第二章 逻辑代数基础

1、第二章 逻辑代数基础 掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函描述逻辑问题的基本方法； 掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则； 学会用代数法化简逻辑函数； 熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数。在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。：仅取值0或取值1的变量。这里0和1无大小之分，实际上代表着矛盾的双方或事件的真假，例如开关的接通与断开，电压的高和底，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。 只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和1这两种不同的逻辑值来表征。如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便

2、可发生，这种因果关系称之为或逻辑。或运算又称逻辑加:F=A+B读作F等于A或B,其中A、B是参加运算的两个逻辑变量，F为运算结果。意思是：只要A、B中有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。A B F0 0 00 1 11 0 11 1 1“或”运算表（真值表）A+uBF运算法则0+0=01+0=10+1=11+1=1两个开关只要有一个接通，灯就会亮。如果决定某一事件的发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为与逻辑。与运算又称逻辑乘FA B 读作F等于A与B，意思是若A B 均为1，则F为1；否则F为0。A B F0 0 00 1 01 0 01 1 1与运算表+

3、uABFA、B都接通，灯亮。A、B都断开，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。运算法则0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1例：开关A，B串联控制灯泡Y如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为非逻辑。非运算又称求反运算，运算符为F=A读作F等于A非，意思是若A0，则F为1；反之，若A=1, 则F为0。“非运算表0 1 10A F0 11 0+uAF运算法则设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2, , An , 输出逻辑变量为F。如果当A1, A2 , , An 的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1, A2, , An , 的逻辑函

4、数，记为F=f (A1, A2, , An)逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述。与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点： 1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1； 2）逻辑函数与逻辑变量的关系由“或”、 “与”、“非”运算决定。 设有两个逻辑函数F1=f1 (A1, A2, , An)F2=f2 (A1, A2, , An)若对应于A1, A2, , An的任何一组取值, F1 和F2的值都相同, 则称函数F1和函数F2相等, 记作F1= F2. 的或非读作ABBA；非或读作BAAB 非；或读作BAAB 非；非或读作BAA B 的与非；读作ABAB ；非与读作BAAB 非；与读作BAAB 由

5、逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。 进行非运算可不加括号, 如. 等BA，A 与运算符一般可省略, AB可写成AB. 可根据先与后或的顺序去括号, 如：(AB)(CD)ABCD例：BABABAF),(逻辑表达式书写省略规则：公理公理1交换律交换律 A+B=B+A, A B=B A公理公理2结合律结合律 (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C=A (B C)公理公理3分配律分配律 A+ ( B C ) =(A+B) (A+C), A ( B+C ) =A B+A C公理公理401律律 A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0，公理公理5互补律互补律 A+ A =

6、1, AA=0 000101 011 111 0 0 0 1 0 0 0 1 01 1 1 推论： 1 = 0 0 = 1 定理定理2(自等律自等律)AAAA A A 定理定理3(吸收律吸收律)AA BA A ( A +B)A定理定理4(吸收律吸收律) AA BA+BA ( A +B)A B定理定理5(非非律非非律)AA定理定理6(摩根定理摩根定理) ABA B A B AB 定理定理7 AB+ABA(A+B)(A+B)A定理定理8(冗余律冗余律) AB+AC+BCAB+ACf (A1, A2, , An)f (A1, A2, , An)1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都

7、代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由公理5(A+A=1)同样有等式F(A+B) (C+D)例如例如：已知FABCD，根据反演规可得到: 如果将逻辑函数F中所有的 变成+, +变成 , 0变成1, 1变成0, 原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数F注意：保持原函式中运算符号的优先顺序不变，两个以上变量的公用非号保持不变。例如：例如：已知则),(EDCBAF)(EDCBAFEDCBAF如果将逻辑函数F中所有的“ ”变成“

8、+”, “+”变成“ ”, “0”变成“1”, “1”变成“0”, 而逻辑变量保持不变，则得到F的对偶式F。F与F互为对偶式。求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F 和G 也相等。例: AB+AC+BC=AB+C 则 (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)C由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。 进行非运算可不加括号, 如. 等BA，A 与运算符一般可省略, AB可写成AB. 可根据先与后或的顺序去括号, 如：(AB)(CD)ABCD例：BABABAF),(逻辑表达式书写省略规则：真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及

9、其对应的逻辑函数值所构成的表格.例如例如：函数 F=AB + AC 的真值表如右所示：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 001 1 10A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变量，16种组合 n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与

10、输入状态一一对应，列出所有可能的状态。卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格所构成的平面图，一种用图形描述逻辑函数的方法。在逻辑函数化简中起到非常重要的作用。积之和表达式与和之积表达式.由若干个与项相或构成CBAABBF例如：由若干个或项相与构成)()(DBACBBAF例如：)(CDBADABF既不是与或表达式也不是或与表达式。而如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量, 每个变量都以原变量或反变量形式出现, 且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成, 那么该函数表达式称为标准“积之和”表达式, 即“最小项之和”。例：F（A,B,C） =ABC

11、CABBCACBA变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最小项及其编号最小项编 号CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA om1m2m3m4m5m6m7m三变量函数的最小项：3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15 CA2Bm CmBA1真值表中，只要将函数值为真值表中，只要将函数值为1的那些最小项（的那些最小项（“积积”项的原项的原变量记为变量记为1，反变量记为，反变量记为0）相加，便是函数的最小项表达式。）相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0

12、10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7CABCBCmmmmmYBACABA)5 ,3 ,2, 1(5321BCmA3CAmB5=m2+ m3+ m6+ m7注意：变量的顺序.ABCCABBCACBACBAF),(因= m(2, 3, 6, 7)ABCCABBCACBACBAF),(：例例如如最小项的性质：最小项的性质：1）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”） 。2）任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 3）相邻最小项：只有一个变量不同（以相反的形式

13、出现）。N个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小项。一对相邻最小项可以消去一个变量。CBAACBCABCBA)( 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。如果一个具有n个变量的函数的和项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则这个和项称为最大项。假如一个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称为标准和之积表达式。变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最大项及其编号最大项编 号CBACBACBACBACBACBACBACBAoM1M2M3M4M5M6M7M三变量函数的最大项

14、：注意：变量顺序.)()()(),(CBACBACBACBACBAF5410MMMM例如：例如：)5 , 4 , 1 , 0(M如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些最的那些最小项相乘，便是函数的最大项表达式。见表小项相乘，便是函数的最大项表达式。见表2.6。最大项的性质：当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最大项之和，称为标准或与表达式，也称为最大项表达式。 以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。ABCCA

15、BBCACBACBAF),(：例例如如= m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)ABCCABBCACBAFF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)5 , 4 , 1 , 0(MF(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)7 , 6 , 3 , 2(M同理同理iiimMmMi 或即：最大项与最小项互补最大项与最小项互补。例如：例如：M3 = A+B+C = ABC = m3 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相

16、应的形式。任何一个逻辑函数，总可以将其 转换成最小项之和及最大项之积的形式, 常用代数转换法或真值表转换法.用代数法求一个函数最小项之和的形式，一般分为两步：将函数表达式变换成一般的与或式.反复使用X=X(Y+Y)将非最小项的与 项 扩展为最小项。例例：将F(A, B, C)=(AB+BC)AB转换成最小项之和形式ABCBBACBAF),(1 、 解解：ABCBBAABCBBA)(ABBCCABA)()()( ),(2AABCBBCACCBACBAF、)(CCABABCCBABCACBACBA CABABCBCAABCCABBCACBACBA F(A,B,C) = m0+m1+m3+m6+m7

17、=m(0,1,3,6,7)类似地，用代数法求一个函数最大项之积的形式，也可分为两步：将函数表达式转换成一般或与式；如果给出的函数已经是与或式或者是或与式，则可直接进行第二步。：反复使用将非最大项的或项扩展成为最大项)(BABAA例：将F(A,B,C)=AB+AC转换成“最大项 之积的形式。解： 1）F(A,B,C) =AB AC=(A+B)(A+C)2) F(A,B,C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C) = M1 M3 M6 M7=M(1,3,6,7)函数F的最小项表达式由使F取值为1的全部最小项之和组成。函数F的

18、最大项表达式由使F取值为0的全部最大项之积组成。二者相等。表示成“最小项之和”将CBACAF例例：和最大项之积的形式。解：解：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 001 1 10CBABCACBAF(A,B,C)4 , 3 , 1 (m)()(CBACBAF(A,B,C)()(CBACBA)(CBA)7 , 6 , 5 , 2 , 0(M 注意：任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一 .或根据序号值直接求出或根据序号值直接求出一般来说, 逻辑函数表达式越简单, 设计出来的电路也就越简单。把逻辑函数简化成最简形式称为逻辑函数的最小化, 有两种

19、常用的方法, 即代数化简法、卡诺图化简法。该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。并项法：吸收法：A+AB =A消去法：配项法：AB+A =AA+ =A+B A+A =A A+ =1BBAA化简应满足的两个条件：1） 表达式中与项的个数最少；2） 每个与项中的变量个数最少。CDDACABCCAF简化例2.6：例2.6：)()( DDACBCCAF解解：)()(DDDACCCBCACDACABCACDABCCA)(CDACDB)A(1化简应满足的两个条件：化

20、简应满足的两个条件：1） 表达式中或项的个数最少；2） 每个或项中的变量个数最少。 化简方法化简方法：采用求两次对偶的方法，先对以“或与”表达式表示的函数F求对偶，得到“与或”表达式F，再按“与或”表达式化简的方法求出F的最简表达式，然后对F求对偶，即可得到F的最简“或与”表达式例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)解：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)=（A+B)(A+B)(B+C)= A(B+C)例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(A+C)解： F = AB+AB+BC+AC= AB+AB+(B+A)C=AB+AB+ABC=AB+AB+CF=(F

21、 )=(A+B)(A+B)C该方法简单、直观、容易掌握, 当变量个数小于等于6时非常有效, 在逻辑设计中得到广泛应用。n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成的图形, 每一个方格表示逻辑函数的一个最小项, 所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻（物理上和逻辑上相邻）关系的方格阵列。因为任意一个逻辑函数都 可表示成“最小项之和”（标准与或式）的形式, 所以一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。mo m2m1 m3 0101ABAB 0101BA BABA ABBBAA二变量卡诺图变量取值为下标mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001ABC00 01 1

22、1 1001ABCCBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA AACCBBB三变量卡诺图00 01 11 1000011110ABCDDCBA ACDCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA DCBA DABCDCBADB 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD四变量卡诺图：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小项(或与项)称为相邻最小项(或相邻与项).几何相邻几何相邻：左右、上下相对相邻相对相邻：每一行的首尾，

23、每一列的首尾卡诺图在构造上具有以下两个特点：卡诺图在构造上具有以下两个特点：1）n个变量的卡诺图由2n个小方格组成, 每个小方格代表一个最小项。2）卡诺图上处在相邻、相对位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以1，剩余方格标以0或不标。1、与或式的卡诺图表示.直接将表达式的与项或最小项所对应的方格标以1. 00 01 11 1001ABC11111CBABCBACACBAF),(可表示为：例如：例如：2、其它形式函数的卡诺图表示要转换成与或式再在卡诺图上表示。根据定理7有AB+AB=A, 它表明两 个相邻与项或最小项可以合并为一项，这一项由两个

24、与项中相同的变量组成，可以消去两个 与项中不同的变量。在卡诺图上把相邻最小项所对应的小方格圈在一起可进行合并，以达到用一个简单与项代替若干最小项的目的。这样的圈称为卡诺圈。 0101AB1 1 0101AB1 1 0101AB1 11二变量卡诺图的典型合并情况00 01 11 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10三变量卡诺图的典型合并情况100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111111100 01 11 1000011110ABCD111

25、1111111四变量卡诺图的典型合并情况 将逻辑函数用卡诺图表示; 对卡诺图中的1方格画卡诺圈; 写出最简与或表达式。画圈的原则 圈尽可能大 圈尽可能少 每个1方格可根据合并的需要被多个卡诺圈包含，但至少应被一个卡诺圈包含不能合并的 1 必须单独画圈合并最小项的原则（1）任何两个（21个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。CAACDBCDCB合并最小项的原则（2）任何4个（22个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。ACBDDBDB DB此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项合并最小项的原则（3）任何8个（23个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。BD合

26、并最小项的原则利用 AB+A =A2个最小项合并，消去1个变量；4个最小项合并，消去2个变量；8个最小项合并，消去3个变量； 2n个最小项合并，消去n个变量；B例：例：用卡诺图化简逻辑涵数 F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)100 01 11 1000011110ABCD11111111解：解：1100 01 11 1000011110ABCD1111111CBABCACDBDDCBADCBAF ),(例：例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=m(2, 3, 6, 7, 8,10, 12)100 01 11 100001

27、1110ABCD111111解：解：100 01 11 1000011110ABCD11111100 01 11 1000011110ABCD11111111100 01 11 1000011110ABCD11111DBADCACADCBAF ),(DCBDCACADCBAF ),( 或上两式的内容不相同，但函数值一定相同。此例说明，逻辑函数的化简结果可能不唯一。ABC010001111011111001 1 1 ABC010001111011111001 1 1 Y1 =B+A+CY1 =A+A+将Y=A + C+B + C 化简为最简与或式。例：CACBBACCCBB例：例：用卡诺图把逻辑函数 F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,1