一线三等角专题训练

1、一线三等角问题 一、问题引入 如图， ABC中， B 90 , CD AC,过D作DE AB交BC延长线与E。 求证： ABCA CED Ah 其他常见的一线三等角图形 （等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） （直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角 例1、 如图，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2 , E是BC 上 一动点，联结 DE,并作 DEF B,射线EF交线段AC于F. （1） 求证： DBEA ECF; （2） 当F是线段AC中点时，求线段 BE的长； （3） 联结 DF,

2、如果 DEF与 DBE相似，求 FC的长.D B （备用图） (1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必 有三角形相似； (2、 第二问中根据相似求线段的长， 也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时, 三角线相似。变式练习 1就是这类题型； (3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是 DF与底边平行, 一种是E为中点； (4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰 梯形中也适用。 变式练习1 (浦东新区22题) 如图，已知等边 ABC的边长为8，点D、F、E分别在边 AB、BC、AC上，BD

3、3 , E为AC中 变式练习2 (宝山22题) 如图6,已知 ABC中，AB AC,点E、F在边BC上，满足Z EAF = / C.求证: BF CE AB2 ； (2) 等腰梯形中一线三等角 例2.(长宁区18题)如图，等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AD 2 , BC 42, / B 45?,直角三角板含 45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点 A,斜 点，当 8?。与左PCE相似时，求BP的值. 边与CD交于点F .若 ABE为等腰三角形，贝U CF的长等于. E 第1咂 C 例3（徐汇区25）.如图，在梯形ABCD中，AD / BC, AB CD BC 6, AD

4、 3 .点 M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B,射线ME交腰AB于点E ,射线MF 交腰CD于点F，联结EF . (1) 求证： MEF sX BEM ; (2) 若 BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长; (3) 若EF CD ,求BE的长. 例4、(杨浦区基础考) 四边形ABCD中，AD / BC , ABC 0 90 , AB DC 3, BC 5 .点P为射线BC上动点(不与点 B、C重合)，点E在直线DC 上，且 APE .记 PAB 1, EPC 2, BP x, CE y. (1) 当点P在线段BC上时，写出并证明 1与 2的数量关系； (2) 随着点P的运动，(

5、1)中得到的关于 1与 2的数量关系，是否改变？若认为不改 变，请证明；若认为会改变，请求出不同于( 1)的数量关系，并指出相应的 x的取值范围； (3) 若cos = 1,试用x的代数式表示y. 3 (备用图) (3) 坐标系中一线三等角 例5.(金山区24)如图，住平面直角系中，直线 AB : y -x 4 a 0分别交x轴、y a 轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA OD , 过D作CD x轴交AE于C，连接B C ,当动点B在线段OD上运动(不与点。点D重 合)且AB BC时 求证：ABO s BCD； (2) 求线段CD的长(用a的代数式表示

6、)； 13 (3) 若直线AE的方程是y 13 x b,求tan BAC的值. 16 变式练习3、在平面直角坐标系 XOY中， AOB的位置如图所示，已知 AOB 90, A 60,点 A 的坐标为 J3, 1 (1) 求点B的坐标； (2) 若抛物线y ax2 bx c经过A、。B三点，求函数解析式。 (4) 矩形中一线三等角 例6、(长宁区24题).如图，在矩形 ABC D中，AB 4 , AD 6,点P是射线DA上 的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点 P，三角板两直角中的一边始终经过点 C ,另 一直角边交射线BA于点E . (1) 判断 EAP PDC 一定相似吗？请证明你的结论；

7、 (2) 设PD x , AE y ,求y与x的函数关系式，并写出它的定义域； (3) 是否存在这样的点 P，是 EAP周长等于 PDC周长的2倍？若存在，请求出 PD 的长度；若不存在， 请简要说明理由. 一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目 (徐汇 24)如图，等腰梯形 ABCD 中，AD II BC , AB DC 5, AD =2 , BC =8, MEN B . MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点 A,另一边与CD交于点F ,联接 AF . (1) 设BE x, DF y ,试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； (2) 若 AEF为等腰三角形，求出 BE的长. (虹口期中 24)梯形 ABCD,AD / BC,AB=CD=5 , AD=3.5 , sinB= - ,E 在 AB 边上，BE=3, P是 5 BC上动点，联结 E