全程复习方略2016届高考数学教师用书配套课件第五章数列52等差数列及其前n项和

1、第二节 等差数列及其前n项和 【知识梳理】【知识梳理】 1.1.必会知识必会知识 教材回扣教材回扣 填一填填一填 (1)(1)等差数列的概念等差数列的概念 : : 同一个常数同一个常数 如果一个数列从第如果一个数列从第 2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的差等于每一项与它的前一项的差等于 _, _, 公差公差 一般一般 那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列 , ,这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的 _,_,* *) ) a a-a-a =d(nN=d(nNn+1n+1n n用字母用字母d d表示表示; ;定义的表达式为定义的表达式为 :_. :_. (2)(2)等

2、差中项等差中项: : a?b如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列, ,那么那么A A叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项, ,且且A=_. A=_. 2(3)(3)等差数列的通项公式等差数列的通项公式 : : a a1 1+(n-1)d +(n-1)d 若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公差是公差是d,d,则其通项公式为则其通项公式为 a an n=_. =_. (4)(4)等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: : 已知条件已知条件 a a1 1,a,an n,n ,n a a1 1,d,n ,d,n 前前n n项和公式项和公式 n(

3、a1?an) S Sn n= = 2n(n?1)na1?d S Sn n= = 22.2.必备结论必备结论 教材提炼教材提炼 记一记记一记 * *). ). (n-m)d (n-m)d (1)(1)通项公式的推广通项公式的推广 :a:an n=a=am m+_(n,mN+_(n,mN(2)(2)等差数列的性质等差数列的性质 : : 若若aan na ak k+a+al=a=am m+a+an n * * 是等差数列是等差数列, ,且且k+k+l=m+n(k,=m+n(k,l,m,nN,m,nN ),),则则_; _; a a +a+a =2a=2ak klm m k+k+l=2m=2m? ?

4、_(k,_(k,l,mN,mN* *). ). 若若aan nn n 是等差数列是等差数列, ,则则papan n+qb+qbn n(nN(nN* *) )是等差数列是等差数列. . S Sm m,S,S2m2m,S,S3m3m分别为分别为aan n 的前的前m m项项, ,前前2m2m项项, ,前前3m3m项的和项的和, ,则则S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m, , S S -S-S3m3m2m 2m _成等差数列成等差数列. . anS2n?1.两个等差数列两个等差数列 aan nn n 的前的前n n项和项和S Sn n,T,Tn n之间的关系为之间的关系为 ?bnT2n?1充

5、分充分 数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=An=An2 2+Bn(A0)+Bn(A0)是是 aan n 成等差数列的成等差数列的_条件条件. . 递增递增 (3)(3)等差数列的增减性等差数列的增减性 :d0:d0时为时为_数列数列, ,且当且当a a1 100时前时前n n项和项和S Sn n有最有最 递减递减 小值小值.d0.d00时前时前n n项和项和S Sn n有最大值有最大值. . 3.3.必用技法必用技法 核心总结核心总结 看一看看一看 (1)(1)常用方法常用方法: :整体代入法、待定系数法整体代入法、待定系数法 , ,等差数列的判定方法等差数列的判定方法

6、, ,求等差求等差数列前数列前n n项和的最大项和的最大( (小小) )值的方法等值的方法等. . (2)(2)数学思想数学思想: :函数与方程、分类讨论、化归与转化函数与方程、分类讨论、化归与转化 . . 【小题快练】【小题快练】 1.1.思考辨析思考辨析 静心思考静心思考 判一判判一判 (1)(1)若一个数列从第若一个数列从第 2 2项起每一项与它的前一项的差都是常数项起每一项与它的前一项的差都是常数 , ,则这个则这个 数列是等差数列数列是等差数列 .( .( ) ) (2)(2)数列数列aan n 为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意nNnN* *, ,都有都有2a

7、2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2. . ( ( ) ) (3)(3)等差数列等差数列aan n 的单调性是由公差的单调性是由公差 d d决定的决定的.( .( ) ) (4)(4)数列数列aan n 为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为 n n的一次函数的一次函数. . ( ( ) ) (5)(5)等差数列的前等差数列的前n n项和公式是常数项为项和公式是常数项为 0 0的二次函数的二次函数.( .( ) ) 【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .若这些常数都相等若这些常数都相等 , ,则这个数列是等差数列则这个数列是等差数列 ; ;若这些

8、若这些常数不全相等常数不全相等, ,这个数列就不是等差数列这个数列就不是等差数列 . . (2)(2)正确正确. .如果数列如果数列aan n 为等差数列为等差数列, ,根据定义根据定义a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1-a-an n, ,即即2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2; ;反之反之, ,若对任意若对任意nNnN* *, ,都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2, ,则则a an+2n+2- -a an+1n+1=a=an+1n+1-a-an n=a=an n-a-an-1n-1= =a=a2 2-a-a1 1, ,根

9、据定义数列根据定义数列aan n 为等差数列为等差数列. . (3)(3)正确正确. .当当d0d0时为递增数列时为递增数列 ;d=0;d=0时为常数列时为常数列;d0;d0时为递减数列时为递减数列. . (4)(4)错误错误. .根据等差数列的通项公式根据等差数列的通项公式 ,a,an n=a=a1 1+(n-1)d=dn+(a+(n-1)d=dn+(a1 1-d),-d),只有当只有当d0d0时时, ,等差数列的通项公式才是等差数列的通项公式才是 n n的一次函数的一次函数, ,否则不是否则不是. . n(n?1)d2(5)(5)错误根据等差数列的前错误根据等差数列的前 n n项和公式项和

10、公式 Sn?na1?d?n?22d (a1?)n，显然只有公差显然只有公差d0d0时才是关于时才是关于 n n的常数项为的常数项为0 0的二次函数，的二次函数， 2否则不是否则不是( (甚至也不是甚至也不是n n的一次函数，即的一次函数，即 a a1 1=d=0=d=0时时) ) 答案：答案：(1)(1) (2) (3) (4)(2) (3) (4) (5) (5) 2.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练 (1)(1)(必修必修5P385P38例例1(1)1(1)改编改编) )已知等差数列已知等差数列-5,-2,1,-5,-2,1, ,则该数列的第则该数列的第2020项为项为

11、 . . 【解析】【解析】依题意得依题意得, ,该等差数列的首项为该等差数列的首项为 -5,-5,公差为公差为3, 3, 所以所以a a2020=-5+19=-5+193=52,3=52,故第故第2020项为项为52. 52. 答案答案: :52 52 (2)(2)(必修必修5P46T55P46T5改编改编) )在在100100以内的正整数中有以内的正整数中有 个能被个能被6 6整除整除 的数的数. . 【解析】【解析】由题意知由题意知, ,能被能被6 6整除的数构成一个等差数列整除的数构成一个等差数列 aan n, , 则则a a1 1=6,d=6,=6,d=6,得得a an n=6+(n-

12、1)6=6n. =6+(n-1)6=6n. 42由由a an n=6n100,=6n100,即即nn 16?16 ,63则在则在100100以内有以内有1616个能被个能被6 6整除的数整除的数. . 答案答案: :16 16 3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试 (1)(2014(1)(2014重庆高考重庆高考 ) )在等差数列在等差数列a an n中中,a,a1 1=2,a=2,a3 3+a+a5 5=10,=10,则则a a7 7=( =( ) ) A.5 B.8 C.10 D.14 A.5 B.8 C.10 D.14 【解析】【解析】选选B.B.因为因为a a1 1

13、+a+a7 7=a=a3 3+a+a5 5, ,所以所以a a7 7=(a=(a3 3+a+a5 5)-a)-a1 1=10-2=8. =10-2=8. aa(2)(2014(2)(2014辽宁高考辽宁高考 ) )设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,若数列若数列 2为为 1 n递减数列递减数列, ,则则( ( ) ) A.d0 A.d0 C.aC.a1 1d0 D.ad0 d0 aaa a【解析】【解析】选选C.C.由数列由数列 又由指数函数又由指数函数2aa为递减数列，得为递减数列，得 2?2，1 n1 n1 n?1性质得性质得a a1 1a an-1n-1aa1 1a

14、an n. . 由等差数列的公差为由等差数列的公差为 d d知知,a,an n-a-an-1n-1=d, =d, 所以所以a a1 1a an-1n-1aa1 1a an n?a a1 1a an n-a-a1 1a an-1n-100?a a1 1(a(an n-a-an-1n-1)0)0?a a1 1d0. d0,S0,Sn n是数是数列列aan n 前前n n项的和项的和, ,若若S Sn n取得最大值取得最大值, ,则则n=( n=( ) ) A.7 B.8 C.9 D.10 A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】【解析】选选C.C.设公差为设公差为d,d,由题设得由题设得3(a3

15、(a1 1+3d)=7(a+3d)=7(a1 1+6d), +6d), 4所以所以 d? ?a1?0.334解不等式解不等式a an n0,0,即即 a1?n?1?(?a1)?0,3337所以所以 n?,则则n9,n9, 4当当n9n9时，时，a an n00，同理可得，同理可得n10n10时，时， a an n0. 0,d0,设设aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,S=1,S2 2SS3 3=36. =36. (1)(1)求求d d及及S Sn n. . (2)(2)求求m,k(m,kNm,k(m,kN* *) )的值的值, ,使得使得a am m+a+am

16、+1m+1+a+am+2m+2+a+am+km+k=65. =65. 【解析】【解析】(1)(1)由题意知，由题意知，(2a(2a1 1+d)(3a+d)(3a1 1+3d)=36, +3d)=36, 解得解得d=2d=2或或d=d=5(5(舍去舍去). ). n(n 1)2所以所以 Sn?na1?d?n?n?n1?n .2(2)(2)由由(1)(1)知，知，a am m+a+am+1m+1+a+am+2m+2+ +a+am+km+k=(2m+k=(2m+k1)(k+1)1)(k+1)， 所以所以(2m+k(2m+k1)(k+1)=651)(k+1)=65， 由由m,kNm,kN* *知，知，

17、2m+k2m+k1k+111k+11，故，故 1?13,?2m?k?m?5, 所以所以 ?k?1?5,?k?4.【加固训练】【加固训练】1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设等差数列设等差数列 aan n 的前的前n n项和项和为为S Sn n, ,若若S Sm-1m-1=-2,S=-2,Sm m=0,S=0,Sm+1m+1=3,=3,则则m=( m=( ) ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】【解析】选选C.C.方法一：由已知得，方法一：由已知得， a am m=S=Sm m-S-Sm-1m-1=2,a=2,am+1m+1=S=Sm+

18、1m+1-S-Sm m=3=3，因为，因为 数列数列aan n 为等差数列，所以为等差数列，所以 d=ad=am+1m+1-a-am m=1=1，又因为，又因为 Sm?m?a1?am?2?0 ，所以所以m(am(a1 1+2)=0+2)=0，因为，因为m0m0，所以，所以 a a1 1=-2=-2，又，又a am m=a=a1 1+(m-1)d=2+(m-1)d=2，解得，解得m=5. m=5. 方法二：因为方法二：因为S Sm-1m-1=-2=-2，S Sm m=0=0，S Sm+1m+1=3=3，所以，所以a am m=S=Sm m-S-Sm-1m-1=2=2，a am+1m+1=S=Sm

19、+1m+1-S-Sm m= = n(n?1)n(n?1)3 3，所以公差，所以公差d=ad=am+1m+1-a-am m=1,=1,由由 Sn?na1?d?na1?,m(m?1)?ma1?0, ?2得?(m?1)(m?2)? (m?1)a1? ?2. ?2?1?m代入可得代入可得m=5. m=5. 由得由得 a1?,222方法三：因为数列方法三：因为数列 aan n 为等差数列，且前为等差数列，且前 n n项和为项和为S Sn n, , Sn也为等差数列也为等差数列 . . 所以数列所以数列 Sm?1Sm?12Sm?23所以所以 ?,即?0 ，m?1m?1mm?1m?1n解得解得m=5.m=5

20、.经检验为原方程的解经检验为原方程的解 . .故选故选C. C. 2.2.数列数列aan n 满足满足a an+1n+1+a+an n=4n-=4n-3(nN3(nN* *). ). (1)(1)若若aan n 是等差数列是等差数列, ,求其通项公式求其通项公式. . (2)(2)若若aan n 满足满足a a1 1=2,S=2,Sn n为为aan n 的前的前n n项和项和, ,求求S S2n+12n+1. . 【解析】【解析】(1)(1)因为因为a an+1n+1+a+an n=4n-3, =4n-3, 所以所以a an+2n+2+a+an+1n+1=4n+1, =4n+1, 两式相减得两

21、式相减得a an+2n+2-a-an n=4. =4. 因为因为aan n 是等差数列是等差数列, , 设公差为设公差为d,d,所以所以d=2. d=2. 又因为又因为a a1 1+a+a2 2=1,=1,即即a a1 1+a+a1 1+d=1, +d=1, 51所以所以 an?2n?.a1? ?,所以所以 22(2)(2)因为因为a a1 1=2,a=2,a1 1+a+a2 2=1,=1,所以所以a a2 2=-1. =-1. 又因为又因为a an+2n+2-a-an n=4, =4, 所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列 , ,公差均为公差均为4

22、, 4, 所以所以a a2n-12n-1=4n-2,a=4n-2,a2n2n=4n-5. =4n-5. 所以所以S S2n+12n+1=(a=(a1 1+a+a3 3+ +a+a2n+12n+1)+(a)+(a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n) ) n?1?nn?n?1?n?1?2?4?n?1?4?4n2?n?2.22考点考点2 2 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 【典例【典例2 2】(1)(1)设设a an n=(n+1)=(n+1)2 2,b,bn n=n=n2 2- -n(nNn(nN* *),),则下列命题中不正确的则下列命题中不正确的 是是( ( ) ) A.aA.

23、an+1n+1-a-an n 是等差数列是等差数列 B.b B.bn+1n+1-b-bn n 是等差数列是等差数列 C.aC.an n-b-bn n 是等差数列是等差数列 D.a D.an n+b+bn n 是等差数列是等差数列 (2)(2015(2)(2015上海模拟上海模拟 ) )已知数列已知数列aan n,对于任意对于任意n2,n2,在在 a an-1n-1与与a an n之间插之间插入入n n个数个数, ,构成的新数列构成的新数列bbn n 成等差数列成等差数列, ,并记在并记在a an-1n-1与与a an n之间插入的这之间插入的这n n个数的算术平均值为个数的算术平均值为 c c

24、n-1n-1. . n?3n?8求求c c ,c,c ,c,c 的值的值; ; 若若a an n= = ，1 12 23 322在的条件下是否存在常数在的条件下是否存在常数 , ,使使ccn+1n+1- - c cn n 是等差数列是等差数列? ?如果存在如果存在, ,求出满足条件的求出满足条件的 ; ;如果不存在如果不存在, ,请说明理由请说明理由. . 【解题提示】【解题提示】(1)(1)根据等差数列的定义根据等差数列的定义 , ,逐一验证答案后作出判断逐一验证答案后作出判断 . . (2)(2)先分别求出先分别求出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4的值的值, ,再由已

25、知分别解出再由已知分别解出 c c1 1,c,c2 2,c,c3 3的值的值; ; 根据的结论根据的结论 , ,求出求出c cn-1n-1, ,再根据再根据(c(cn+1n+1- -ccn n)-(c)-(cn n- -ccn-1n-1) )为常数为常数, ,求求的值的值, ,视视的值是否存在则得结论的值是否存在则得结论 . . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.等差数列的通项公式是关于等差数列的通项公式是关于 n n的一次式形式的函的一次式形式的函数数( (一次项系数可以为一次项系数可以为 0).0).而而a an+1n+1-a-an n=2n+3,b=2n+3,bn+1n+1

26、-b-bn n=2n,a=2n,an n-b-bn n=3n+1,=3n+1,故故A A、B B、C C均正确均正确. . (2)(2)由题意知由题意知a a1 1=-2,a=-2,a2 2=1,a=1,a3 3=5,a=5,a4 4=10,=10,在在-2,1-2,1之间插入两个数之间插入两个数 , ,使之使之成为等差数列成为等差数列, ,则可得公差为则可得公差为1. 1. 1故在故在a a1 1与与a a2 2之间插入之间插入-1,0,-1,0,得得c c1 1= = ?；2在在a a2 2与与a a3 3之间插入之间插入2,3,4,2,3,4,得得c c2 2=3; =3; 15在在a

27、a3 3与与a a4 4之间插入之间插入6,7,8,9,6,7,8,9,得得c c3 3= = .2在在a an-1n-1与与a an n之间插入之间插入n n个数构成等差数列，个数构成等差数列， an?an?1则则 d?,n?1 n(an?1?an)2a?an?2n?92n?1n故cn?1?. n22假设存在假设存在使得使得 ccn+1n+1- -ccn n 是等差数列，是等差数列， 2n?52n?3则则(c(cn+1n+1- -ccn n)-(c)-(cn n- -ccn-1n-1)=c)=cn+1n+1-c-cn n- -(c(cn n-c-cn-1n-1)= )= ? ?2253 ?(

28、1? ?)n?为常数，为常数， 22所以所以=1.=1.即当即当=1=1时，时， ccn+1n+1- -ccn n 是等差数列是等差数列. . 【规律方法】【规律方法】等差数列的四个判定方法等差数列的四个判定方法 (1)(1)定义法定义法: :证明对任意正整数证明对任意正整数 n n都有都有a an+1n+1-a-an n等于同一个常数等于同一个常数 . . (2)(2)等差中项法等差中项法: :证明对任意正整数证明对任意正整数 n n都有都有2a2an+1n+1=a=an n+a+an+2n+2后后, ,可递推得出可递推得出a an+2n+2-a-an+1n+1=a=an+1n+1-a-an

29、 n=a=an n-a-an-1n-1=a=an-1n-1-a-an-2n-2=a=a2 2-a-a1 1, ,根据定义得出数列根据定义得出数列 aan n 为为等差数列等差数列. . (3)(3)通项公式法通项公式法: :得出得出a an n=pn+q=pn+q后后, ,得得a an+1n+1-a-an n=p=p对任意正整数对任意正整数n n恒成立恒成立, ,根根据定义判定数列据定义判定数列 aan n 为等差数列为等差数列. . (4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :得出得出S Sn n=An=An2 2+Bn+Bn后后, ,根据根据S Sn n,a,an n的关系的关系, ,

30、得出得出a an n, ,再使再使用定义法证明数列用定义法证明数列 aan n 为等差数列为等差数列. . 提醒提醒: :等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 , ,而对于通项公而对于通项公式和前式和前n n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断 . . 【变式训练】【变式训练】(2015(2015南昌模拟南昌模拟 ) )设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且a a5 5+a+a1313=34,S=34,S3 3=9. =9. (1)(1)求数列求

31、数列aan n 的通项及前的通项及前n n项和公式项和公式. . an(2)(2)设数列设数列bbn n 的通项公式为的通项公式为b bn n= = ,问问: :是否存在正整数是否存在正整数 t,t,使得使得an?tb b1 1,b,b2 2,b,bm m(m3,mN)(m3,mN)成等差数列成等差数列 ? ?若存在若存在, ,求出求出t t和和m m的值的值; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . ?2a1?16d?34,【解析】【解析】(1)(1)设公差为设公差为d,d,由题意得由题意得 ?3a1?3d?9,解得解得a a1 1=1,d=2=1,d=2，故，故a an n=2

32、n-1,S=2n-1,Sn n=n=n2 2. . (2)(2)由由(1)(1)知知 bn?2n?1,2n?1?t要使要使b b1 1,b,b2 2,b,bm m成等差数列，必须成等差数列，必须 2b2b2 2=b=b1 1+b+bm m, , 312m?1即即 2?,3?t1?t2m?1?t整理得整理得 m?3?4,t?1因为因为m,tm,t为正整数为正整数, ,所以所以t t只能取只能取2,3,5. 2,3,5. 当当t=2t=2时时,m=7; ,m=7; 当当t=3t=3时时,m=5; ,m=5; 当当t=5t=5时时,m=4. ,m=4. 所以存在正整数所以存在正整数 t,t,使得使得

33、b b1 1,b,b2 2,b,bm m成等差数列成等差数列. . 【加固训练】【加固训练】已知等差数列的前三项依次为已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,a,4,3a,前前n n项和为项和为S Sn n, , 且且S Sk k=110. =110. (1)(1)求求a a及及k k的值的值. . Sn(2)(2)设数列设数列bbn n 的通项的通项b bn n= = ，证明数列证明数列bbn n 是等差数列是等差数列, ,并求其前并求其前n n n项和项和T Tn n. . 【解析】【解析】(1)(1)设该等差数列为设该等差数列为 aan n, , 则则a a1 1=a,a=a,a2 2

34、=4,a=4,a3 3=3a, =3a, 由已知有由已知有a+3a=8, a+3a=8, 得得a a1 1=a=2,=a=2,公差公差d=4-2=2, d=4-2=2, k(k?1)k(k?1)所以所以 Sk?ka1?d?2k?2?k2?k.22由由S Sk k=110,=110,得得k k2 2+k-110=0, +k-110=0, 解得解得k=10k=10或或k=-11(k=-11(舍去舍去) )， 故故a=2,k=10. a=2,k=10. n(2?2n)(2)(2)由由(1)(1)得得 Sn?n?n?1?,2Sn则则 bn?n?1,n故故b bn+1n+1-b-bn n=(n+2)-(

35、n+1)=1, =(n+2)-(n+1)=1, 即数列即数列bbn n 是首项为是首项为2 2，公差为，公差为1 1的等差数列的等差数列, , 所以所以 Tn?n(2?n?1)?n(n?3).22考点考点3 3 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 知知考情考情 对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及 , ,有时以选择题、填空有时以选择题、填空题出现题出现, ,难度中等偏下难度中等偏下, ,有时在解答题中出现有时在解答题中出现 , ,常与求通项常与求通项a an n及前及前n n项和项和S Sn n结合命题结合命题, ,题目难度中等题目难度中等. . 明明角度

36、角度 命题角度命题角度1:1:根据等差数列的性质求基本量根据等差数列的性质求基本量 【典例【典例3 3】(2015(2015广州模拟广州模拟 ) )等差数列等差数列aan n 前前1717项和项和S S1717=51, =51, 则则a a5 5-a-a7 7+a+a9 9-a-a1111+a+a1313等于等于( ( ) ) A.3 B.6 C.17 D.51 A.3 B.6 C.17 D.51 【解题提示】【解题提示】利用等差数列的前利用等差数列的前 n n项和公式及性质求解项和公式及性质求解 . . a1?a17【规范解答】【规范解答】选选A.A.由于由于S S1717= = 17=17

37、a17=17a9 9=51, =51, 2所以所以a a9 9=3. =3. 根据等差数列的性质根据等差数列的性质 a a5 5+a+a1313=a=a7 7+a+a1111, , 所以所以a a5 5-a-a7 7+a+a9 9-a-a1111+a+a1313=a=a9 9=3. =3. 命题角度命题角度2:2:根据等差数列的性质求前根据等差数列的性质求前 n n项和的最值项和的最值 【典例【典例4 4】(2015(2015乌鲁木齐模拟乌鲁木齐模拟 ) )设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已已知知a a3 3=12,S=12,S12120,S0,S1

38、3130. 0,S0,S131300,S0,S13130,0,S0,S13130, 0, 12?11?12a?d?0,1?2a1?11d?0,?2所以所以 即即 ?a?6d?0.13?121?13a?d?0,1?2?又又a a3 3=a=a1 1+2d=12, +2d=12, 24所以解得所以解得 ?d? ?3.7(2)(2)由题意及等差数列的性质可得由题意及等差数列的性质可得 12(a1?a12)?S?6 a?a?0,?1267?2 所以所以a a7 70,a0. 0. ?S?13(a1?a13)?13a?0.137?2?所以在数列所以在数列aan n 中，前中，前6 6项为正，从第项为正，

39、从第 7 7项起，以后各项为负，项起，以后各项为负， 故故S S6 6最大最大. . 【一题多解】【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题，你知道几种解法？ 解答本题还有以下解法解答本题还有以下解法 . . n(n?1) (n=1,2,3, (n=1,2,3, ,12). ,12). Sn?na1?d2n(n?1)所以所以 Sn?n?12?2d?d22d5 12(5d?24)2= = n?(?)?.22d8d5 12 1324因为因为 ?d? ?3,所以所以 6?,2d27所以当所以当n=6n=6时，时，S Sn n有最大值，所以有最大值，所以 S S1 1,S,S2 2, ,S,S12

40、12中值最大的为中值最大的为S S6 6. . 悟悟技法技法 求等差数列的前求等差数列的前 n n项和项和S Sn n最大最大( (小小) )值的常用方法值的常用方法 ?am?0,1.1.邻项变号法：邻项变号法：(1)(1)当当a a1 100，d0d0时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取取?am?1?0得最大值为得最大值为S Sm m. . ?am?0,(2)(2)当当a a1 100时，满足时，满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最小值为取得最小值为S Sm m. . ?am?1?02.2.函数法：利用等差数列的前函数法：利用等差数列的前 n n项和项和

41、Sn?na1?n(n?1)d?dn2?(a1?d)n222(d0), S(d0), Sn n可看成关于可看成关于n n的二次函数式且常数项为的二次函数式且常数项为 0,0,借助二次函数的借助二次函数的 图象或配方法解决最值问题，注意图象或配方法解决最值问题，注意nNnN* *. . 通通一类一类 3?1.(20151.(2015济南模拟济南模拟 ) )在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a2 2+a+a6 6= = 则则 ，sin(2a4?)23=( ) =( ) 3211 A. B. C. D.?22223?3?【解析】【解析】选选D.D.因为因为a a2 2+a+a6 6= = 所

42、以所以 ，2a4?,22?3?1所以所以 sin(2a4?)?sin(?)? ?cos? ?.323322.(20152.(2015成都模拟成都模拟 ) )设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且满足且满足S S15150, 0, S15S1S2S S16160,0. 0. 216(a1?a16)16(a9?a8)由由 S16?0,22得得a a9 9+a+a8 80, 0, 所以所以a a9 90,0,且且d0. d0, 0, S6S7S8S9则则 ?0,?0,?0,?0,a6a7a8a9又又S S8 8SS7 7SS6 6,a,a8 8aa7 7a0,

43、d0,所以所以a a3 3aa4 4, , 所以所以a a3 3=9,a=9,a4 4=13, =13, ?a1?1,?a1?2d?9,所以所以 所以所以 ?d?4.?a1?3d?13,所以通项所以通项a an n=4n-3. =4n-3. (2)(2)由由(1)(1)知知a a1 1=1,d=4, =1,d=4, n(n?1)2所以所以 Sn?na1?d?2n?n2112= = 2(n?)?.48所以当所以当n=1n=1时，时，S Sn n最小，最小， 最小值为最小值为S S1 1=a=a1 1=1. =1. (3)(3)由由(2)(2)知知S Sn n=2n=2n2 2-n, -n, 2S

44、2n?nn所以所以 bn?,n?cn?c1615所以所以 b1?,b2?,b3?.1?c2?c3?c因为数列因为数列bbn n 是等差数列，是等差数列， 6115所以所以2b2b2 2=b=b1 1+b+b3 3, ,即即 ?2?,2?c1?c3?c所以所以2c2c2 2+c=0, +c=0, 1或或c=0(c=0(舍去舍去) )， 所以所以 c? ?1故故 c? ?.22巧思妙解巧思妙解7 7 巧用等差数列的性质求前巧用等差数列的性质求前 n n项和项和 【典例】【典例】(2015(2015日照模拟日照模拟 ) )等差数列等差数列aan n 的前的前m m项和为项和为30,30,前前3m3m项和为项和为90,90,则它的前则它的前2m2m项和为项和为 . . 【常规解法】【常规解法】记等差数列记等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,公差为公差为d, d, ?Sm?30,由已知得由已知得 ?S3m