偶性与单调性专题难题攻克之奇偶性与单调性专题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函 数与奇偶函数的图象.难点磁场(1)求a的值；(2)证明:x()设aO,f(x)=e 字是R上的偶函数, a ef(x)在(0, + g)上是增函数.案例探究1例1 已知函数f(x)在(一1, 1)上有定义，f(-)=- 1,当且仅当0x1时2X y f(x)0,且对任意 x、y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)=f()，试证明：1 xy (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.命

2、题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能 不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x= y是解题关键；对于(2)，判定竺的范围是焦点.1 x1 x2证明：由 f(x)+f(y)=f( 一)，令 x=y=O,得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f( 1 xyx xx)=f()=f(0)=0. f(x)= f(x).A f(x)为奇函数.1 x(2)先证f(x)在(0, 1)上单调递减.令 0VX1VX

3、2V1则 f(X2) f(X1)=f(X2) f( X1) = f( )1 X1X2T 0VX1VX20,1 X1X20,._0,1 x2x1又(X2 X1) (1 X2X1) = (X2 1)(X1 + 1)0X2 X11 X2X1,02 土1,由题意知 f(-X2 勺)0,1 x2x11 x1 x2即 f(X2)f(x1). f(x)在(0, 1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. f(x)在(一1, 1)上为减函数.例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(一 ,0)内单调递 增，f(2a2+a+1)vf(3a2 2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数 y=(

4、!)a2 3a1的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数 单调性的判定方法.本题属于级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问 题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考 与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0X1X2,则一X2 X10，T f(x)在区间(一X ,0)内单调递增， f( X2)f( X1), T f(x)为偶函数， f( X2)=f(X2),f( X1) = f(X1), f(X2)f(X1).

5、 f(x)在(0，+x)内单调递减.又2a2 a 12(a1)280，3a2 2a 13(a1)2 I 0.由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3.又 a2-3a+仁(a_ -)2-5.241 23函数y=( -)a 3a 1的单调减区间是一，2 2结合0a3，得函数y=( -)a2 3a 1的单调递减区间为-,3).2 2锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1) 判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、 合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场

6、”及“训 练”认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌 握基本函数.(2) 加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展 开研究奇偶性、单调性的应用歼灭难点训练一、选择题()下列函数中的奇函数是()A.f(x)=(x-1) X 1 1 xB.f(x)=lg(1|x2x2)2| 2_ 1 si n x cosx1 cosx sinxC.f(x)=X2 x(x 0)2x2 x(x 0)?.()函数 f(x)= )若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x“=f(X2)=0 (0X11).x 1 证明：

7、函数f(x)在(一1, +x)上为增函数. X x 1 的图象()Ji x用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.36. ( )求证函数f(x)=2x2在区间(1, +x)上是减函数.(x 1) X 1A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题(i)f(x1 x2) =f(X1)f(X2)1f(X2) f(X1)3. ( )函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1) f(x)是奇函数.(2) f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.( )已知函数f(x)的定义域为 R ,且对

8、m、n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f( n) 1,且1 1f( - )=0,当 x-时，f(x)0.(1) 求证：f(x)是单调递增函数；(2) 试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切ex x R,有 f(x)=f( x),即 a1x ae+aex.整理，得(aAA)=0.因此，有 a - =0,即卩 a =1,又 a0,：a=1ea证法- 设0 vx1vx2,贝 Uf(x1)f(x2)=eX1eX21x2(eX2eeX1)( 1 1)eX1e )( X1 X21)e 1eX1(eX2 X11)1X1 X2 ei丿X1 X2 e由 X1O,X2

9、O,X2X1,二 ex2 x1 1 0,1 ex1 x2 v 0,I f(X1) f(X2)V 0,即 f(X1)V f(X2) f(x)在(0,+g)上是增函数证法二：由 f(x)=eX+e x，得 f (x)=eX e x=e x (e2x 1).当 x (0,+g)时,e x0,e2x 10.此时f (x)0所以f(x)在0，+g)上是增函数.歼灭难点训练1.解析:2f( x)= X XX2 X(X 0)(X 0)(x2 x)(x2 x)(X 0)(x 0)=f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f( x)= f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：

10、令t=|x+1|,则t在( ， 1上递减，又y=f(x)在R上单调递 增， y=f(|x+1|)在(，1上递减.答案：(一， 14. 解析:T f(0)=f(xi)=f(x2)=0,二 f(O)=d=O.f(x)=ax(x xi)(x x2)=ax3 a(xi+X2) +axix2x, b= a(xi+x2),又 f(x)在X2,+s )单调递增，故a0.又知 Ov xi v x,得X1+X2O, b= a(xi+x2)v 0.答案：(s ,0)三、5.证明：(1)设一1 vxiv x2V +s，则 x2xi0, ax2 xi 1 且 axi 0,- ax2 ax1 ax1(ax2 x1 1)

11、 0,又 X1+10,X2+10.X22X12(X22)(X11)(花2)(X21)3(X2X1)0x2 1 x1 1(x1 1)( x2 1)(x1 1)(x2 1)于是 f(X2) f(x1)= aX2 aX1 + X22 0x2 1x1 1 f(x)在(1，+ s)上为递增函数.(2)证法一：设存在 X0V0(X0 1)满足f(x0)=0,则aX0汇二 且由0v aX0X01v 1得0v仏二v 1,即-vX0v2与x0v0矛盾，故f(x)=0没有负数根.X012证法二：设存在 X0V 0(X0M 1)使 f(x0)=0,若1v X0V 0,则v 2,aX0X01v 1,.f(x0)v 1

12、 与 f(x0)=0 矛盾，若 X0V 1,则 红二 0, aX00，. f(x0)0 与 X0 1f(xo)=O矛盾，故方程f(x)=O没有负数根.6证明1 XM 0,二 f(x)= ( 22(X 1)1XcX1 2 1p4X11 2x(1 )X1 V X1 X2f(X2),故函数f(x)在(1 , + g)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)7.证明(1 )不妨令 X=X1X2,贝 U f(X)=f(x2f(X2)f(X1)1f(Xj fg)f(X1)f(X2)1f(X2) f(Xj=f(X1 X2)= f(x). f(x)是奇函数.(2)要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a).T f(x+a)=f x ( a)f( a)f(x) 1f( a) f( x)f(a)f(x) 1f(a) f(x)f(x)f(x)11(f(a)1).f (x 2a) f (x a) af (x a) 1f(x a) 1f(x) 1 1f(x) 1f(x) 1 1f(x) 11f (x). f(x+4a)=f (x+2a)+2a1f(x扃=伦)故f(x)是