如图,体积微元为dV=Axdx,则体积为PPT课件

1、 立体的体积立体的体积一一. 平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积点点x且垂直于且垂直于x 轴的截面面积轴的截面面积.如图如图,体积微元为体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为则体积为badxxAV)( 例例1 如图如图,从圆柱体上截下一块楔形体从圆柱体上截下一块楔形体,abx求其体积求其体积. 取取x为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b. 设立体介于设立体介于x=a,x=b之间之间,A(x)表示过表示过,tan)(21)(22 xRxA则则RRdxxRV tan)(2122 tan32|tan)31(21332RxxRRR边长分别为边长分别为y和和ytan

2、.因此因此如图如图,过过x的截面是直角三角形的截面是直角三角形,解解-RRyxoxyxyoRh高为高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.底边长为底边长为2y,高为高为h.因此因此 ,)(22xRhyhxA则则202222cos2 hRdhRRRdxxRhV22过过x的截面是等腰三角形的截面是等腰三角形, 解解 如图如图, 例例2 求以圆为底求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶平行且等于底圆直径的线段为顶,badxxfV2)(称为旋转体称为旋转体.则如前所述则如前所述,可求得截面面积可求得截面面积,)()(22xfyxA二二. 旋转体的体积旋转体的体积则则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一

3、周而成的立体平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图设旋转体由图1的曲边梯形绕的曲边梯形绕x轴形成轴形成.yxaby=f(x)ox图图1 同理同理,如旋转体由图如旋转体由图2的曲边梯的曲边梯形绕形绕y轴形成轴形成.dcdyyV2)( ycoxdx=(y) 例例3 求如图直角三角形绕求如图直角三角形绕x轴轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的圆锥体的体积. 解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为xhry 由公式得由公式得3|3)(2023220hrhxrdxxhrVhh yoxP(h,r)则体积为则体积为图图2图图3例例4 求星形线求星形线)0(sinc

4、os33ataytax绕绕x轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积解解 由对称性及公式由对称性及公式adxyV022 aaxy02262)sin(cos3sin2 dtttata20273)sin1 (sin6 dttta310532a 例例5 求圆心在求圆心在(b,0),半径为半径为a(ba)的圆绕的圆绕y轴旋转而成的环状轴旋转而成的环状体的体积体的体积. yxoba解解 圆的方程为圆的方程为222)(aybx,则所求体积可视为则所求体积可视为2222,yabxyabx曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差轴旋转而成的旋转体的体积之差.aaaadyyabdyyabV222222

5、)()( adyyab0228 baayayayba2202222| )arcsin22(8 分别与直线分别与直线y=-a,y=a及及y轴所围成的轴所围成的则则例例 证明：由平面图形证明：由平面图形 )(0 xfy ,0bxa绕绕 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为ybadxxxfV)(2 柱壳法柱壳法就是把旋转体看成是以就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，一系列圆柱形薄壳组成的，即为圆柱薄壳即为圆柱薄壳当当dx很小时，此小柱体的高看作很小时，此小柱体的高看作f（x），），以此柱壳的体积作为体积元素，以此柱壳的体积作为体积元素，bayx)(

6、xfy 在区间在区间 上上,dxxx)(2xfdxxdV babadxxxfdVV)(2 柱壳体的体积元素为柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长光滑曲线可应用定积分求弧长. 若函数若函数y=f(x)的导函数在区间的导函数在区间a,b上连续上连续,则称曲线则称曲线y=f(x)为区间为区间a,b上的光滑曲线上的光滑曲线,一一.直角坐标情形直角坐标情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:)(),(bxaxfy可用相应的切线段近似代替可用相应的切线段近似代替.即即dxydydxs2221)()(则弧长微元则弧长微元(弧微分弧微分)dxyds21故弧长为故弧长为dxysb

7、a21oyxdyabdxy=f(x)取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.a,b内任意小区间内任意小区间x, x +d x的一段弧长的一段弧长 例例1 求曲线求曲线2332xy 相应于相应于x从从a到到b的一段弧长的一段弧长.解解 dxyds21babaxdxxs|)1 (32123)1 ()1(322323abdxxdxx1)(1221例例2 求求dttyxcos2 的全弧长的全弧长.解解 y=y(x)的定义域为的定义域为dxxdxxyscos1)(122222 2,2 ,故弧长为故弧长为:4|2sin242cos222020 xdxx二二. 参数方程情形参数方程情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:)( ,)()( ttytx弧长微元弧长微元dtttdydxds)()()()(2222 则如前所述则如前所述,dttts)()(22 例例4 求星形线求星形线)20(sincos33 ttaytax的弧长的弧长.解解 由对称性及公式由对称性及公式dttts)()(42220 202sincos34 dtttaatatdtta6|sin6sincos1220220 202222)cossin3()sin(cos34 dtttatta例例4 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a (a0)上上相应于相应于 从从0到到2 的一段弧长的一段弧长.解