P机械转子陀螺仪二自由实用教案

1、二自由度陀螺仪进动性：演示(ynsh)(ynsh)进动性(Proceeding)转子没有旋转(xunzhun)(xunzhun)时，给陀螺悬挂重物 录像：转子高速旋转的陀螺悬挂(xungu)(xungu)重物 第1页/共34页第一页，共35页。进动(jn dn)(jn dn)的规律录像：沿着陀螺仪外框架(kun ji)轴施加力矩进动性：陀螺仪受到外力矩时，转子(zhun z)(zhun z)自转轴的转动方向与外力矩方向相垂直的现象进动、进动角速度 第2页/共34页第二页，共35页。用动量矩定理解释(jish)(jish)进动：近似推导动量矩定理(dngl) (dngl) MdtdHH 的近似(

2、jn s)表示： kJHz动量矩定理 + 苛氏定律 MHdtHddtdHHM此即二自由度陀螺仪的进动方程 第3页/共34页第三页，共35页。进动角速度的方向(fngxing)(fngxing)和大小进动角速度的方向(fngxing)：最短路径法则 （H 沿最短路径趋向 M）进动角速度的大小：根据 M = H，写成标量(bioling)形式： M = Hsin 因此 = M /（Hsin）进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小成反比。第4页/共34页第四页，共35页。陀螺(tulu)(tulu)动力效应：陀螺(tulu)(tulu)力矩外加(wiji)(wiji)力矩 HM陀螺

3、(tulu)(tulu)力矩(Gyro (Gyro Torque)Torque)：反作用力矩 HHMg陀螺力矩的方向判断陀螺力矩的作用对象 第5页/共34页第五页，共35页。陀螺动力（稳定）效应(xioyng)(xioyng)，对外框架有效第6页/共34页第六页，共35页。陀螺动力（稳定）效应，对内框架(kun ji)(kun ji)无效第7页/共34页第七页，共35页。定轴性：不通电时转动(zhun (zhun dng)dng)基座录像(61s)：陀螺不通电(tng din)时，转动基座第8页/共34页第八页，共35页。定轴性：通电后转动(zhun dng)(zhun dng)基座录像(35

4、s)(35s)：通电(tng din)(tng din)后，转动基座第9页/共34页第九页，共35页。定轴性：不通电时敲打(qio d)(qio d)框架录像(26s) (26s) ：不通电时，敲打(qio (qio d)d)框架 第10页/共34页第十页，共35页。定轴性：通电后敲打(qio (qio d)d)框架录像(35s) (35s) ：通电后，敲打(qio d)(qio d)框架第11页/共34页第十一页，共35页。定轴性总结(zngji)(zngji)；漂移、章动二自由度陀螺仪的定轴性二自由度陀螺仪具有抵抗干扰(gnro)(gnro)力矩，力图保持其自转轴相对惯性空间方位不变的特性

5、（定轴性、或稳定性）。 定轴性的相对性( (一) )：陀螺(tulu)(tulu)漂移 d = Md / H d = Md / H 定轴性的相对性( (二) )：章动(Nutation)现象陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空间方位附近作锥形振荡运动 第12页/共34页第十二页，共35页。章动录像录像（20s）：二自由度陀螺(tulu)的章动(nutation)现象第13页/共34页第十三页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 运动方程：初步分析从定性(dng xng)(dng xng)到定量：引入坐标系 外、内框架(kun ji)和转子坐标系任务：描述当沿着内外框架轴施加力矩时

6、，陀螺框架角、的变化规律方法：动量矩定理 + 苛氏定律 第14页/共34页第十四页，共35页。二自由度陀螺 运动方程(fngchng)(fngchng)：矢量表示转子的绝对(judu)(judu)角速度：分解表示内框架(kun ji)(kun ji)坐标系的牵连角速度： kjizyx转子相对内框架的角速度：ks转子的绝对角速度： kjizyx)(转子的动量矩： kJjJiJHzzyyxx)(第15页/共34页第十五页，共35页。二自由度陀螺 运动方程(fngchng)(fngchng)：推导根据(gnj)(gnj)动量矩定理和苛氏定律 MHdtHddtdH其中(qzh(qzhng) ng) k

7、dtdJjdtdJidtdJdtHdxzyyxx)()(zzyyxxzyxJJJkjiHiJJzyyyzz)(jJJxzzzxx)(kJJyxxyxy第16页/共34页第十六页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 运动方程：合并简化对每个坐标分量，分别(fnbi)(fnbi)写出方程 xzyyyzzxxMJJdtdJ)(yzxxxzzyyMJJdtdJ)(zxyxyxyzzMJJdtdJ)(以上(yshng)称变态欧拉动力学方程实际的陀螺中，一般赤道转动惯量 Jx = Jy，由第三式可得 zzzMdtdJ )(陀螺稳态工作时，Mz = 0Mz = 0，因此 常量 )(zzJ对前两

8、式，忽略角速度高阶小量，得到简化方程 yxyyxyxxMHdtdJMHdtdJ关于框架角速度和外加力矩的方向 第17页/共34页第十七页，共35页。二自由度陀螺 运动方程(fngchng)(fngchng)：角速度投影两种角速度的关系(gun x) (gun x) 内框架(kun ji)(kun ji)坐标系 x x y z y z 的等于两个欧拉角速度的矢量和 kjizyx根据投影 sincoszyx代入简化方程，得到 yyxxMHdtdJMHdtdJcos)cos(求导式展开，忽略高阶小量，得到 yyxxMHJMHJcoscos 第18页/共34页第十八页，共35页。二自由度陀螺 运动方程

9、(fngchng)(fngchng)：力矩投影yyxxMHJMHJcoscos 力矩(l j)(l j)的变换cos1xxMM代入上式，得到(d (d do) do) yyxxMHJMHJcoscoscos1 实际角很小，上式简化成 yyxxMHJMHJ 1上式称为陀螺仪的技术方程。技术方程的物理意义（惯性力矩和进动力矩） 第19页/共34页第十九页，共35页。二自由度陀螺 系统(xtng)(xtng)模型：拉氏变换二自由度陀螺仪的技术(jsh)(jsh)方程 yyxxMHJMHJ 1拉氏变换(binhun) (binhun) )()()()()()(000210002sMssHsssJsMs

10、sHsssJyyxx整理 000200012)()()()()()(HsJsMsHsssJHsJsMsHsssJyyyxxx当初始条件都为零，得到 第20页/共34页第二十页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 系统模型：系统方块图拉氏变换(binhun)(binhun)方程 )()()()()()(212sMsHsssJsMsHsssJyyxx改写(gixi)(gixi)方程，画出系统方块图 )(1)()(21ssJsHssMxx)(1)()(2ssJsHssMyy每个力矩都同时引起陀螺仪的两种运动，陀螺力矩起耦合作用第21页/共34页第二十一页，共35页。二自由度陀螺 系统(

11、xtng)(xtng)模型：传递函数由拉氏变换(binhun)(binhun)方程求解两个框架角、 ，得到 )()()()()()()()(1222222122sMHsJJsHsMHsJJJssMHsJJsHsMHsJJJsxyxyyxxyyxxyxy由此可以得到(d do)(d do)从 Mx1 Mx1、My My 分别到和的四个传递函数 改写分母项)()(2022222sJJJJHsJJHsJJyxyxyxyx固有振荡频率第22页/共34页第二十二页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 脉冲响应：输入输出冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对时间的积分(jfn)

12、(jfn)是一个有限值 )()(11tMtMxx代入系统的拉氏变换(binhun)(binhun)模型： 0)()()()(212sHsssJMsHsssJyxx求解(s) (s) 和(s)(s)，得到 )()()(221221HsJJsHJsHsJJJJsyxxyxxy)/(/221221yxyyxJJHssJHJJHsxxJM1其中第23页/共34页第二十三页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 脉冲响应：响应轨迹假设 Jx = Jy = Je Jx = Jy = Je，并令02 = H2 / (JxJy)02 = H2 / (JxJy)，部分分式展开(zhn ki)(zhn

13、 ki)，反拉氏变换得： tt001sin)(tt00101cos)(可见，力矩 Mx1 Mx1 引起转子轴同时绕内外两个(lin )(lin )框架作等幅振荡，相位相差9090度。消去时间变量，得轨迹方程 2012012轨迹圆，半径圆心频率 第24页/共34页第二十四页，共35页。二自由度陀螺 脉冲响应：计算(j (j sun)sun)例子例子(l zi)(l zi)：设 Jx = Jy = Je = 1.38 Jx = Jy = Je = 1.38 克厘米秒2 2， H = 5160 H = 5160 克厘米秒， Mx1 = 36200 Mx1 = 36200 克厘米 10-5 10-5

14、秒（注：克 = = 克重，相当(xingdng)(xingdng) 于每克物体的重量） s /sradJMxxdeg15/262. 038. 1362. 011HzsradJHe595/374038. 151600章动的幅度（半径）23. 0107501rad角分章动的特点：高频、微幅 第25页/共34页第二十五页，共35页。二自由度陀螺(tulu) (tulu) 阶跃响应：输入输出如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数(hnsh)(hnsh)表示： )( 1)(0tMtMyysMsMyy0)(陀螺系统的初始条件都为零时(ln sh)(ln sh)，频域输出响应为： sMHsJJJssMH

15、sJJsHsyyxxyyx022022)()()(第26页/共34页第二十六页，共35页。设 Jx = Jy = Je Jx = Jy = Je，并令02 =H / (JxJy)02 =H / (JxJy)反拉氏变换(binhun)(binhun)，得时域响应： 二自由度陀螺(tulu) (tulu) 阶跃响应：时域响应)cos1 ()(sin)(0020020tMHJttMHJtHMtyeyey动态响应：章动稳态响应：进动(jn dn)(jn dn)和等效弹簧效应第27页/共34页第二十七页，共35页。二自由度陀螺 阶跃响应(xingyng)(xingyng)：轨迹对前式移项后两边平方相加，

16、得到(d do)(d do)转子轴的轨迹方程 22022020HMJHMJtHMyeyey旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动(jn dn)(jn dn)）的合成。解释：HMJHHMJyeye020圆周运动线速度： 圆心移动速度： HMy0两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动旋轮线其中进动起主导作用 第28页/共34页第二十八页，共35页。二自由度陀螺 阶跃响应(xingyng)(xingyng)：计算例子例题：My = 1 My = 1 克厘米； H = 10000 H = 10000 克厘米秒； Jx = Jy = Jx = Jy = Je = 4 Je = 4 克厘米秒2 2；常值干扰

17、力矩(l j)(l j)作用时间 t = 60 t = 60秒。 陀螺(tulu)(tulu)漂移率 hrradHMy/7 .20/345. 0sec/100001度分度漂移的角度 度分分度0.345)(1)/345. 0(tHMy章动振幅 角秒3221036. 11000014radHMJye章动频率 HzradJHe397sec/2500410000常值干扰力矩的产生原因及影响 第29页/共34页第二十九页，共35页。二自由度陀螺 正弦(zhngxin)(zhngxin)响应：输入输出如果外加力矩方向(fngxing)(fngxing)不断改变，大致可以用简谐函数描述 tMtMaoxxsi

18、n)(1221)(aaoxxsMsM初始条件都为零时，陀螺频域输出(shch)(shch)响应为： )()()()(22222222ayxaoxayxaoxysHsJJsHMssHsJJMJs令 0 02 2 = H = H2 2 / (Jx / (JxJy) Jy) ，并部分分式展开及反拉氏变换，得第30页/共34页第三十页，共35页。二自由度陀螺 正弦(zhngxin)(zhngxin)响应：时域响应tJMtJMtaaxoxaxaoxsin)(sin)()(22002200tHMtHMHMtaaaoxaaoxaoxcos)(cos)()(220200220章动项 强迫(qing p)(qing p)简谐振动项 常值项设aao o ，Jx = Jy = JeJx = Jy = Je，则上述响应式可以(ky)(ky)简化成： 第31页/共34页第三十一页