第一讲-数列极限(数学分析)

1、第一讲数列极限一、上、下确界1、定义：1)设S R,若M R: x S,x M ,则称M是数集S的一个上界，这时称 S上 有界；若L R: x S,x L,则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当 S既有上界又有下界时就称S为有界数集。2)设S R,若M R: x S,x M ,且0, x S:x M ,则称M是数集S的上确界，记M supS ;若L R: x S,x L ,且0, x S: x L ,则称L是数集S的下确界，记L inf So2、性质：1)(确界原理)设S R, S ,若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则 S有下确界。2)当S无上界时，记supS ;当S无下界时，记i

2、nf S 。3) sup(A Jb) maxsup A,sup B;inf( A J B) mininf A,inf B。4) supS inf( S);inf S sup( S)。5) sup(A B) sup A supB;inf( A B) inf A inf B。6) sup(A B) sup A inf B。(武大 93)7)设f (x), g(x)是D上的有界函数，则inf f (D) inf g(D) ixnfD f(x) g(x) supf(D) inf g(D) supf(x) g(x) supf (D) supg(D)xD3、应用研究1)设Xn为一个正无穷大数列，E为Xn的

3、一切项组成的数集，试证必存在自然数p,使得Xp inf E。(武大94)二、数列极限1、定义：1) nim an a 0, N N( ):n N,|% a ,称an为收敛数列；2) lim anM 0, N :n N, an M ，称an 为数列；3) nim anM 0, N :n N, an M ，称an 为数列；4) lim anM 0, N : n N,| an | M ,称为 数列；5) nim an 0,称an为无穷小数列；2、性质1)唯一性：若lim an a,lim an b a b 。nn2)有界性：若an为收敛数列，则an为有界数列。3)保号性：lim an a 0 N,n

4、 N,an 0.n4)保不等式性：若lim ana,lim bnnnb,an bn(nN°)ab.5)迫敛性：若 ancnbn (n N0),limanlim bnnc lim cnnc.6)四则运算：若lim an a,lim bn nnb,则nim( an bn)a b;Hm( an bn) a b;gmbnanb-(a 0) a7) Stolz定理：设yn为严格增的limnXn Xn1存在，则ynni吸limnXnXn 1oynyn 1证明:,bkSn13,b1 b20,k 1,2,|,n ,则aa2anbi b2bnmax Snmin Sn(用归纳法证明)a c,b b d0

5、,d 0a(bd)b(a c),(ac)d (bd)cmin Sn 1min Sna1anbibnan 1bn 1an 1bn 1an bna b1I an an | I bn bnmax Sn 1max Snan 1bn 1ab1an 1bn 1bianbnan 1 bn 1(2)设lim如 n ynxn 10,k, nynXn Xn 1k：|yn yn 1由(1)得|XnXkynyk又 X_r Xk rykynyn(1区)( ynXnxkr)yn yk所以百yn| Xkryk yn| XnXkynyklim xk ryk 0 N k,n N :| xk ryk | ,从而 |8 r| (n

6、 N)n ynyn2yn3、极限存在条件：1) (Cauchy收敛准则)an收敛的充要条件是0, N : n,m N a am|；2)(单调有界收敛原理)若烝单调增上有界，则an收敛，且lim an supa；若 nnan单调减下有界，则an收敛，且lim an inf an ； nn3)(致密性定理)有界数列必有收敛子列。4) an收敛的充要条件是lim sup, ak) 0 n m.k n4、子列：n1 n2 |H,ank称为an的子列：1) an收敛的充要条件是an的任何子列都收敛；2) liman存在lim a2n ,lim a2n 1 都存在,且 lim a2n lim a2n 1；

7、nnnnn3) niman a 0,满足an A 至多有限项，满足an A有无穷多项，称A为an的上极限；血an B 0,满足an B 至多有限项，满足an A 有无 n穷多项，称B为an的下极限；lim &存在liman Dm_an。nnn(1) liman lim supxk; lim an lim supxk ； nn k nnn k n(2) an bn(n n0)liman limbn,liman limbn ;nnnn(3) limanlM an);nnlim an lim bn(4) n 1 lim( an nbn)三、应用研究1、设 anIIIan 1an,bn 1bn

8、2、 c 3,0), X1证明：显然Xnc2X2k 1X2kL 2 2(X2kkim % 1从而alim Xn n1.3、yn 1lim! anbn)nlim anlim bnlim an nlim bn nlnbn证明lim an存在。从而lim an .nn lnn, 21 dXn 1n 1 dXn Xln(1-) n1 dXc-,X22Xn ,n212Hl,证明lim Xn存在并求其值。Xi2X2ka，kimX2k1 22(b0,0。若 Xn 0,则 |Xn|2 )，X2k 2X2ka2),(ab)(a byn(2yn),0I f(x) x(2yn y0 ,y。x)L 22 ( X2k

9、12)1(0 x1)从而lim yn(na)|cj22X2k1)2Xn|c|24X2k 1|c|, Xn 1X2k 1, X2k 22 Xn2Icl20,X2k2X2n X2 ,X20,2alimn2X2n 1,n21,2,| 得总之有ynV。y1（武大00）y0 (2y0) 1在 yn 1yn(2若 y°ynyn）取极限a a(2 a),0 y0 a 1 ,所以 a 1。4、设& 3色3 4,a3 3 -,|,如果数列a0收敛，计算其极限，并证明数 33 -3列an收敛于上述极限。（武大99）证明：由an1 3 , a2n 1a2n14( ),a2n2a2n4(),可归纳证

10、ana2na2n 2a2n 1a2n 1得：3an5, a2n 1 a2n 1 , a2n 2a2n,从而 lim a2n,lim a2nnn1都存在，令lima2n a,lim a2n 1 nn,11由a2n 1 3,a2n 2 3，取极限得a2na2n 1a 3 1,b 3 1,3 a,b 5, a b -ba b,所以数列an收敛，且 lim an 4baabn5、设数列an有一子列anj收敛，且ank?a2n及anja2n1都有无穷个元，而 a2n及a2n1都为单调数列，问a上否收敛为什么（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：2）由 1）知a2n及a2n 1都收敛，又

11、因为 lim a2n lim ank lim a2n 1 ,故an收敛。 nk k n6、设an 0,且an,证明数列an中存在一子序列%是收敛的子序列。（武大97）7、设 ana（n ），令 an maxan,0, a maxa,0,证明 ana （n ） o （武大96）8、设an无上界，证明存在子序列ank,使得ank（k ）。（武大95） 9、设a 0,x1 42 a,xn 1显X?,n 1,2, |，证明极限pm xn存在并求极限.（北大02）证明：易知V2xn2 a,当x1a时，N单调增；当x1a时，xn单调减，从而极限lim %存在，令lim xn x ,在xn 1 2Tx两边取

12、极限得 nn,x22 x x 2 x 1 ,再由 V2xn2 a得 limxn2。nnnn10、求极限lim -n 12na2n .a（北大01）解:当a2 1时,2na2na(a2)n0,lim 一n 12n a27 a2n0；当 a2 1 时，nim 鼻 2 ；、匕 2当a2naZ 2n1 alimnn111、设f（x）在点a右导,f(a ), ” , _ 、f(a) 0,求极限lim 匚.(北大01)n f(a)解:12、lim n/TV,(a 0).(北大 98) n13、证明：(1) (1 A1” 为递减数列：(用 bn 1 an(n 1)b na, b a 0)n(2) ln(1

13、1)1,n1,2 (华东师大00)n 1 nn14、设 R 中数列an , bn满足 an 1 bn qan,n 1,2，其中 0 q 1,证明:（1）若bn有界，则an有界;an 1若bn收敛，则an收敛bn qan bn Q。2q an 1n 1 (k 0、（清华01）|bn|M,|ai| Mq)kbn kq)nan 1 knI k°qkM qnM设lim bn10(kq) bn(q).k0( q)kb|q)k(bnk b)(q)n(ai b)In1(q)kbIq)k(bnk b)| In 1kk m 1( q) (bnkb)(q)n(a1 b)InM|b|n k(q) (bk b)Imn-q2M |b|1 q 1 q15、 (1)用语言证明：用设函数f在点a可导，且f(a)0。求:求极限116、求极限 limn(enn1p 2pnimn77p，其中P 0。（清华00）1) n (清华 99)17、设 liman a,证明 l