期权定价的二叉树模型

1、第第7 7章章 期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型 单步二叉树模型单步二叉树模型 风险中性定价原理风险中性定价原理 两步二叉树模型两步二叉树模型一、单步二叉树模型一、单步二叉树模型020S 22uTS 18dTS1uTc 0dTc 0?c 执行价格为执行价格为21元的看涨期权。元的看涨期权。3 3个月个月 一个示例一个示例2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型2/39 股票和股票期权所面临的系统风险相关，适股票和股票期权所面临的系统风险相关，适当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险组合。组合。考虑以下组合：考虑以下组合：买入买入1份

2、股票看涨期权份股票看涨期权卖空卖空股股票股股票 显然，适当调整显然，适当调整可以使得上述组合为无风可以使得上述组合为无风险组合。险组合。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型3/39 如果这个组合是无风险组合，则其价值与如果这个组合是无风险组合，则其价值与状态无关，所以，以下数学表达式成立：状态无关，所以，以下数学表达式成立：22118 解得，解得，0.25 也就是说，也就是说，1份看涨期权多头加上份看涨期权多头加上0.25股股股股票空头构成的组合是无风险组合。票空头构成的组合是无风险组合。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型4/394.50元元5.00-C0元元3 3个

3、月个月12%fr 31212%05.004.50ce00.633c 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型5/39 单步二叉树模型的推广单步二叉树模型的推广0u Suf0d Sdf0SfTt1,01ud无风险组合：无风险组合：股股票多头股股票多头+1份期权空头份期权空头2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型6/3900udu Sfd Sf 01ffrT trT tufSu efe 000ffrT trT tduSfd Sfeu Sfe 00udffu Sd S 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型7/390001ffrT trT tudufffSu efeu S

4、d S1ffrT trT tudufffu efeud 将将代入代入f，得，得1ffffrT trT trT trT tududuuffffu efu eu fed feud 111ffrT trT tudffd efu eudfffrT trT trT tudeduefffeudud2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型8/39fffrT trT trT tudeduefffeudud1rT tffrT tedpu duepud 1frT tudffpfpe2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型9/39在之前的示例中，在之前的示例中，1.1,0.9,12%,fudr0.2

5、5,1,0udTtff 。我们得到：我们得到：12% 0.251 0.652301 0.65230.633fe 结果与之前一致。结果与之前一致。12% 0.250.90.65231.1 0.9frT tedepud2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型10/39 单步二叉树模型至少给我们两点启示：单步二叉树模型至少给我们两点启示： 期权价格与股票价格变化的真实概率无期权价格与股票价格变化的真实概率无关（这与我们的直觉不一致）关（这与我们的直觉不一致） 期权价格在定价形式上可以看成到期日期权价格在定价形式上可以看成到期日价值期望值的贴现值（按无风险利率贴现）价值期望值的贴现值（按无风险

6、利率贴现）0frT tedpud2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型11/39二、风险中性定价二、风险中性定价 风险中性假设风险中性假设 公平赌博公平赌博是指赌博结果的预期只应当和入局是指赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均的意义上来讲应当是平均的意义上来讲应当是“不输不赢不输不赢”。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型12/39 有一个掷硬币的赌局（假定硬币是完全对有一个掷硬币的赌局（假定硬币是完全对称的），正面朝上可以赢得称的），正面朝上可以赢得20002000元，反面朝上元，反面朝上则无钱收

7、回。试问你愿意以多少钱作为入局费则无钱收回。试问你愿意以多少钱作为入局费参加这样的赌博？参加这样的赌博？公平的入局费公平的入局费200020005050+0+0505010001000元元2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型13/39 如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对风险采取无所谓的态度。风险采取无所谓的态度。入局费入局费10001000元元 风险厌恶者风险厌恶者 众多众多入局费入局费10001000元元 风险中性者风险中性者入局费入局费10001000元元 风险

8、喜好者风险喜好者 极少极少愿意支付的入局费愿意支付的入局费 风险类型风险类型 数量数量2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型14/39财富的效用财富的效用愿意支付的愿意支付的风险金风险金W W0 0W Wh h风险厌恶者风险厌恶者风险中性者风险中性者风险喜好者风险喜好者不同风险类型者的财富效用曲线不同风险类型者的财富效用曲线凹性效用函数凹性效用函数线性效用函数线性效用函数凸性效用函数凸性效用函数金融学金融学2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型15/39u u1 1u u1 1u u1 1u u2 2u u2 2u u2 2U Uf f（财富）（财富）U Ug g（E E（

9、R R）U Uh h（风险）（风险）U Uq q（R R）R R（R R）风险回避型效用函数风险回避型效用函数风险爱好型效用函数风险爱好型效用函数风险中立型效用函数风险中立型效用函数投资学投资学rrr E r E r2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型16/39 E r 风险中性的投资者对风险不要求回报，他风险中性的投资者对风险不要求回报，他们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险收益率。收益率。投资回报率投资回报率=无风险利率无风险利率+风险溢价风险溢价2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型17/39 在一个假想的风险中性的世界在

10、一个假想的风险中性的世界（Risk-Neutral World ）里，所有的市场参与者都是风里，所有的市场参与者都是风险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按无风险收益率贴现的价值（即现值）。无风险收益率贴现的价值（即现值）。 这就是风险中

11、性定价的基本思想。这就是风险中性定价的基本思想。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型18/39 我们回到之前的示例中，在那里，我们可我们回到之前的示例中，在那里，我们可以把股票价格上升的概率定义为以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到，于是在到期日期日T时刻，股票价格的期望值为：时刻，股票价格的期望值为： 001TE Sp u Spd S代入代入p值，得值，得0frT tTE SSe0fr T tTSE Se 在我们的假设下，从概率角度讲，股票价格在我们的假设下，从概率角度讲，股票价格以无风险利率增长（也就是说股票的期望收益率以无风险利率增长（也就是说股票的期望收益率等于无风险利

12、率）。等于无风险利率）。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型19/39 所谓风险中性假设就是：所谓风险中性假设就是： 如果对一个问题的分析过程和投资者的风险如果对一个问题的分析过程和投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应成立。里也应成立。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型20/39 风险中性定价理论风险中性定价理论 风险中性理论又称风险中性定价方法风险中性理论又称风险中性定价方法（ Risk Neutral Pricing

13、 Theory ），是考克斯（），是考克斯（Cox J.C.）和斯蒂芬）和斯蒂芬罗斯（罗斯（Stephen A. Ross）于）于19761976年年推导期权定价公式时建立的。推导期权定价公式时建立的。 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型21/39 风险中性定理表达了资本市场中的这样的风险中性定理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。

14、投资者的风险态度无关的。 这个结论在数学上表现为衍生证券定价的这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。量，尤其是期望收益率。 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型22/3912121212fffffrT ttrT trT ttrT tTrT tTcSN dX eN dS eN dX N deE SN dX N deE SN dX N de222212fffffrSSrftSS2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型23/39 利用风险中性假设的分析方法进行金融利用风险中性假设的

15、分析方法进行金融产品的定价，其核心环节是构造出风险中性产品的定价，其核心环节是构造出风险中性的概率。的概率。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型24/3922uS 18dS 020S Ttp1p12%fr 标的股票价格变动路径标的股票价格变动路径12% 0.252218 120ppe解得解得0.6523p 即股票价格上升的即股票价格上升的概率为概率为0.6523。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型25/3922uS 1uf 18dS 0df 020S fTt10.3477p0.6523p 12%fr 12% 0.251 0.652301 0.3477f e 解得解得0

16、.633f 1frT tudfpfpf e股票看涨期权价格变动路径股票看涨期权价格变动路径这与在真实世界里利用无这与在真实世界里利用无套利理论得出的定价结论套利理论得出的定价结论是一致的。是一致的。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型26/39 注意，我们在风险中性定价过程中使用的标注意，我们在风险中性定价过程中使用的标的股票价格上升的概率不是真实的概率，而是假的股票价格上升的概率不是真实的概率，而是假想的概率（称为风险中性概率），这个假想是建想的概率（称为风险中性概率），这个假想是建立在股票的期望收益率等于无风险利率的基础上立在股票的期望收益率等于无风险利率的基础上的。事实上，股

17、票价格是按期实际收益率上升的，的。事实上，股票价格是按期实际收益率上升的，如果股票的实际收益率为如果股票的实际收益率为16%，则其价格上升的，则其价格上升的概率为以下表达式中的概率为以下表达式中的q：16% 0.252218 120qqe解得解得0.7041q 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型27/39 与此对应，在真实世界里，该股票期权在到与此对应，在真实世界里，该股票期权在到期日的预期价值为：期日的预期价值为：1010.7041qq 由此可以得到期权的预期收益率由此可以得到期权的预期收益率0.7041ln442.58%0.633cr 股票期权的预期收益率明显高于股票的预期股

18、票期权的预期收益率明显高于股票的预期收益率。这与我们的直觉是一致的，因为期权的收益率。这与我们的直觉是一致的，因为期权的风险要高于股票的风险。风险要高于股票的风险。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型28/39对风险中性定价原理的总结：对风险中性定价原理的总结： 在风险中性的经济环境中，投资者并不要在风险中性的经济环境中，投资者并不要求风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生求风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；由证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好

19、等于无风险利率，所以基础证券贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现值或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现值与它们当前的价值相等。与它们当前的价值相等。 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型29/39 假定风险中性世界中基础资产价格上升的假定风险中性世界中基础资产价格上升的概率为概率为p，由于其未来价格的期望值按无风险，由于其未来价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等于其当前的价格，因此利率贴现的现值必须等于其当前的价格，因此该概率可通过下式求得：该概率可通过下式求得：frTtedpud01frT tudSep SpS则以该资产为标的物的衍

20、生证券的价格为：则以该资产为标的物的衍生证券的价格为：1frTtudfepfpf2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型30/39三、两步二叉树模型三、两步二叉树模型 一个示例一个示例020 ?Sf022 ?uu Sf020 ?dd Sf2024.2 3.2uuuSf019.8 0duu d Sf2016.2 0dddSf两步二叉树中的股票价格和期权价格两步二叉树中的股票价格和期权价格2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型31/39 根据单步二叉树的定价原理，可以可以将根据单步二叉树的定价原理，可以可以将上述两步二叉树分离为三个单步二叉树（从右上述两步二叉树分离为三个单步二叉

21、树（从右向左；先上后下）：向左；先上后下）：022 ?uu Sf2024.2 3.2uuuSf019.8 0duu d Sf0 .6 5 2 3frTtedpud12.0257frTtuuudufepfpf2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型32/39018 ?dd Sf2019.8 0duuSf2016.2 0dddSf根据无套利原则，得根据无套利原则，得 0df 2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型33/39022 ?Sf022 2.0257uu Sf018 0dd Sf0 .6 5 2 3frTtedpud11.2823frTtudfepfpf2021-12-27

22、第7章 期权定价的二叉树模型34/39 两步二叉树的一般形式两步二叉树的一般形式0 Sf0 uu Sf0 dd Sf20 uuuSf0 duu d Sf20 dddSfttfrtedpud1frtudfepfpf2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型35/39 依据单步二叉树定价法，可得以下三表达依据单步二叉树定价法，可得以下三表达式：式：1frtuuudufepfpf1frtdduddfepfpf1frtudfepfpf将前两式代入第三式，整理得到将前两式代入第三式，整理得到222211frtuududdfepfppfpf这个结论验证了风险中性原理。这个结论验证了风险中性原理。2021-12-27第7章 期权定价的二叉树模型36/39 例例7.1 考虑一个考虑一个2年期的欧式股票看跌期权，年期的欧式股票看跌期权，其执行价格为其执行价格为52元，当前标的股票的价格为元，当前标的股票的价格为50元。我们假定股票价格为两步二叉树，每个步元。我们假定股票价格为两步二叉树，每个步长为长为1年，在每个步长中，股票价格按年，在每个步长中，股票价格按20%的比的比例上升或下降。如果每个步长的无风险利率均例上升或下降。如果每个步长的无风险利率均为为5%（连续复利），试绘制出股票价格和股票（连续复利），试绘制出股票价格和股票期权价格的两步二叉树，并确