任意角的概念

1、1.1.1 1.1.1 任意角任意角 你能说说初中所学的角的概念吗？你能说说初中所学的角的概念吗？ 分针旋转分针旋转1515分钟，所形成的图形是否构成角？分钟，所形成的图形是否构成角？这个角是多少度？这个角是多少度？ 分针旋转分针旋转1 1小时小时1515分钟，所形成的图形是否构成分钟，所形成的图形是否构成如果是，那这个角又是多少度呢？如果是，那这个角又是多少度呢？ 1、角的概念、角的概念 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几何图形构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是但它是

2、从图形形状来定义角，因此角的范围是0o , 360o， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭狭隘隘”. 你能举出生活中其他大于你能举出生活中其他大于360360度的角吗？度的角吗？ 由此你对角的概念有什么新的想法？由此你对角的概念有什么新的想法？ 生活中很多实例不在该范围。生活中很多实例不在该范围。 体操运动员转体体操运动员转体720o，跳水运动员向内、，跳水运动员向内、向外转体向外转体1080o； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0o , 360o ，而且，而且方向不同

3、，有方向不同，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角， 想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？ 2角的概念的推广角的概念的推广 “ 旋转旋转”形成角形成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA，B绕着它的端点绕着它的端点O按按逆时针方向逆时针方向旋转旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋转开始时的射线旋转开始时的射线OA叫做叫做角角的的始边始边，旋转终止的射线，旋转终止的射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端点点O叫做角叫做角的的顶点顶点 OA将瓶盖转动将瓶盖转动3030度，是旋紧了还是旋松了？度，是旋紧了还是旋松了？

4、 生活中是否还存在其他需要生活中是否还存在其他需要区分旋转方向的角？区分旋转方向的角？ 如果存在，那如何从数学角度更好地如果存在，那如何从数学角度更好地刻画这些角？刻画这些角？ “正角正角”与与“负角负角”、“0o角角” 我们把我们把按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150， =660， 21006600-1500一艘在暗礁区还是沿正北方向航行的测一艘在暗礁区还是沿正北方向航行的测量船为躲避暗礁而不断改变航向：向右量船为躲避暗礁而

5、不断改变航向：向右转转3030度，再向左转度，再向左转4545度，再向右转度，再向右转5050度，度，再向左转再向左转4545度，再向右转度，再向右转2020度，最后再度，最后再向左转向左转1010度，问此测量船最后沿怎样的度，问此测量船最后沿怎样的方向前进？方向前进？ 面对这个结果，你觉得前面的面对这个结果，你觉得前面的角的概念还应怎样完善？角的概念还应怎样完善？ 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（叫做零度角（0o） 角的记法：角的记法：角角或或可以简记成可以简记成.

6、 角既有大小、又有方向，角既有大小、又有方向，那该如何表示任意角？那该如何表示任意角？ 角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义： 用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如：? ?=210? ?, ? ?= ? ?150? ?, ? ?=660? ?. 角可以任意大角可以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360? ?2=720? ?） 3周（周（360? ?3=1080? ?） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，角的概念推广以后， 它包括它包括任意大小

7、的正角、负角和零角任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义的的旋转量旋转量，它的正负规定纯属于，它的正负规定纯属于习惯习惯，就好象，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样象数零无正负一样 用旋转来描述角，需要注意三个要素用旋转来描述角，需要注意三个要素 （旋转中心、旋转方向和旋转量旋转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针逆时针和顺时针和顺时针两种，这是一对两

8、种，这是一对意义相反的量意义相反的量，根，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；决了； （3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360o .于是就会出现于是就会出现720o ， 540o等角度等角度. ?为了方便，用数轴和直角坐标系研究为了方便，用数轴和直角坐标系研究点时，都有一个基准位置点时，都有一个基准位置原点，原点，那研究角时能否也找一个类似的那研究角时能否也找一个类似的“基基

9、准位置准位置”或或“标准位置标准位置”呢？呢？ ?角的放置有了角的放置有了“统一标准统一标准”后，能否有恰当的分类以便后，能否有恰当的分类以便更好的讨论和研究角？更好的讨论和研究角？ 3“象限角象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合，角的始边重合于于x轴的正半轴轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象终边落在坐标轴上，则

10、此角不属于任何一个象限）限） 例如：例如：30? ?、390? ?、? ?330? ?是第一象限角，是第一象限角， 300? ?、 ? ?60? ?是第四象限角，是第四象限角， 585? ?、1300? ?是第三象限角，是第三象限角， 135 ? ? 、? ?2000? ?是第二象限角等是第二象限角等 4终边相同的角终边相同的角 观察：观察： 30? ? ，390? ?，? ?330? ?角，有何特点角，有何特点? 探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0? ?到到360? ?的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390? ?=30? ?+360? ?(k

11、=1), ? ?330? ?=30?360? ? ( k=1) ? ?1770? ?=30?5360? ? ( k=5) 30? ?=30? ?+0360? ? ( k=0), 1470? ?=30? ?+4360? ?(k=4) 结论：结论： 所有与所有与? ? 终边相同的角连同终边相同的角连同? ?在内可以构在内可以构成一个成一个集合集合：| =+k 360o(kZ) 即：任何一个与角即：任何一个与角? ?终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角? ?与整数个周角的和与整数个周角的和 注意以下四点：注意以下四点： kZ； ? ?是任意角；是任意角； k360o与与? ?之间是之间是“+” 号，如号，如k360o30o ,应应看成看成k360o+(30o )； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360o的整数倍的整数倍. 下列说法是否正确？为什么？下列说法是否正确？为什么？ ?（1 1）第一象限角是锐角；）第一象限角是锐角； （2 2）