人教版九年级数学三角形相似

1、ABCDEF1. 对应角对应角_, 对应边对应边的两个的两个 三角形三角形, 叫做相似三角形叫做相似三角形 相等相等成比例成比例2. 相似三角形的相似三角形的, 各对应边各对应边。对应角相等对应角相等成比例成比例如果如果 ABC DEF, 那么那么A=D, B=E, C=FEFBCDFACDEAB、两个全等三角形一定相似吗？为什么？、两个全等三角形一定相似吗？为什么？、两个直角三角形一定相似吗？为什么？、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？两个等腰直角三角形呢？、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？两个等边三角形呢？相

2、似比是多少？相似比是多少？300450ABC106125182它们是相似三角形吗？为什么？它们是相似三角形吗？为什么？A6BC5382476如果如果 ABC ADE,那么你能找出哪些角那么你能找出哪些角的关系？的关系？A = A,B = ADE,C = AED.边呢？边呢？ADEBCADABAEACDEBC=DE BC如图如图,DE/BC,且且D是边是边AB的中点的中点,DE交交AC于于E, ADE与与ABC有什么关系有什么关系?说明理由说明理由.相似相似ABCDE证明证明:在在ADE与与ABC中中A= A21BCDEACAEABAD DE/BCADE=B, AED=C过过E作作EF/AB交交

3、BC于于F可证可证DBFE是平行四边形是平行四边形21ACAEABADFADE EFCDE=BF,DE=FC21BCDEADEABC结论结论: :三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似2. 如图如图,DE/BC, ADE与与ABC有什么关系有什么关系?说明理由说明理由.相似相似ABCDE证明证明:在在ADE与与ABC中中A= ABCDEACAEABAD DE/BC ADE=B, AED=C过过E作作EF/AB交交BC于于FDBFE是平行四边形是平行四边形ACAEABADFDE=BFBCBFACAE则BCDEACAE定理：定理：平行于三角形一边的直线和其

4、他两边相交平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似ADEABC平行于三角形一边的直线与其它两边平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线或延长线)相交相交,所得的三角形与原三角形所得的三角形与原三角形_.相似相似“A”型型 “X”型型 （图（图2）DEOBCABCDE（图（图1）请写出它们的对应边的比例式请写出它们的对应边的比例式 已知：如图，已知：如图，ABEF CDABEF CD，CDABEFO3图中共有图中共有_对相似三角形。对相似三角形。 EOFCOD ABEF AOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 如图，如图，ABC 中

5、，中，DEBC，GFAB，DE、交于点，则图中与、交于点，则图中与ABC相相似的三角形共有多少个似的三角形共有多少个?请你写出来请你写出来.解： 与ABC相似的三角形有相似的三角形有3个个:A ABCDEFGOw 如图如图,已知已知DE BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, BAC=450,ACB=400. (1)求求AED和和ADE的大小的大小;(2)求求DE的长的长.（2）).(75.4330507050,.70305050,cmDEDEBCDEACAE所以即ADBEC解: (1)DE BCADEABCAED=C=400.ADEABC在在ADE中中, ADE=1800-4

6、00-450=950.如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4 相似三角形的定义相似三角形的定义 相似比的性质相似比的性质 相似三角形判定的预备定理相似三角形判定的预备定理1. 对应角对应角_, 对应边对应边的两个三角形的两个三角形,叫做相似三角形叫做相似三角形 .相等相等成比例成比例2. 相似三角形的相似三角形的, 各对应边各对应边。对应角相等对应角相等成比例成比例3.3.如何识别两三角形是否相似如何识别两三角形

7、是否相似? ? DEBC ADE ABC w 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。DEOBCABCDE思考思考: :有没有其他简单的办法判断两个三角形相似有没有其他简单的办法判断两个三角形相似? ?ACCABCCBABBA 是否有ABCABC？ABCCBA三边对应成 比例已知已知:如图如图ABC和和ABC中中AB:AB=AC:AC=BC:BC.求证求证:ABCABC证明证明: :在在ABCABC的边的边AB(AB(或延长线或延长线) )上截取上截取AD=AB,

8、 AD=AB, ABCABCDE过点过点D D作作DEBCDEBC交交ACAC于点于点E.E.又又AB:AB=BC:BC=CA:CAAB:AB=BC:BC=CA:CAAD:AB=AE:AC=DE:BC,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEADEABC ABC AD=ABAD:AB=AB:ABAD=ABAD:AB=AB:ABDE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.因此因此DE=BC,EA=CA.DE=BC,EA=CA.ABCABCABCABCADEADE ABCABC例例1 1：在：在ABC和和ABC中，已知：中，已知：(1)AB6

9、cm， BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm试判定试判定ABC与与ABC是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由 (2) AB=12cm， BC=15cm， AC24cm AB16cm，BC20cm，AC30cm，如图已知AEACDEBCADAB试说明试说明BAD=CAE.BAD=CAE.ADCEBAEACDEBCADAB解ABCABCADEADEBAC=BAC=DAEDAEBACBACDAC=DAC=DAEDAEDACDAC即即BAD=CAEBAD=CAE答案是答案是2:1不相似，请说明理由。，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上

10、有222111ACBACB4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形其中一个三角形的三边的长分别为的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的另一个三角形框架的一边长为一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似怎样选料可使这两个三角形相似?这个这个问题有其他答案吗问题有其他答案吗?4562 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角所构成的三角形与原三角形相似形相似; 三边对应成比例的三边对应成比例的,两三角形相似两三角形相似

11、.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法判断两个三角形相似判断两个三角形相似, ,你有哪些方法你有哪些方法方法方法1：通过定义（不常用）：通过定义（不常用）三 个 角 对 应 相 等三 边 对 应 成 比 例方法方法2：通过平行线。：通过平行线。方法方法3：三边对应成比例。：三边对应成比例。DCBA如果有一点如果有一点E在边在边AC上，那么点上，那么点E应该在什应该在什么位置才能使么位置才能使ADEABC相似呢？相似呢？ ADAB ？此时，如果一个三角形的两条如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个夹角相等，那么

12、这两个三角形三角形一定相似吗？一定相似吗？ A = AEAEAC=？3131n已知已知:如图如图ABC和和ABC中中,AA , A ,AB:AB=AC:AC.n求证求证:ABCABCABCABCED证明证明:在在ABC的边的边AB、AC(或它们的延长线或它们的延长线)上分别截取上分别截取AD=AB,AE=AC,连结连结DE.A=A, 这样这样,ADE ABC.AB:AB=AC:AC AD:AB=AE:ACDEBCADEABCABCABC相似三角形的识别相似三角形的识别 ABC A B C如果一个三角形的如果一个三角形的两条边两条边与另一个三角与另一个三角形形的的两条边对应成比例两条边对应成比例

13、，并且，并且夹角相等夹角相等，那，那么这两个三角形么这两个三角形相似相似 。ABACA BA C( (两边对应成比例且夹角两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似相等，两三角形相似) )A = A ABCABC想一想：如果对应相等的角不是两条对应想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？ABCDEF1、已知ABC和 ABC,根据下列条件 判断它们是否相似.(2) A45，AB=12cm， AC=15cm A45，AB16cm，AC20cm（1）A=120,AB=7cm,AC=14cm, A=120,AB=3cm,AC=6cm; =

14、 =1.5FEAE36542、判断图中判断图中AEBAEB和和FECFEC是否相似？是否相似？ 解：AEBFEC 1 12 1.5BECE4530 FEAEBECE54303645EAFCB123.在正方形在正方形ABCD中，中，E为为AD上的中点上的中点, F是是AB的四分一等分点，连结的四分一等分点，连结EF、EC；AEF与与DCE是否相似是否相似?说明理由说明理由.ABCDFE4、已知：如图，已知：如图，BD、CE是是ABC的高，的高， 试说明试说明 ADEABC。ABCDE 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所构成的三角形与原

15、三角所构成的三角形与原三角形相似形相似; 三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形两三角形相似相似.CAABBC A=A， B=B ABC ABC相似三角形的识别相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似)例例1如图所示，在两个直角三角形如图所示，在两个直角三角形ABC和和ABC中，中，BB90，AA，判断这两个判断这两个三角形是否相似三角形是否相似 CBACBA 例题欣赏例题欣赏解：解： BB90（已知），已知），AA（已知），已知）

16、， ABCABC（两个角分别对应两个角分别对应相等的两个三角形相似）相等的两个三角形相似） 例例2. 如图，如图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 试说明试说明ADEEFC. AEFBCD例题分析例题分析解解: DEBC，EFAB（已知），已知）， ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）AEDC. （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的两个三角形相似）两个三角形相似）例例3.3.弦弦ABAB和和CDCD相交于相交于o o内一点内一点P,P,求证求证:PA:PAPB=PCPB=PCPDPDAB

17、CDPO证明:连接AC、BDA、D都是CB所对的圆周角 A=D同理: C=BPACPDBPBPCPDPA即PAPB=PCPDCADB3.找出图中所有的相似三角形找出图中所有的相似三角形ACD CBD ABC你能写出对应边的比例式吗你能写出对应边的比例式吗?A AB BD DC C图图 3 3填一填填一填（1）如图）如图3，点，点D在在AB上，当上，当 时，时， ACDABC。（2）如图）如图4，已知点，已知点E在在AC上，若点上，若点D在在AB上，则满足上，则满足 条件条件 ，就可以使，就可以使ADE与原与原ABC相似。相似。 A AB BC CE E图图 4 4 ACD B ( (或者或者

18、ACB ADB) )DE/BCD D( (或者或者 C ADE) )( (或者或者 B ADE) )D D如图，在如图，在RtRtABCABC的一边的一边ABAB上有一点上有一点P(P(点点P P与点与点A A，B B不重合），过点不重合），过点P P作直线作直线截得的三角形与截得的三角形与ABCABC相相似，想一想满足条件的直似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图线共有多少条？试画出图形并简要说明理由形并简要说明理由. .思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？我们来试一试我们来试一试EABDC C解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如图，已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求，求AB ABC CDDBC CA184 21225、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D 若若 AB=6 AD=2 则则AC= BD= BC=4、已知：如图，已知：如