2020-2021中考数学培优 易错 难题之相似含详细答案

1、2020-2021中考数学培优易错难题(含解析)之相似含详细答案一、相似1综合题（1）【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少（2）【拓展应用】如图ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，

2、AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积（4）【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积【答案】（1）解：EF、EDABC中位线，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90，四边形FEDB是矩形，则（2）解：PNBC，APNABC，即，；PN=a-PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，当PQ=时，S矩

3、形PQMN最大值为.（3）解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，AEFHED中，AEFHED（ASA），AF=DH=16，CDGHDE，CG=HE=20，BI=24，BI=2432，中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为BGBF=（40+20）（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；（4）解：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作

4、EHBC于点H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=54=72cm，在BHE中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，

5、而B=90，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以;(2）因为PNBC，由相似三角形的判定可得APNABC，则可得比例式,即,解得,设PQ=x，则S矩形PQMN=PQPN=x（）,因为0，所以函数有最大值，即当PQ=时，S矩形PQMN有最大值为;（3）延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得AEFHED，所以AF=DH=16，同理可得CDGHDE，则CG=HE=20，所以=24,BI=2432，所以中位线

6、IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由（1）得矩形的最大面积为BGBF=（40+20）（32+16）=720；（4）延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，因为tanB=tanC，所以B=C，则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=54=72cm，在BHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm，所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2。2如图所示，ABCADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90

7、，EC的延长线交BD于点P（1ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5ABC绕点A旋转，当EAC=90时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为_，最大值为_【答案】（1）解：相等理由：ABCADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，BA=CA，BAD=CAE，DA=EA，ABDACE，BD=CE；（2）解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：EAC=90，CE=，PDA=AEC，PCD=ACE，PCDACE，PD=，；若点B

8、在AE上，如图2所示：BAD=90，ABD中，BD=，BE=AEAB=2，ABD=PBE，BAD=BPE=90，BADBPE，即，解得PB=，PD=BD+PB=（3）1；7+=，【解析】【解答】解：（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在A下方与A相切时，PD的值最小；当CE在在A右上方与A相切时，PD的值最大如图3所示，分两种情况讨论：在PED中，PD=DEsinPED，因此锐角PED的大小直接决定了PD的大小当小三角形旋转到图中ACB的位置时，在ACE中，CE=4，在DAE中，DE=四边形ACPB是正方形，PC=AB=3，PE=3+4=7，在PDE中，PD=，即旋转过程中线

9、段PD的最小值为1；当小三角形旋转到图中ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7，即旋转过程中线段PD的最大值为7故答案为：1，7【分析】（1）BD，CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出BAD=CAE，根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA，DA=EA，从而利用SAS判断出ABDACE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE；（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的长，然后判断出PCDACE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出BD的长，然后判断出BADB

10、PE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在A下方与A相切时，PD的值最小；当CE在在A右上方与A相切时，PD的值最大如图3所示，分两种情况讨论：在PED中，PD=DEsinPED，因此锐角PED的大小直接决定了PD的大小当小三角形旋转到图中ACB的位置时，根据勾股定理算出CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3，进而得出PE的长，根据勾股定理算出PD的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1；当小三角形旋转到图中ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7，即旋

11、转过程中线段PD的最大值为73如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.（1）求y与x之间的函数关系式;（2）作出函数的大致图象.【答案】（1）解：如图：作COAB于O，当小亮走到A处(A位于A与O之间)时，作出他的影子AC.小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.设小亮的身高MA=l，CO=h，AO=m，影长CA=y，小亮走过的距离AA=x，由图易得CA=x-y，MAAB，COAB，MCACCO，即=y=x-,(0xm),(此

12、时m,l,h为常数)，当小亮走到A处(A位于O与B之间)时；同理可得y=-x+(mx2m).（2）解：如图所示：【解析】【分析】（1）如图：作COAB于O，当小亮走到A处(A位于A与O之间)时，作出他的影子AC；根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.设小亮的身高MA=l，CO=h，AO=m，影长CA=y，小亮走过的距离AA=x，由图易得CA=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.当小亮走到A处(A位于O与B之间)时；同理可得y=-（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.x+(mx2m).4在正方形中，点在边上，点是在射线上的的平行线交射线上，使一个动点，过点作于点，点在

13、射线始终与直线垂直（1）如图1，当点与点重合时，求的长；（2）如图2，试探索：的比值是否随点的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点在线段上，设出它的定义域，求关于的函数关系式，并写【答案】（1）解：由题意，得,在中，（2）解：答：的比值随点的运动没有变化理由：如图，,，的比值随点的运动没有变化,比值为（3）解：延长交的延长线于点,又,它的定义域是【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=8,C=A=90，在BCP中，根据正切函数的定义得出tanPBC=PCBC，又tanPBC=，从而得出PC的长，进而得出RP的长，根据

14、勾股定理得出PB的长，然后判断出PBCPRQ，根据相似三角形对应边成比例得出PBRP=PCPQ,从而得出PQ的长；（2）RMMQ的比值随点Q的运动没有变化,根据二直线平行同位角相等得出1=ABP,QMR=A，根据等量代换得出QMR=C=90，根据根据等角的余角相等得出RQM=PBC，从而判断出RMQPCB，根据相似三角形对应边成比例，得出PMMQ=PCBC,从而得出答案；（3）延长BP交AD的延长线于点N，根据平行线分线段成比例定理得出PDAB=NDNA,又NA=ND+AD=8+ND，从而得出关于ND的方程，求解即可得出ND，根据勾股定理得出PN，根据平行线的判定定理得出PDMQ,再根据平行线

15、分线段成比例定理得出PDMQ=NPNQ,又RMMQ=34,RM=y，从而得出MQ=y,又PD=2,NQ=PQ+PN=x+，根据比例式，即可得出y与x之间的函数关系式。5如图1，ABCCDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系_；（2）现将图1CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H.请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系_；（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BCkAC，CDkCE，如图3，写出PM与PN的数量关系

16、，并加以证明.【答案】（1）PMPN，PMPN（2）PMPN，PMPN（3）解：PMkPN，ACBECD是直角三角形，ACBECD90.ACB+BCEECD+BCE.ACEBCD.BCkAC，CDkCE，k.BCDACE.BDkAE，点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PMBD，PNAE.PMkPN.【解析】【解答】解：（1）PMPN，PMPN，理由如下：ACBECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90.ACEBCD中，ACEBCD（SAS），AEBD，EACCBD，BCD90，CBD+BDC90，EAC+BDC90点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

17、PMBD，PNAE，PMPN，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，PMBC，PNAE，NPDEAC，MPNBDC，EAC+BDC90，MPA+NPC90，MPN90，即PMPN，故答案为：PMPN，PMPN；（2）PMPN，PMPN，理由：ACBECD是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90.ACB+BCEECD+BCE.ACEBCD，ACEBCD（SAS）.AEBD，CAECBD.又AOCBOE，CAECBD，BHOACO90.点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，PMBD，PMBD；PNAE，PNAE.PMPN.MGE+BHA180.MGE90.MPN9

18、0.PMPN.故答案为：PMPN，PMPN【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出结论判断出ACEBCD，得出AE=BD，再用三角形的中位线即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）利用两边对应成比例夹角相等，判断出BCDACE，得出BD=kAE，最后用三角形的中位线即可得出结论.6如图1，图形ABCD是由两个二次函数与的部分图像围成的封闭图形，已知A(1，0)、B(0，1)、D(0，3)（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得BDC与A

19、DE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标【答案】（1）解：（2）解：存在，理由：当该内接正方形的中心是原点O，且一组邻边分别平行于x轴、y轴时，设M（x,-x2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M（x,3x2-3）为第四象限内的图形上一点，MM=（1-x2）-3（3x2-3）=4-4x2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，则2x=4-4x2，即2x2+x-2=0，x=或（舍），0，存在内接正方形，此时其边长为（3）解：解：在AOD中，OA=1，OD=3，AD=，同理CD=.在BOC中，OB=OC=1，BC=如图（1）.当DBCDAE时，因CDB=ADO，在y轴上存在一点E，由得

20、，得DE=，因D（0，-3），E（）；由对称性知在直线DA右侧还存在一点EDBCDAE，连接EE交DA于F点，作EMOD，垂足为M，连接ED，E、E关于DA对称，DF垂直平分EE，DEFDAO，有，.因，又OM=1，得，在DEM中，DM=，使得DBCDAE的点E的坐标为（0，如图（2）,）或；DBCADE时，有BDC=DAE，即，得AE=.当E在直线DA左侧时，设AE交y轴于P点，作EQAC，垂足为Q.由BDC=DAE=ODA，PD=PA，设PD=x，则PO=3-x，PA=x，在AOP中，由PO=，因AE=，PE=，AEQ中，OPEQ，得，又得，解得，则有PA=，QE=2，E（），当E在直线D

21、A右侧时，因DAE=BDC，又BDC=BDA，BDA=DAE，则AEOD，E（1，），则使得DBCADE的点E的坐标为或.综上，使得BDCADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即（0，,）或或或【解析】【解答】（1）二次函数得经过点A（1,0），B（0,1）代入解得二次函数；二次函数经过点A（1,0），D（0,-3）代入得解得二次函数.【分析】（1）由A（1,0），B（0，1）代入二次函数解出k，m的值可得二次函数y1的表达式；由A（1,0），D（0，-3）代入二次函数解出k，m的值可得二次函数y1的表达式；（2）判断是否存在，可以列举出一种特殊情况：当该内接正方形的中心是

22、原点O，且一组邻边分别平行于x轴、y轴时，则可设点M（x,-x2+1）在y1图象上，则该正方形存在另一点M（x,3x2-3）在y2图象上，由邻边相等构造方程解答即可；（3）对于BDCADE相似，且C于D对应，那么就存在两种情况：当点B对应点ADBCDAE，此时点E的位置有两处，一处在y轴上，另一处在线段AD的右侧；当点B对应点DA时，即DBCADE，些时点E有两处，分别处于线段AD的左右两侧；结果两种情况所有的条件解出答案即可.7（1）【发现】如图，已知等边，将直角三角形的角顶点任意放在边、上（点不与点、重合），使两边分别交线段于点、.若求证：，则_；._（2）【思考】若将图中的三角板的顶点在

23、边上移动，保持三角板与、的两个交点、都存在，连接，如图所示.问点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）【探索】如图，在等腰中，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接.设，则与的周长之比为_（用含的表达式表示）.【答案】（1）解：4；证明：EDF=60，B=160CDF+BDE=120，BED+BDE=120，BED=CDF，又B=C，（2）解：解：存在。如图，作DMBE，DGEF，DNCF，垂足分别为M，G，N，平分且平分，DM=DG=DN，又B=C=60，BMD=CND=90，B

24、DMCDN，BD=CD，即点D是BC的中点，。（3）1-cos【解析】【解答】（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC=6，B=C=60，AE=4，BE=2，则BE=BD，BDE是等边三角形，BDE=60，又EDF=60，CDF=180-EDF-B=60，则CDF=C=60，CDF是等边三角形，CF=CD=BC-BD=6-2=4。（3）连结AO，作OGBE，ODEF，OHCF，垂足分别为G，D，H，则BGO=CHO=90，AB=AC，O是BC的中点B=C，OB=OC，OBGOCH，OG=OH，GB=CH，BOG=COH=90，则GOH=180-（BOG+COH）=2，EOF=B=，则GOH=

25、2EOF=2，由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明），则=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设AB=m，则OB=mcos，GB=mcos2,【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE=BD的，又B=60，可知BDE是等边三角形，可得BDE=60，另外EDF=60，可证得CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；证明，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DMBE，DGEF，DNCF，则DM=DG=DN，从而通过证明BDM

26、CDN可得BD=CD；（3）【探索】由已知不难求得=2(m+mcos)，则需要用m和的三角函数表示出，=AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OGBE，ODEF，OHCF，可得EG=ED，FH=DF，则=AE+EF+AF=AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得。8如图，已知一次函数y=x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N.当N与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个

27、交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、QAPQCDE相似时，求点P的坐标.【答案】（1）解：当x=0时，y=4，A（0，4），OA=4，当y=0时，-x+4=0，x=3，B（3，0），OB=3，由勾股定理得：AB=5（2）解：如图1，过N作NHy轴于H，过M作MEy轴于E，tanOAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，M（3x，-4x+4），由旋转得：AM=AN，MAN=90，EAM+HAN=90，EAM+AME=90，HAN=AME，AHN=AEM=90，AHNMEA，AH=EM=3x，N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NGx轴，NG=OH，则

28、5x=3x+4，2x=4，x=2，M（6，-4）；如图2，由知N（8，10），AN=DN，A（0，4），D（16，16），设直线DM：y=kx+b，把D（16，16）和M（6，-4）代入得：，解得：，直线DM的解析式为：y=2x-16，直线DM交x轴于E，当y=0时，2x-16=0，x=8，E（8，0），由知：N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），E与切点G重合，QAP=OAB=DCE，APQCDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：iDCEQAP时，如图2，AQP=NDE，QNA=DNF，NFD=QAN=90，AONE，ACONCE，CO=，连接BN，AB=BE=5，BAN=BEN=

29、90，ANB=ENB，EN=ND，NDE=NED，CNE=NDE+NED，ANB=NDE，BNDE，ABN中，BN=，sinANB=NDE=，NF=2DF=4，QNA=DNF，tanQNA=tanDNF=，AQ=20，tanQAH=tanOAB=，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，5x=20，x=4，QH=3x=12，AH=16，Q（-12，20），同理易得：直线NQ的解析式：y=-x+14，P（0，14）；iiDCEPAQ时，如图3，APN=CDE，ANB=CDE，APNG，APN=PNE，APN=PNE=ANB，B与Q重合，AN=AP=10，OP=AP-OA=10-4=6，P（0，-

30、6）；综上所述，APQCDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）根据同角的三角函数得：tanOAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明AHNMEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；如图2，先计算E与G重合，易得QAP=OAB=DCE，所以APQCDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i）当DCEQAP时，证明ACONCE，列比例式可得CO=tanQNA=tanDNF=，AQ=20，则tanQA

31、H=tanOAB=，根据三角函数得：，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；iiDCEPAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.9已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，D90，ADCD2，点E在边AD上（不与点A、D重合），CEB45，EB与对角线AC相交于点F，设DEx.（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把CAE的周长记作CCAE，BAF的周长记作CBAF，设于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ABE的正切值是时，求AB的长.【答案】（1）解：AD=CD.DAC=ACD=45，CEB=45，DAC=CEB，EC

32、A=ECA，CEFCAE，y，求y关在CDE中，根据勾股定理得，CE=，CA=，CF=；（2）解：CFE=BFA，CEB=CAB，ECA=180CEBCFE=180CABBFA，ABF=180CABAFB，ECA=ABF，CAE=ABF=45，CEABFA，（0x2）（3）解：由（2）知，CEABFA，AB=x+2，ABE的正切值是，tanABE=，x=，AB=x+2=.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得DAC=ACD=45，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得CEFCAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由ABE的正切值求解.10如图所示，在ABC中，ABAC5，O为BC边中点，BC8，点E、G是线段AB上的动点（不与