声与振动基础课件

1、主要内容主要内容概论概论概论概论2. 2. 振动与声波（振动与声波（sound wavessound waves） 声波是传声介质质点运动状态的传递。声波是传声介质质点运动状态的传递。 机械振动机械振动：质点围绕其：质点围绕其平衡位置进行的往返运平衡位置进行的往返运动。动。概论概论机械振动系统，机械振动系统，至少应有下面两个要素至少应有下面两个要素（1 1）惯性（质量）；）惯性（质量）；（2 2）质量受到恢复力作用。）质量受到恢复力作用。 ( (恢复力，总是指向平衡位置的力恢复力，总是指向平衡位置的力) )概论概论机械振动系统分类机械振动系统分类集中参数系统集中参数系统分布参数系统分布参数系统

2、集中参数系统集中参数系统:把机械振动系统中的物体视把机械振动系统中的物体视为只有质量或只有弹性的元件。为只有质量或只有弹性的元件。分布参数系统分布参数系统:振动系统中的每一部分都有振动系统中的每一部分都有质量、弹性、消耗能量的性质。质量、弹性、消耗能量的性质。弹簧振子弹簧振子振动着的鼓膜振动着的鼓膜概论概论概论概论单自由度系统单自由度系统两自由度系统两自由度系统多自由度系统多自由度系统自由度自由度: :描述集中参数系统振动过程所用的描述集中参数系统振动过程所用的 独立变量。独立变量。1.11.1、单自由度机械系统、单自由度机械系统的的自由振动自由振动 一、无阻尼自由振动一、无阻尼自由振动二、阻

3、尼自由振动二、阻尼自由振动一、无阻尼自由振动一、无阻尼自由振动v1 1、振动方程、振动方程v2 2、振动的一般规律、振动的一般规律v3 3、振动的速度和加速度、振动的速度和加速度v4 4、振动的能量、振动的能量 振动系统元件：振动系统元件：钢球：钢球：质量元件质量元件，质量，质量 m m弹簧：弹簧：弹性元件弹性元件，弹性系数，弹性系数 D D1 1、振动方程、振动方程 虎克定律虎克定律：弹性力与：弹性力与弹簧两端的相对位移大弹簧两端的相对位移大小成正比，而力的方向小成正比，而力的方向和位移的方向相反。和位移的方向相反。（弹簧在弹性限度内）（弹簧在弹性限度内） Dxfy1 1、振动方程、振动方程

4、D弹性系数弹性系数 ：在数值上等于弹簧产生单位：在数值上等于弹簧产生单位长度变化所需作用力的大小长度变化所需作用力的大小柔顺系数柔顺系数 ：表示弹簧在单位力作用：表示弹簧在单位力作用下能产生的位移的大小下能产生的位移的大小DCM11 1、振动方程、振动方程牛顿第二定律牛顿第二定律：22dtxdmFN1 1、振动方程、振动方程Dxdtxdm22mD01 1、振动方程、振动方程根据弹力与牛顿力平衡原理，根据弹力与牛顿力平衡原理，得出得出m m运动的微分方程运动的微分方程令令 振动圆频率（角频率）振动圆频率（角频率）运动方程写为运动方程写为02022xdtxd求解这个齐次二阶常微分方程可以得求解这个

5、齐次二阶常微分方程可以得到自由振动的一般解。到自由振动的一般解。1 1、振动方程、振动方程特征方程：特征方程： 得到得到所以，方程的解为：所以，方程的解为：02020jtjtjeBeAtx00)(其中，其中， ， 为复常数，决定于初始条件；为复常数，决定于初始条件；而，而， 由系统参数（由系统参数（m m，D D）决定，与初始条件无关。）决定，与初始条件无关。AB02 2、振动的一般规律、振动的一般规律 式中，式中， 为两个待定常数，由为两个待定常数，由运动的运动的初始条件初始条件来确定。来确定。 tCtCtx0201sincos21, CC2 2、振动的一般规律、振动的一般规律如果，关于如果

6、，关于 的初始条件为实数，的初始条件为实数，则则 的另一种表示：的另一种表示：)(tx)(tx数学基础数学基础 tjtetj00sincos0tjtetj00sincos02 2、振动的一般规律、振动的一般规律sin,cos21ACAC )cos(sincos00201tAtCtCtx2 2、振动的一般规律、振动的一般规律)(tx令令表示为：表示为：其中，其中，C C1 1，C C2 2；或；或A A，由初条件确定由初条件确定无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。所谓简谐振动（谐合振动）是指正弦或余弦所谓简谐振动（谐合振动）是指正弦或余弦振动。振动。

7、结论：结论：2 2、振动的一般规律、振动的一般规律)cos(sincos)(00201tAtCtCtxu此振动的此振动的周期周期为：为： ； 单位单位secsecu此振动的此振动的频率频率为：为： ； 单位单位1/s1/s，称作赫兹，称作赫兹, ,记记 HzHzu 称作角频率，单位为：弧度称作角频率，单位为：弧度/ /秒秒 02T2100Tf02 2、振动的一般规律、振动的一般规律2 2、振动的一般规律、振动的一般规律0f 为系统的固有角频率。为系统的固有角频率。 系统的固有频率仅由系统参数决定，与初始条件无关。系统的固有频率仅由系统参数决定，与初始条件无关。MmCmDf12121200定义：

8、定义：固有频率固有频率(natural (natural frequency )frequency )，振动系统自由振动时的振动系统自由振动时的频率为该系统的固有频率，记：频率为该系统的固有频率，记： 2 2、振动的一般规律、振动的一般规律002/fmD21,CC初始条件初始条件 解得解得01xC 002vC 由初始条件决定由初始条件决定 00 xtxt00vdtdxt2 2、振动的一般规律、振动的一般规律2 2、振动的一般规律、振动的一般规律得到特解得到特解 tvtxtx00000sincos第一项表示由第一项表示由初始位移初始位移引起的振动位移；引起的振动位移；第二项表示由第二项表示由初始

9、振速初始振速引起的振动位移。引起的振动位移。 二者振动相位差为二者振动相位差为9020020vxA0001tgxv2 2、振动的一般规律、振动的一般规律)tancos()(sin)cos()(000102002000000 xvtvxtvtxtx令令)cos()(0tAtx u无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。u无论怎样的初始激发条件，系统的振动频率无论怎样的初始激发条件，系统的振动频率始终等于固有频率（小振幅振动）。固有频始终等于固有频率（小振幅振动）。固有频率决定于系统的参数。率决定于系统的参数。u由初始位移引起的振动位移和由初始振速引由初始位

10、移引起的振动位移和由初始振速引起的振动位移的相位相差起的振动位移的相位相差2 2、振动的一般规律、振动的一般规律90总结：总结：3 3、振动速度、加速、振动速度、加速度度已知位移已知位移（ ） 3 3、振动速度、加速度、振动速度、加速度质点质点m m作自由振动时，位移为作自由振动时，位移为瞬时速度瞬时速度瞬时加速度瞬时加速度 tAtx0cos tAdtdxtv00sin tAdtxdta02022cos位移、速度、加速度的区别与联系位移、速度、加速度的区别与联系3 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度相位关系：相位关系：u速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前u加速度的相位比速

11、度的相位超前加速度的相位比速度的相位超前u加速度和位移恰好反相加速度和位移恰好反相223 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度位移、速度、加速度的区别与联系位移、速度、加速度的区别与联系幅度关系幅度关系位移振幅位移振幅振速振幅振速振幅加速度振幅加速度振幅A位移、速度、加速度的区别与联系位移、速度、加速度的区别与联系A0A203 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度对于谐合振动，可以引入复数表示：对于谐合振动，可以引入复数表示：若若则称：则称： 为为 的复数形式。的复数形式。前面的谐合位移、振速、加速度的可用前面的谐合位移、振速、加速度的可用复数形式表示。复数形式表示。)(Re()(txtx

12、)(tx)(tx3 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度 20000tjtjAeAejtv 202000tjtjAeAeta tjAetx03 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度复数位移复数位移复数振速复数振速复数加速度复数加速度 用复平面上旋转复矢量表示谐合振动：用复平面上旋转复矢量表示谐合振动： 前面的谐合位移、振速、加速度在复平面上的旋前面的谐合位移、振速、加速度在复平面上的旋转矢量表示：转矢量表示：3 3、振动速度、加、振动速度、加速度速度 4 4、振动的能量、振动的能量系统不受外力作用，为能量守恒系统，它决定系统不受外力作用，为能量守恒系统，它决定于初始激发时所给予的能量，但在

13、系统内，能于初始激发时所给予的能量，但在系统内，能量会转换。量会转换。动能和势能的转换动能和势能的转换振动质量的振动质量的动能动能（kinetic energykinetic energy）：）： tmAtvmek022022sin21214 4、振动的能量、振动的能量 tAdtdxtv00sin弹簧形变的弹簧形变的势能势能（potential energypotential energy）：决）：决定于弹簧形变过程只能够得到的形变能，也等定于弹簧形变过程只能够得到的形变能，也等于于m m运动时克服弹性力所作的功。运动时克服弹性力所作的功。 tDAtxDdxtDxetxp02202cos212

14、14 4、振动的能量、振动的能量 tAtx0cos 22202020220222212121cossin212121mmvAmDAtDtmAtxDtvmE振动系统的总振动系统的总机械能机械能(mechanical energy )：4 4、振动的能量、振动的能量自由振动系统的能量关系自由振动系统的能量关系4 4、振动的能量、振动的能量 u无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。u无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与 弹簧上的势能相互循环转化的过程。弹簧上的势能相互循环转化的过程。总结：总结：4 4、振动

15、的能量、振动的能量二、阻尼自由振动二、阻尼自由振动v1 1、阻尼振动方程、阻尼振动方程v2 2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律v3 3、阻尼振动的能量、阻尼振动的能量v4 4、阻尼振动系统中的阻尼量的描、阻尼振动系统中的阻尼量的描述述 机械振动系统的振动若有阻力机械振动系统的振动若有阻力作用，则为阻尼振动系统。受作用，则为阻尼振动系统。受阻力的作用，系统能量损耗，阻力的作用，系统能量损耗，质量振速幅度减小，以致于振质量振速幅度减小，以致于振动停止动停止。系统在振动时始终会受到阻尼力系统在振动时始终会受到阻尼力（dampingdamping）的作用。）的作用。任何一个实任何一个实际机械振

16、动系统都是阻尼振动系际机械振动系统都是阻尼振动系统。统。1、阻尼振动方、阻尼振动方程程 声学上最简单的阻尼模型是牛顿声学上最简单的阻尼模型是牛顿阻尼（粘滞阻尼）即，阻尼（粘滞阻尼）即，阻力与元阻力与元件的振动速度成正比。件的振动速度成正比。 称为称为阻力系数阻力系数或或力阻力阻。dtdxRvRfmm阻mR1、阻尼振动方、阻尼振动方程程dtdxRDxdtxdmm22mD0mRm2022022xdtdxdtxd1、阻尼振动方程、阻尼振动方程定义定义 为阻尼系数为阻尼系数 阻尼振动方程是常系数的二阶齐次阻尼振动方程是常系数的二阶齐次微分方程，其一般解为微分方程，其一般解为 2 2、阻尼振动的一般规律

17、、阻尼振动的一般规律tteCeCx2121其中其中 是特征方程是特征方程的两个根。由此得的两个根。由此得21,20221,022022、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律（ 1 ）大阻尼振动）大阻尼振动阻力很大时阻力很大时则则 为实数，并且为实数，并且 202mDRm4221、0, 0212 2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律讨论：讨论：20221,因为因为tteCeCx2121其中每一项按其中每一项按指数规律衰减指数规律衰减。2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律初始条件不同时，位移初始条件不同时，位移 的变化规律不同。的变化规律不同。 tx讨论：讨论： 2、阻尼振动的一般规

18、律、阻尼振动的一般规律初始振速方向向下初始振速方向向下讨论：讨论：大阻尼振动大阻尼振动初始条件：初始条件： 0000,vtvxtxtt 2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律初始振速为零初始振速为零讨论：讨论：大阻尼振动大阻尼振动 0,000tttvxtx初始条件：初始条件： 2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律初始振速方向向上初始振速方向向上讨论：讨论：大阻尼振动大阻尼振动初始条件：初始条件： 0000,vtvxtxtt结论：结论：大阻尼时，大阻尼时， ，系统不，系统不会振动。会振动。2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律202（ 2 ）小阻尼振动）小阻尼振动阻力不大时阻力不大

19、时 202mDRm42jj22021,200220/12、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律讨论：讨论：则则其中其中将将 带入带入tjtjteCeCex21tetataxsincos2121,2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律tteCeCx2121得得写成三角函数式写成三角函数式讨论：讨论：上式还可写成上式还可写成其中其中 ， ， ttAteAxtcoscos022210aaA12tgaa teAtA02、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律表示振幅随时间衰减的振动表示振幅随时间衰减的振动讨论：讨论： 由系统参数决定，由系统参数决定， 由初始条件决定。由初始条件决定。,0Asin

20、,cos0201AaAa令令显然，显然， 并不是周期的，更谈不上是简谐的，但并不是周期的，更谈不上是简谐的，但一般，当一般，当 时（极小阻尼情况下），称时（极小阻尼情况下），称 为振幅随时间衰减的谐合（简谐）振动。为振幅随时间衰减的谐合（简谐）振动。（尽管为非周期的，但过（尽管为非周期的，但过0 0点间隔是一样的）点间隔是一样的） )(tx220)(tx2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律讨论：讨论：结论：结论：极小阻尼条件下，阻尼振动系统的极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。2、阻尼振动的一般规律、阻尼振动的一般规律结论

21、：结论：大阻尼时，系统不会振动。大阻尼时，系统不会振动。2203、阻尼振动系统的能量、阻尼振动系统的能量小阻尼单自由度条件下，振动系统的固有频率为：小阻尼单自由度条件下，振动系统的固有频率为：22002121fMDf21200而在极小阻尼条件下，而在极小阻尼条件下， 固有频率近似为：固有频率近似为： 0220)(21)(21)()()(22tDxtmvtetetEpk所以，有：所以，有：任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和任一时刻的总振动能为振动位能与势能的和,即：即：3、阻尼振动系统的能量、阻尼振动系统的能量)cos()()cos()cos()(0000ttAteAteAtxtt)cos(

22、)sin()()(00000teAteAdttdxtvtt位移位移:振速振速:teAtA0)(记记 ，则：，则：项）略去20022002022000020022022002002000022)(cos()( 2sin(1)(21)(cos)(21)cos()sin(2)(cos)(sin)(21)cos(21)cos()sin(21)(21)(21)()()(tttDAteADtttteAmteADtteAmtDxtmvtetetEttttpk3、阻尼振动系统的能量、阻尼振动系统的能量阻尼振动系统中总能量是随时间变化的，即使阻尼振动系统中总能量是随时间变化的，即使在一个周期内也是有起伏的。在一

23、个周期内也是有起伏的。 222121tvmtADtEm tAtveAtAmt00,取整个周期内能量的平均，得取整个周期内能量的平均，得式中式中 teDAtE220213、阻尼振动系统的能量、阻尼振动系统的能量3、阻尼振动系统的能量、阻尼振动系统的能量 阻尼振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减阻尼振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减阻力系数阻力系数 ： 最先引入最先引入 阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼）阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼） = =力力/速度速度 MKSMKS制中其单位：制中其单位：kgskgs-1-1（力欧姆）（力欧姆）4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼

24、量的描述mRvRfm阻mR阻尼系数阻尼系数 ：解方程时引入的；分解方程时引入的；分析 其 物 理 意 义 ： 在析 其 物 理 意 义 ： 在 时 ，时 ， 振子自由振动：振子自由振动：mRm2220)cos()()cos()(00ttAteAtxt00,)( teAtA)(ln(1)(00tAAteAtAt所以，所以，4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述小阻尼单自由度振动系统的自由振动是振幅随小阻尼单自由度振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的谐合振动。时间衰减的谐合振动。 是其振幅，是其振幅，teAtA0)(在在M.K.SM.K.S制中制中, ,单位单位 1S可见可见

25、 的物理意义为：小阻尼单自由度振动的物理意义为：小阻尼单自由度振动系统自由振动时，在单位时间内振幅相对变化系统自由振动时，在单位时间内振幅相对变化量的自然对数值。量的自然对数值。 愈大，即阻力愈大，振幅愈大，即阻力愈大，振幅 的衰减愈快的衰减愈快)(tA4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述对数衰减量对数衰减量 ：一个周期内振幅的对数衰减。一个周期内振幅的对数衰减。 0000000ln)(ln(1TAATTAATTmRm20022mfRmRTmm所以所以因为因为阻尼振子自由振动的振幅在一个周期内相对变化阻尼振子自由振动的振幅在一个周期内相对变化量的自然对数值为阻尼振子的对

26、数衰减量。对数量的自然对数值为阻尼振子的对数衰减量。对数衰减量无量纲。衰减量无量纲。4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述衰减模数衰减模数定义：阻尼振子自由振动，振幅衰减到原来定义：阻尼振子自由振动，振幅衰减到原来 倍时所需的时间，称作阻尼振子的衰减模数，倍时所需的时间，称作阻尼振子的衰减模数，记记 。在在M.K.SM.K.S制中，单位，制中，单位，SecSec e11111)()(000)(000eeAeAetAtAtt4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述品质因数品质因数 ：定义为振幅衰减到初始值定义为振幅衰减到初始值的的 所经过的周期数为品质因

27、数，即所经过的周期数为品质因数，即所以所以因为因为 所以所以mQ1e0000eAeAeATQATQmm00TQTQmmmmRmQ0mRm24、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振子的平均能量为：阻尼振子的平均能量为： 一个周期内损失的能量为：一个周期内损失的能量为：mQtTtteDAdttETtE22021)(1)()1 (21(21)()(000002220)(2220000TtTtteeDAeeDATtEtEE4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述 由系统的由系统的RmRm，m m，D D决定，反映了系统的性质，决定，反映了系统的性质，是系统

28、参数。是系统参数。分析分析 的物理意义的物理意义：mQ损失能量的相对值：损失能量的相对值：222)21 (1121)1 (2100222022200000mTtTtQTTeeDAeeDAEEQ Qm m值反比于阻尼振子自由振动时一个周期内振动能值反比于阻尼振子自由振动时一个周期内振动能量损失的相对值。量损失的相对值。 4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述 品质因数品质因数 是表征系统特性的常是表征系统特性的常数，其数值反映了系统所受阻尼作用数，其数值反映了系统所受阻尼作用的大小。的大小。 mRmQmQ4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼振动系统中的阻尼量的描述阻尼作用阻

29、尼作用 愈大，品质因数愈大，品质因数 愈低，愈低，振动衰减愈快。振动衰减愈快。阻阻尼尼振振动动的的衰衰减减规规律律实线实线描述质点位移随时间描述质点位移随时间t t变化的总规律，其振幅每隔变化的总规律，其振幅每隔一个周期都有一定降低；一个周期都有一定降低； 虚线虚线描述了振幅衰减规律。描述了振幅衰减规律。重点提示！重点提示！实际系统一般都是衰减系统，其原因在于系统中实际系统一般都是衰减系统，其原因在于系统中的阻尼力。的阻尼力。衰减振动方程为二阶常微分方程。衰减振动方程为二阶常微分方程。大阻尼时，系统不会振动。大阻尼时，系统不会振动。极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振极小阻尼条件下，阻尼

30、振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。幅随时间衰减的简谐振动。振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减。2-22-32-42-15*（选做）课后作业：课后作业：内容提要u一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解 1 1、无阻尼系统的强迫振动、无阻尼系统的强迫振动 2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动u二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程u三、强迫振动的稳态振动三、强迫振动的稳态振动 1 1、机械阻抗、机械阻抗 2 2、频率特性、频率特性 3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率一、强迫振动方程及其解

31、一、强迫振动方程及其解 一个振动系统受到阻力作用后振动不能一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使要使 振动持续不停，就要不断从外部振动持续不停，就要不断从外部获得能量。获得能量。外力作用下的振动外力作用下的振动- -强迫振动（受迫振动强迫振动（受迫振动) ) （forced vibration ） 无阻尼强迫振动示意图无阻尼强迫振动示意图谐合函数谐合函数正弦、余弦函数。正弦、余弦函数。1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解质量元件质量元件m m受两个作用力受两个作用力弹性力弹性

32、力外加推力外加推力 F FDx一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动运动方程式运动方程式tFFDxdtxdmcos022用复数表示：用复数表示： ，则运动方程化为：则运动方程化为：)(Re()(txtx)(Re()(tftftjeFtxDdttxdm022)()(（*）一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和。的齐次方程一般解

33、之和。 通解通解= =一般解一般解特解特解 txtxtx21其中：其中： 为方程为方程（* *）所对应的齐次方程的解（通解）所对应的齐次方程的解（通解） 为方程为方程（* *）的特解的特解)(2tx)(1tx一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动据前，方程据前，方程（*）的通解为的通解为：)(10)(tjAetxmD0（1-1节已解出）节已解出）其中其中一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 设方程设方程（*）特解的一般形式为特解的一般形式为 tjextx202一、强迫振动方程及其解一、强迫振动

34、方程及其解特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率 等于外力的频率。等于外力的频率。1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动tjeFtxDdttxdm022)()( 带入强迫振动方程带入强迫振动方程（*） tx2（*）得得mFx022020220020mFx所以方程的解为：所以方程的解为：tjtjemFAetx)()(2200)(0一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动所以，实际位移为：所以，实际位移为：tmFtAtxtxcos)()cos()(Re()(22000式中的式中的 和和 由初条件决定

35、。由初条件决定。A第一项：自由振动分量第一项：自由振动分量第二项：强迫振动分量第二项：强迫振动分量结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个 简谐振动的迭加。简谐振动的迭加。一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动0sin0cos02200AmFA0;2200mFA一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动求得求得带入上式得带入上式得取零初始条件取零初始条件 00ttx00tdtdx；零初始条件的振动位移零初始条件的振动位移三角变换三角变换 ttmFtx022

36、00coscos ttmFtx2sin2sin2002200一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 0000时时拍拍现象不明现象不明显显时时拍拍现象明现象明显显形成形成拍拍振振动动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的拍频振动规律无阻尼系统的拍频振动规律振动频率近似等于振动频率近似等于“振幅振幅”作慢周期变化，拍周期作慢周期变化，拍周期02一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动当当 tttmtFtx2sin22sin000000 tm

37、tFtxsin20一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动特例：当特例：当 时，振子振幅逐渐时，振子振幅逐渐 ( (共振共振) )实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。 0结论：无阻尼振子在谐和力激励两个简谐振动的结论：无阻尼振子在谐和力激励两个简谐振动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动；合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动总也形成拍频振动。由于无阻尼，所以自

38、由振动总也不消失。不消失。一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动有阻尼时，运动方程有阻尼时，运动方程FDxdtdxRdtxdmm22 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解 tFtFcos0)(Re()(txtx)(Re()(tFtF复数表示：复数表示：外力为谐和力外力为谐和力运动方程：运动方程：其解：其解： 为齐次方程的解，已为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为在前面解出。此解数学上称为“通解通解”；物理中；物理中称为称为“暂态解暂态解”。tmeFtxDdttxdRdttxdmj02

39、2)()()()()()(21txtxtx)j(11)(ttmeeAtx其中：其中：2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解00220 101costeAtxtm系统的固有频率，决定于系统本身的参系统的固有频率，决定于系统本身的参数数由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定0,1,mA2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解当当 时时, ,设特解设特解代入到运动方程代入到运动方程 得到得到 tmeXtxj202jFXDRmmm2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动

40、方程及其解一、强迫振动方程及其解tmeFtxDdttxdRdttxdmj022)()()(DmRFDRmFXmmmjjj020此解数学上称为此解数学上称为“特解特解“ “ ；物理中称为；物理中称为“稳态解稳态解”tmeDmRFtxj02)j(j)(2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解jjeZDmRZmmm令令22DmRZmmmRDm1tg2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解)2j(0)j(02j)(tmtmeZFeZFtx则则外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，外力引起的位移振

41、幅和外力的振幅成正比，并和外力频率有关。并和外力频率有关。)sin()cos()()(Re)(01021tZFteAtxtxtxmt其中：其中： 由初始条件决定由初始条件决定; ; 由系统参数决定。由系统参数决定。 10,A,mZ)()()(21txtxtx2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量 的位移由两个函数组成：的位移由两个函数组成：u第一项为第一项为暂态分量暂态分量：振动角频率为：振动角频率为 。 表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量。表示外力

42、刚开始时激发起系统的自由振动分量。 振幅随时间衰减。振幅随时间衰减。u第二项为第二项为稳态分量：稳态分量：振动频率等于外力的频率，振动频率等于外力的频率， 表示外力产生的强制振动分量。表示外力产生的强制振动分量。 是振幅不变的简谐振动。是振幅不变的简谐振动。u随时间的增加，前者对位移的影响趋于随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者后者 成为描述振子运动的函数成为描述振子运动的函数稳态解。稳态解。 2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解0 对解的进一步分析：对解的进一步分析： (1)(1)强迫振动的过渡过程（暂态解）强迫振动的过渡过程（

43、暂态解） 阻尼振子受迫振动，总是经过一段时阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到0 0的过程。的过程。 二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程 几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。形式不同。零初始条件零初始条件：从最简单的情况入手分析之，从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态设振动系统开始时完全处于静止状

44、态 且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则则： 00, 00vx0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程0,mmRZ tRFteAtxmtm00010sincos二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程22DmRZmmmRDmtg10得得；带入零初始条件得带入零初始条件得mmRFA001/,2振动位移的过渡过程振动位移的过渡过程teRFtxtm000sin)1 ()(二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程所以所以 系统过渡时间系统过渡时间 ：稳态振动基本建立所需稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。的时间称为稳态振动的建立时间

45、。 mmZFx00095. 0显然，此振动振幅达到稳定的过程，由系数显然，此振动振幅达到稳定的过程，由系数 决定，一般，认为振幅到稳定值的决定，一般，认为振幅到稳定值的 9595时时, ,就达就达到了稳态。到了稳态。0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程定义：定义： 为系统的过渡时间。单位，秒（为系统的过渡时间。单位，秒（SecSec）。）。 值与值与 的关系：的关系：0mQ000000TQTQTQmmm 大，大， 大大达到稳态需要时间长（阻小）达到稳态需要时间长（阻小）mQ0)044. 0(956. 01etet，可得：若二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程 外力频率接近而又

46、不等于谐振频率外力频率接近而又不等于谐振频率，则在过渡，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭加表现出过程期间，暂态成分和稳态成分迭加表现出拍现拍现象象。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程 正弦脉冲填充的作用正弦脉冲填充的作用 周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用, ,且填且填充正弦信号频率充正弦信号频率 设脉冲正弦作用力的持续时间为设脉冲正弦作用力的持续时间为 ，当力，当力加到系统上以后，振动的振幅按曲线加到系统上以后，振动的振幅按曲线 随随时间增长，而脉冲结束后，系

47、统振动按自由振动时间增长，而脉冲结束后，系统振动按自由振动规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间波形规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间波形不同。并且不同。并且 、 不同时，脉冲波形的畸变不不同时，脉冲波形的畸变不同。同。0te1 0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程大大阻尼阻尼中阻尼中阻尼小阻尼小阻尼二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程图图1. Qm1. Qm =1.7 =1.7（低）（低）图图2. Qm2. Qm=5=5（中）（中）图图3. Qm3. Qm =15 =15（高）（高）三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解振子受迫振动，经

48、过一段时间后，暂态解影响影响 0，只有稳态解，所以下面分析，只有稳态解，所以下面分析稳态解稳态解。 （实际工程中，主要关心的是稳态解）实际工程中，主要关心的是稳态解）系统振动达到稳态时系统振动达到稳态时位移：位移：振速：振速：)j(0j)(tmeZFtxmmttmtmZtFeZeFeZFeZFdttxdtv)(jj)()(jj0)j(0)j(0teFtFj0)(j)j(eZDmRZmmm其中，其中，三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生下产生稳定稳定的的同频率同频率谐合振速，若用复数力谐合振速，若用复数

49、力 表表示谐合激励力，用复数振速示谐合激励力，用复数振速 表示同频率振速；表示同频率振速；则则复数力复数力与与复数振速复数振速之比为该系统在该频率下的机之比为该系统在该频率下的机械阻抗。记为械阻抗。记为 （或（或 ）。）。FvmZmZ1 1、机械阻抗、机械阻抗三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动mmmXRtvtFZj)()( 机械阻，机械阻， 机械抗。机械抗。mRmXMKSMKS制中其单位：制中其单位：kgskgs-1-1（力欧姆）（力欧姆）1 1、机械阻抗、机械阻抗三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动 据定义，前例的机械系统的机械阻抗为据定义，前例的机械系统的机械阻抗为 ， jmC1jjeZ

50、mRDmRZmmmmmRDm1tg22DmRZmm1 1、机械阻抗、机械阻抗物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速 幅值所需力的大小。幅值所需力的大小。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动; 机械振动系统在简谐力作用下振动，改变机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值不变不变, ,初相位为初相位为0 0；得到的某个响应信号幅值随；得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响到

51、的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。应的相频特性曲线。二者称作该响应的频二者称作该响应的频率特性曲线。率特性曲线。 幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该响应的频率特性曲线。响应的频率特性曲线。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动2 2、频率特性曲线、频率特性曲线前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应位移响应2)(arctan)()j(jj)(220)j(j0)j(0mxmmtmtmtmRDmDmRFXeXeDmRFeZFtxx其中：2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动位移的频

52、响曲线位移的频响曲线位移的相频曲线位移的相频曲线)j(j0DmRFXmm)j(arg(jDmRmx位移的幅频曲线位移的幅频曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应振速响应)(arctan)()j()()(220)j(j0)j(0mvmmtmtmtmRDmDmRFVeVeDmRFeZFdttxdtvv其中：2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动振速的振速的频响曲线频响曲线)j(0DmRFVmm)j(arg(DmRmv振速的振速的幅频曲线幅频曲线振速的振速的相频曲线

53、相频曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动2)(arctan()()j(jj)()(220)j(j0)j(0mammtmtmtmRDmDmRFaeaeDmRFeZFdttvdtaa前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应加速度响应2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动)j(j0DmRFamm)j(jarg(DmRma加速度的加速度的频响曲线频响曲线加速度的加速度的幅频曲线幅频曲线加速度的相频加速度的相频曲线曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动瞬时功率瞬时功率)

54、(arctan)(cos)2cos(21cos)cos()()()()cos()(;cos)()()()(22202000mvmmvvmvmvmRDmDmRZtZFttZFtvtftWtZFtvtFtftvtftW；且3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动激励力对振动系统输入的瞬时功率激励力对振动系统输入的瞬时功率系统的振动达到稳态时，激励力对振动系统的输入系统的振动达到稳态时，激励力对振动系统的输入功率等于系统阻尼的消耗功率。功率等于系统阻尼的消耗功率。机械功率机械功率)(arctan)(cos2cos)2cos(211)(1)(2

55、2200200mvmmvmTvvmTRDmDmRZZFdttZFTdttWTtW；3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动一个周期内激励力对振动系统输入的一个周期内激励力对振动系统输入的平均功率平均功率平均功率与激励力频率关系平均功率与激励力频率关系3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动 最大输入功率对应的激励力频率最大输入功率对应的激励力频率mDfmDRFtWRDmDmRZZFtWmmvmmvm21,2)()(arctan)(cos2)(020max2220激励力频率：此时；

56、可得：；由平均功率：3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动)(arctan)(221)(21cos2)(2220max20mvmmmvmRDmDmRZRFtWZFtW；半功率点频带宽度半功率点频带宽度平均功率下降到最大功率的平均功率下降到最大功率的1/2所对应的频带宽度所对应的频带宽度3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动mmvZRcos因为：因为：所以：所以：mmmRFZRF221220220mmmRZR121221222DmRRmm211120020mDRmm211120

57、02mQmmmQQQ0122002011011mQff0mDfmD21;00半功率点频带宽：半功率点频带宽：3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率半功率点频带宽度半功率点频带宽度三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动（1 1）共振频率）共振频率 定义定义: :机械振动系统在恒振幅激励力作用下发机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。统该响应的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的

58、共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振频率频率等。等。4 4、振动系统的几个与、振动系统的几个与“频率频率”有关的概有关的概念念三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动（2 2）谐振频率）谐振频率 机械振动系统在谐合激励力作用下发生振机械振动系统在谐合激励力作用下发生振动，达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输动，达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输入能量（对系统作正功）则称此时系统发生了入能量（对系统作正功）则称此时系统发生了谐振。发生谐振时的频率称作系统谐振频率。谐振。发生谐振时的频率称作系统

59、谐振频率。4 4、振动系统的几个与、振动系统的几个与“频率频率”有关的概有关的概念念三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动（3 3）固有频率）固有频率机械振动系统无外力作用下自由振动的频率称作机械振动系统无外力作用下自由振动的频率称作系统的固有频率。系统的固有频率。由振动系统自由振动微分方程的特征值方程可得由振动系统自由振动微分方程的特征值方程可得固有频率。固有频率。4 4、振动系统的几个与、振动系统的几个与“频率频率”有关的概有关的概念念三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动 mRQmDDmRFXmmmm2;2;2Q11:可解得位移共振频解0Xdd亦即，由方程率；极值，可得位移共振频)()(:0

60、02m0 xm220其中：求其位移幅值函数解：位移共振频率。子的位移幅值函数，求例：由单自由度阻尼振mDVddDmRFVvmmm0220:0)()()(:可解得振速共振频率亦即，由方程振频率；求其极值，可得振速共振速幅值函数解：振速共振频率。子的振速幅值函数，求例：由单自由度阻尼振mRQmDQaddDmRFammmammm2;2;211:0)()()(:0020220其中：可解得加速度共振频率亦即，由方程共振频率；求其极值，可得加速度加速度幅值函数解：求加速度共振频率。子的加速度幅值函数，例：由单自由度阻尼振；可得系统谐振频率：由振速函数又刻刻向系统作正功；同相位，则激励力时时与若解：谐振频率