1.3.2函数的奇偶性

1、1.3.2函数的奇偶性【学习目标】1 .从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念，体会利用定义判断简单函数 的奇偶性；2 .在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合和特殊到一般 的数学思想方法.【课前导学】1 .回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤.2 .初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称(即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合)；中心对称：两个图形关于某一点对称(即把一个图形绕某点旋转180 ,能够与另一图形重合).这节课我们来研究函数的另外一个性质一一奇偶性(导入课题，板书课题)【课堂活动】建构数

2、学：1 .偶函数2 .(1)观察函数y=x的图象(如右图)图象有怎样的对称性?关于y轴对称.2 .从函数y=f(x)=x本身来说，其特点是什么?当自变量取一对相反数时，函数y取同一值.例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)= f(-2)f(-1)=1 , f(1)=1 1 即 f(11)= f( 1)了 1)2)f(2)由于(-x ) 2=x2f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点( x,y)是函数y=x2的图象上的任一点，那么，与它关于 y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数.(2)定义：(板书)一般地，如果对于函数

3、 f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function ).例如：函数f(x)x2 1, f(x) 一一，f(x) x等都是偶x 11函数.2 .奇函数(1)观察函数y=x3的图象(如图)当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？也是一对相反数.这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称.即如果点(x,y )是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点(-x,-y )也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数.(2)定义：(板书)一般地，如果对于函数 f(x)的定

4、义域内任意一个 x,者B有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function) .1 例如：函数f(x) x, f(x)都是奇函数.x3.奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注意：(1) “任意”、“都有”等关键词；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立，即等式 f(-x尸f(x)或f(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式.提问：1.你是否发现具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？若定义域不符合此特点呢？答案：关于 对称；否则函数就不具奇偶性.2.具有奇偶性的函数其图像有何特点？答案：奇函数白图像关于对称

5、；偶函数的图像关于蛆对称.据此也可用来判断函数的奇偶性.应用数学：例1判断下列函数的奇偶性.(1) f(x)=x 3+2x;(2) f(x)=2x4+3x2;(3) f(x)=x2+2x+5;(4) f(x)=x 2,x 0,; f(x)=;(6) f(x)=, x2 1,1 x2 ;x解：【解后反思1.判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称， 再计算f(-x),看是等于f(x)还是等于-f(x),然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性.(步骤：简记为 一看二算三论).2 .函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=

6、0 (其定义域关于原点对称，如 x C R或x C (-a,a).a0 )既是奇函数又是偶函数，可 见，函数按奇偶性可分四类.3 .本题也可用图像法.例2.已知函数f(x)对定义域内任意 x. y,有f(x+y尸f(x)+f(y)求f(0);判断f(x)的奇偶性.【解后反思】奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下关键是建立f x与f x的关系，必要时可利用其等价形式f x f x0,要注意思维的灵活性.例3. f(x)为奇函数，且在原点有定义，则 f(0)=.例4. 一个函数既是奇函数，又是偶函数，这样的函数有 个.例5.已知定义域为 R的奇函数f(x),在x0时，f(x)=x 2+x+1

7、，求f(x)的解析式.解：1 2- x 1 (x 0)例6.判断函数的奇偶性：g(x) 2-x2 1 (x 0) 2【当堂检测】11、函数f(x) ，x (0,1)的奇偶性是()xA .奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2、若函数y f(x),x R是奇函数，且f (1)f(2),则必有()A. f ( 1) f( 2) B. f ( 1) f ( 2) C. f ( 1) f( 2) D.不确定3、已知函数yf (x)是偶函数，其图像与 x轴有四个交点，则方程 f(x) 0的所有实数根的和为A. 4B.2C.1D.04、函数f (x) a, a 0是 函数.5、若函数g(x)为R上的奇函数，那么g(a) g( a)【课后提升】一、选择题1、函数f(x) x2 JX的奇偶性是()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数2、函数yf(x)是奇函数，图象上有一点为(a, f(a),则图象必过点()，1 、A. (a, f ( a) B. ( a, f (a) C. ( a, f (a) D. (a,-) f(a)时,二、填空题：3、f(x)为R上的偶函数，且当x (,0)时，f(x) x(x 1),则当x (0,f(x) .4、函数f(x)为偶函数，那么 ”*)与(以|)的大小关系为 . 三、解答题：5