旋转模型专题新选

1、旋转模型专题、等线段共点等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形 三、按模型分类1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、 CBN是等边三角形.常见结论：(1) AN BM(2) CD CE(3) CF 平分 AFB(4) CDE是等边三角形.(5) Z 60°且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD中，求证：AC2 CD2 BC23、已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中AC

2、AD。如图，若DAC 2 ABC , AC BC ,四边形ABCD是平行四边形，贝 U ABC 如图，若 ABC 30 , ACD是等边三角形，AB 3 , BC 4，求BD 的长；如图，若 ACD为锐角，作AH BC于H，当BD2 4AH2 BC2时，DAC 2 ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC ,点D、E分别 为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线 段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE ,连结ED ,使问题得到解决.

3、请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你 的猜想给予证明; 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如 图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的 猜想并给予证明.图15、在正方形中，点E、F分别在边、上，且/45(1)将绕着点A顺时针旋转90°,得到，如图1,求证：旦； 若直线与、的延长线分别交于点，如图 2, 求证：EF2 ME2 NF2若其余条件不变，请你(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，直接写出线段，之间的数量关系。AD6、在等边ABC的两边，所在直线上分别有两点 M N D为ABC外一点，

4、且 MDN 60 , BDC 120 , BD CD，探究：当点 M N 分别爱直线，上移动时，之间的数量关系及 AMN的周长与等 边ABC的周长L的关系.如图，当点M N在边，上，且时，之间的数量关系式; 此时QL如图，当点 M N在边，上，且DM DN时，猜想（1）问的两 个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； 如图，当点 M N分别在边，的延长线上时，若，则（用X ,L表示）图（1）图(2)图(3)三、对角互补类7、已知： MAN , AC 平分 MAN .在图 1中，若 MAN DCB 90，证明： AB AD .2AC .在图2中，若 MAN 120 , DCB 60，探究AB、A

5、D、AC三者之间的数量关系，并给出证明；在图 3 中：若 MAN （ 0180 ）， DCB 180，则AB AD AC （用含 的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）MN&如图1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称 中心，MN交AB于F， QM交AD于E .猜想：ME与MF的数量关系 如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M B , 其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB:BC 1:2 , 其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.如图4,若将原题中的“正方形”

6、改为平行四边形，且MB ,AB: BC m，其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）CBM图3NP四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角 ABC中， ACB 90。, AC BC , M是AB的中点，点 P 从B出发向C运动，MQ MP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和 面积将如何变化.10、等腰直角三角形ABC , ABC 90 ,AB 2 ,0为AC中点，EOF 45 ,求厶BEF的周长.11、已知中，/ 90°, D为边的中点，/ 90°,/绕D点旋 转，它的两边分别交、（或延长线）于E、F.眾绕D点旋转到丄于E时（如图1）,易证Sdef Scef如c2当/绕D

7、点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上Sa def Sacef Sa abc述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，,又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.图2五、等线段共点12、如图所示，P是等边ABC内部一点，PC 3, PA 4 , PB 5 , 求ABC的边长.S BPC = S ABP ,S APC = S ABC ,13、P 为等边 ABC 内一点， APB 113o , APC 123o，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各 内角的度数14、如图，P为正方形内一点，= 点按逆时针旋转90到DCM的位置1, = 2,=

8、3，将 PAD绕着 D(1)求APD的度数。(2)求正方形的边长M六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PA PB PC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点若三角形内角均小于120，则满足条件 APB BPC APC 120时， 点P既为费马点解决问题：如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外 作等边 ABD、 ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点 P为 ABC的费马点。（即证明 APB BPC APC 120 ）且PA PB PC CDE如图，点Q

9、为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角 线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN ,连接AM、CM 、 EN .求证：AMB也ENB当M点在何处时，AM CM的值最小;当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由；当AMBM CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长.17、阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1, 中，/ 30o, 6, 5,在内部有一点P,连接、，求的最小值.15 / 20word图2CAD图3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三 条端点重合于

10、一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线， 并让折线的两个端点为定点， 这样依据“两点之间，线段最短”， 就可以求出这三条线段和的最小值了. 他先后尝试了翻折、旋转、 平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如 图2,将绕点C顺时针旋转60o,得到，连接、，贝V的长即为 所求.(1) 请你写出图2中，的最小值为;(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3,菱形中，/ 60o,在菱形内部有一点 P,请 在图3中画出并指明长度等于最小值的线段(保留画 图痕迹，画出一条即可)：若中菱形的边长为 4, 请直接写出当值最小时的长.七、最值问题18、已知：PA 2 , PB 4

11、 ,以AB为一边作正方形 ABCD ,使P、D两 点落在直线AB的两侧.如图，当 APB 45时，求AB及PD的长；当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应 APB的 大小.C19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，点D是BC 的中点. 作正方形 DEFG ,使点A、C分别在DG禾口 DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后 (旋转角度大 于0 ,小于或等于360 °),如图，通过观察或测量等方法判断(1 )中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不 成立，请说明理由.若BC DE 2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.F八、综合应用 20、已知：在 Rt ABC 中，AB BC，在 Rt ADE 中，AD DE ,连结 EC , 取EC的中点M，连结DM和BM . 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图， 探索BM、DM的关系并给予证明； 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.C21、已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，