2017-2018学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷

1、2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，才f分36分）只要求直接填写结果，每个空格 填对得3分，否则一律得零分.1. （3分）已知22=1,则实数a的值为.Rfg 班 12. （3分）直线1:工；=牛的一个方向向量可以是 .3. （3分）二元一次方程组产5的增广矩阵为. 3x+y=84. （3分）如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 .第2页（共12页）5. （3分）设数歹【an的前n项和为Sn,若Sn=n2,则a8=6. (3 分)设向量三与 Z 的夹角为 9, a= (1, 1), b-a=( - 1 , 1),则 cos 9=.+ _ n

2、/7. (3分)用数学归纳法证明为：1+c+c2+c?+cn 1= (cw 1),当n=1时,左边为.8. （3分）已知等差数列an中，3a3=7%,且a=29, S是数列an前n项的和,若$取得最大值，则n=9. （3分）求和:+- +=2X3 3X4 n(n+l)10. （3分）已知A （2, 3）、B （1, 0）,动点P在y轴上，当| PA+| PB取最小值时，则点P的坐标为.11. （3分）若关于x, y的二元一次方程组，8"4户",有无穷多组解，则m的 k+叫二m取值为.12. （3分）我们知道:mtn+o) qq n q n+q已知数列an中，ai=1, an

3、=2n(n+l)（n>2, nCN*）,则数列an的通项公式an=二、选择题（本大题共有4题，才f分12分）每小题都给出四个选项，其中有且 只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13. （3分）在平面上，四边形 ABCD满足亚=56, AC?BD=0,则四边形 ABCD为A.梯形B.正方形C菱形D.矩形14. (3 分)直线 l: ax+by+c=0 (a>0, b>0)的倾斜角是（）A. arctan (-含B.九一arctaC.+arcta2D.earctan -15. （3分）已知各项均为正数的等比数列an中，a1=1, a3=4,则此数列的前n项和等于（

4、）A. 2n+1B. 2n- 1C. - (4n-1)D.(4n+1)16. （3分）动点P至Ux轴，y轴的距离之比等于非零常数k,则动点P的轨迹方程是()C. y=一D. y=± kx (xw0)A. y=7- (xw0)B. y=kx (xw0)k三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. （8分）已知直线l: x+/ly-2=0与圆O: x2+y2=2相交于A、B两点.（1）求弦AB的长；（2）求弦AB的垂直平分线的方程.18. （10分）已知 3= （1, 2）, b= （3, 1）, c=b - ka,且：a_L c .（1）求向量E在向

5、量1的方向上的投影；（2）求实数k的值及向量匚的坐标.19. (10分)过点P (1, 2)作直线l交x轴正半轴于A点、交y轴正半轴于B 百 八、(1)若嘉=而时，求这条直线l的方程；(2)求当三角形AOB (其中O为坐标原点)的面积为4时的直线l的方程.20. (10分)设等差数列&的前N项和为Sn, a2=8, So=185,对每个正整数k, 在ak与ak+1之间插入3k1个3,得到一个新的数列bn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列J bn的前n项和Tn .21. (14分)已知圆C： (x- a) 2+ (y-a) 2=a2 (a>0)的面积为 冗.且与x轴、 y轴

6、分别交于A、B两点.(1)求圆C的方程；(2)若直线l: y=k (x+2)与线段AB相交，求实数k的取值范围；(3)试讨论直线 l： y=k (x+2)与圆 C： (x-a) 2+ (y-a) 2=a2 (a>0)的交点 个数.第3页(共12页)2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题（本大题共有12题，才f分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1. （3分）已知%2=1,则实数a的值为8田1【解答】解：= 1的空匚之二1，f T g n+12i =a=1n.实数a的值为1.故答案为：1.2. （3分）直线l:工二1

7、的一个方向向量可以是（3, 4）.34【解答】解：直线l: fL即y+1=1 （x-1）的一个方向向量为（3, 4）.故答案为：（3, 4）.3. （3分）二元一次方程组2产5的增广矩阵为1 T 5I 班+y = 8一3 1 8【解答】解：二元一次方程组:纵：的增广矩阵为5 ：2 +yW13 1 8j故答案为：P T 5.Ls 1 d4. （3分）如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 34第5页（共12页）【解答】解：由已知中循环变量的初值为1,循环体中循环变量的步长为3,结合循环条件可得最后一次进行循环时，循环变量的终值为100,则循环体被执行的次数n=-=34.故答案为：34.5. （3

8、分）设数歹1an的前n项和为Sn,若Sn=n2,则a8= 15【解答】解：根据题意，数列an中，S=n2,M a8=S S7=64 49=15;故答案为：15.6. (3分)设向量W与E的夹角为9, 3= (1 , 1), b-3=( - 1 , 1),则cos 8三孚_ . 【解答】解：根据题意，a= (1,1), b a= (-1, 1),则EE+川-值)=(0, 2),则 | 三=/2, | 同=2, a?b=1 X 0+1 X 2=2,则 cos 0故答案为:7. （3分）用数学归纳法证明为：1+c+c2+C3+- +cn+1 = c （cw 1）,当n=1时,左边为 1+c+c2【解

9、答】解：当n=1时，左边=1+c+c2 故答案为：1+c+c2.8. (3分)已知等差数列an中，3a3=7%,且ai=29, S是数列an前n项的和, 若&取得最大值，则n= 8 .【解答】解：设等差数列an的公差为d, V3a3=7a6,且ai=29, 3 (29+2d) =7 (29+5d),解得 d=-4.an=29-4 (n 1) =33 4n.n=8时，S取得最大值,故答案为：8. 1 + 14+-+=-1 -9. (3分)求和:n(n+l) n1n+1一 n+1 2 n+110. (3 分)已知 A (2, 3)、B (1, 0),动点P在y轴上，当|PA+| PB取最小

10、第6页(共12页)值时，则点P的坐标为(0, 1)【解答】解：作出A关于y轴的对称点A' (-2, 3),连接A'B,与y轴交于P,即为所求.此时| PA+| PB取最小值| A'B| ,由A'B的斜率为且二L= - 1,-2-1可得方程：y=- (x- 1),令x=0,可得y=1,即为P (0, 1),ii. （3分）若关于x, y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的【解答】解：二.关于x, y的二元一次方程组，4产出2L x+rny-m=m2 4,Dx=* “2m,第10页（共12页）m 叫Dy=M=m2- m-2,1 ID当mw ±2时，DW0方

11、程组有唯一解;当m=2时，D=Dx=Dy=0方程组有无穷多组解;当m=-2时，D=0, Dxw0, Dyw0,此时方程组无解.若关于x, y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2.故答案为：2.12. （3分）我们知道:n+p -1mtn+q) q已知数列an中，ai=1, an=2卜小2 n(n+l)式 an= 3?2n 2n+L(nC N*)【解答】解：ai=i, an=2an i +n(n+l)=2cnn+2 n+2n+1=2cnn+1即为an+n+1=2 (an i设 bn=an+1n+11n+q（n>2, nCN*）,则数列an的通项公(n>2, n N*)则 bn

12、=2bn-1 ,则 bn=biqn 1= (1可得an+=3?2n 291'即有 an=3?2n 2n+1(nC N*).故答案为：3?2n 2-L (nN*). n+1二、选择题（本大题共有4题，才f分12分）每小题都给出四个选项，其中有且 只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13. （3分）在平面上，四边形 ABCD满足亚=56, AC?BD=0,则四边形 ABCD为（ ）A.梯形B.正方形C.菱形D.矩形【解答】解：.彘而， |国=|丽，且IS/56,即四边形ABCD是平行四边形,AC?BD=0,AC±BD,即 AC,BD即平行四边形的对角线互相垂直，则

13、四边形ABCD为菱形，故选：C.14. （3 分）直线 l: ax+by+c=0 （a>0, b>0）的倾斜角是（A. arctan （一言）B.兀一arctanC. +arctanD. earctan2 bb【解答】解：设直线l: ax+by+c=0 (a>0, b>0)的倾斜角为9,钱0,九). tan 0 = ,解得 0 =tt arctan.b故选：B.15. （3分）已知各项均为正数的等比数列an中，ai=1, a3=4,则此数列的前n项和等于()A. 2n+1B. 2n1C.二(4n- 1)3D.方(4n+1)【解答】解：设等比数列an的公比为q>0a

14、1=1, a3=4,贝U 4=q2,解得q=2.此数列的前n项和 W? =2n - 1 .2-1故选：B.16. （3分）动点P至Ux轴，y轴的距离之比等于非零常数k,则动点P的轨迹方 程是（）A. y黄（xw0）B. y=kx （xw0）C. y= - （xw0） D. y=±kx （xw0）【解答】解：设P （x, y）, 由题意可得：牛"卢0），1 A I 即 y=± kx （xw0）. 故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. （8分）已知直线l: x+/ly-2=0与圆O: x2+y2=2相交于A、B两点.

15、（1）求弦AB的长；（2）求弦AB的垂直平分线的方程.【解答】解：（1）因为圆心o到直线i的距离d&b丝包与二1,修分）V1+32所以弦长 画|二24工2_（：12T“=2 .（2分）（2）弦AB的垂直平分线的方程可设为 V3x - y+c=0,（2分） 由圆的性质知，弦AB的垂直平分线经过圆心 O,所以，c=0,（1分）所以，弦AB的垂直平分线的方程为 Ex-y=0.（1分）18. （10分）已知工=（1, 2）, b= （3, 1）, c=b|-ka,且_1工.（1）求向量工在向量；的方向上的投影；（2）求实数k的值及向量匚的坐标.【解答】解：（1）因为?E二|？闰COSQ所以，向

16、量了在向量：的方向上的投影为 帕|cos8芸旦I a I Vl+22（2）因为3=E3= （3-k, 12k）,且二二（1, 2）,因为且启，cM以，a?c=0,即 1X ( 3 k) +2X (1 - 2k) =0,解得 k=1,此时，c= (2, - 1)19. （10分）过点P （1, 2）作直线l交x轴正半轴于A点、交y轴正半轴于B百 八、（1）若获=3瓦时，求这条直线l的方程;（2）求当三角形AOB （其中O为坐标原点）的面积为4时的直线l的方程.【解答】（本小题满分（10分）,第1小题满分（5分）,第2小题满分5分） 解：（1）显然直线l的斜率k存在且k<0,设 l: y=k

17、 （x- 1） +2,得 A （10）, B （0, 2k）.（2 分）k则，尾（:，2）,虱=（1, -k）,由正=3丽， kr2 _得，即k=（2分）t2=-3k3所以，所求直线l的方程为y=-Z （x-1） +2即 2x+3y 8=0. （1分）（2）由题意知，三角形AOB的面积S=OA?OBf （1 -三）（2-k） =2卓（-k） +L （）=4, （k<0）,修分）贝（J（ k） + （一且）=4,解得 k= -2.（2 分） k此时直线l的方程为y=- 2 （x-1） +2,即 2x+y- 4=0, （1 分）20. （10分）设等差数列a的前N项和为Sn, a2=8, S

18、i0=185,对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入3k1个3,得到一个新的数列bn.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列J bn的前n项和Tn .【解答】解：（1）由 Loxg ,解得a1=5, d=3,乂？分）10ai1d=185 L士所以，an=5+3 (n-1) =3n+2. (2 分)(2)只要把ak=3k+2在数列bn的第几项确定，而bn其余的项都是3,那么bn 确定了.由题意知，在ai与a2之间插入30个3,在a2与a3之间插入31个3,在央与a4 之间插入32个3,，在ak-1与ak之间插入3k 2个3.所以，数歹1bn中的项3k+2排在第(k+30+31+32+- +3k 2) =?2+k项.故普卜+2,门左工k(kEM)“L n为其它值|所以，当n=k+当口n kr，1n=+t+F)+(、U)畤=(5+8+(整+2)叱上d+驰” 了<产T)2-2注意到j T，Tn可改写成功="+，"+3 (n-k)且 n C N* 时，Tn= (a1+a2+-+ak) + ( n - k)?3=(7+3k)k综合 nCN*, 4=S；k)k+3 H), k+ 嗯<n< (k+1) (kE/)21. (14分)已知圆C： (x- a) 2+ (y-a) 2=a2