2014届高考数学北师大版一轮复习讲义课件43平面向量的数量积

1、考考 点点 串串 串讲串讲 1两向量的夹角两向量的夹角 如图所示，已知两个非零向量如图所示，已知两个非零向量a和和b，作，作OAa，OBb，则，则AOB(0180)叫作向量叫作向量a与与b的夹角当的夹角当0时，时，a与与b同向；当同向；当180时，时，a与与b反向；如果反向；如果a与与b的夹角是的夹角是90，我，我们说们说a与与b垂直，记作垂直，记作ab. 注意注意 作作a与与b所成的角时，应注意所成的角时，应注意 “平移共始点平移共始点 ” 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，而两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，而向量的夹角可以是钝角，其取值范围是向量的夹角可以

2、是钝角，其取值范围是0180. 2两个向量数量积的定义两个向量数量积的定义 已知非零向量已知非零向量a，b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量|a| b|cos叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab|a| b|cos . 规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0，即，即0 a0. 注意注意 结合物理学中力做功的背景来理解向量的数量积定义结合物理学中力做功的背景来理解向量的数量积定义 两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，它的值为两个两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，它的值为两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，

3、其符号由夹角的余弦决定向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定 两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，又称两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，又称“点点乘乘”，与以前所学实数的乘法是有区别的在书写时，一定要严格区，与以前所学实数的乘法是有区别的在书写时，一定要严格区分，不可省略不写或混淆分，不可省略不写或混淆 3向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义 对于对于ab|a| b|cos ，其中，其中|b|cos 叫作向量叫作向量b在在a方向上的投影方向上的投影(为向量为向量a与与b的夹角的夹角) 当当为锐角时，为锐角时，它是正值；它是正值；当当为钝角时，为钝角时，它是负

4、值；当它是负值；当90时，它是时，它是0；当；当0时，它是时，它是|b|；当；当180时，它是时，它是|b|. 注意注意 |b|cos 叫作叫作b在在a方向上的投影，方向上的投影， 是实数而不是向量是实数而不是向量ba在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos b. |a|当当a0时，由时，由ab0不能推出不能推出b0，这是因为当，这是因为当b与与a的的夹角为夹角为90时，都有时，都有ab0. 4平面向量数量积的运算性质平面向量数量积的运算性质 (1)交换律：交换律：abba. (2)数乘结合律：数乘结合律：(a )b(ab)a(b) (3)分配律：分配律：(ab)cacbc. 注意注意 向量

5、数量积运算所满足的是交换律、数乘结合律及加向量数量积运算所满足的是交换律、数乘结合律及加乘分配律，但不适合乘法结合律如：乘分配律，但不适合乘法结合律如：(ab)c不一定等于不一定等于a(bc)，这是由于这是由于(ab)c表示与表示与c共线的向量，共线的向量， 而而a(bc)表示一个与表示一个与a共线的共线的向量，而向量，而c与与a不一定共线，故二者未必相等不一定共线，故二者未必相等 向量的数量积不满足运算的消去律，如向量的数量积不满足运算的消去律，如abcbD? ?/ ac. 5平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 若若a，b是非零向量，是非零向量，e是与是与b方向相同的单位向量，方向相同

6、的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则 (1) eaae|a|cos . (2) ab? ?ab0. (3)若若a与与b同向，同向，则则ab|a| b|， 若若a与与b反向，反向， 则则ab|a| b|. 特别地，特别地，aa|a|2或或|a|aa. ab(4)若若为为a，b的夹角，则的夹角，则cos. |a| b|(5)| ab|a| b|. 注意注意 aaa|a|a|a|，即，即|a|aa，这些性质在化简、，这些性质在化简、求证中涉及向量长度的相关问题中起到重要作用求证中涉及向量长度的相关问题中起到重要作用 abcos是平面向量数量积公式的变形，常用来求两向量是平面向量数量积公式的变

7、形，常用来求两向量|a| b|的夹角问题的夹角问题 ab0? ?a与与b垂直垂直 |ab|a| b|可用于证明不等式问题可用于证明不等式问题 226平面向量数量积的几何表示与坐标表示平面向量数量积的几何表示与坐标表示 (1)平面向量的数量积平面向量的数量积 定定 义义 ：ab|a| b|cos (a0，几何表示几何表示 b0,0180) 0 a0 坐标表示坐标表示 abx1x2y1y2 (2)平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质 (1)| a|aa|a| a|cos|a|2 ab几何表示几何表示 (2)cos |a| b|(3)| ab|a| b| 2(1)| a|x2y11 x1

8、x2y1y2坐标表示坐标表示 (2)cos 2222 x1y1 x2y2222(3)| x1x2y1y2|x2y x y1122 典典 例例 对对 对对 碰碰 题型一题型一 数量积的概念数量积的概念 例例1.设设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线给出下列是任意的非零向量，且相互不共线给出下列命题：命题： (ab)c(ca)b0； |a|b|ab|； (bc)a(ca)b与与c不可能垂直；不可能垂直； 22(3 a2 b)(3 a2 b)9| a|4| b| . 其中是真命题的有其中是真命题的有( ) A B C D 分析分析 由数量积的概念、性质及其运算去判断由数量积的概念、性质及其运算

9、去判断 解析解析 (ab)c是与向量是与向量c平行的向量，平行的向量，(ca)b是与向量是与向量b平行的平行的向量，因此向量，因此(ab)c与与(ca)b不一定相等故不一定相等故 不正确；不正确； 因为因为a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知形两边之差小于第三边可知 正确；正确； 由于由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，因此，因此(bc)a(ca)b与与c垂直，垂直，不正确；不正确； (3 a2b)(3 a2b)9a24b29| a|24| b|2. 正确，故选正确，故选D. 变式迁移变

10、式迁移1 已知下列各式：已知下列各式：|a|2a2； abb2 ； aa(ab)2a2b2； 222(ab)a2abb . 其中正确的有其中正确的有( ) A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 答案答案 B 解析解析 中中a2aa|a| a|cos0|a|2，所以，所以正确正确 b中中a，b不共线时，不共线时， 无意义无意义 a中中(ab)2(|a|b|cos )2|a|2|b|2cos2a2b2cos2， 所以所以不正确不正确 由向量的数量积的运算律知，由向量的数量积的运算律知， 正确故选正确故选B. 题型二题型二 向量数量积的基本计算向量数量积的基本计算 例例2.若若a(3，4)，b(2

11、,1)，试求，试求(a2b)(2 a3b) 解析解析 解法一：解法一：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2 a3 b2(3，4)3(2,1)(12，5)， (a2 b)(2 a3 b)(1)12(6)(5)18. 解法二：解法二：(a2 b)(2 a3 b)2 a2ab6 b2 222223(4)32(4)16(21)18. 点评点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据坐标来计算，向量的数量积有两种计算方法，一是依据坐标来计算，二是依据模与夹角来计算具体应用时可根据已知条件的特征来选二是依据模与夹角来计算具体应用时可根据已知条件的特征来选择，本题中向量择，本题中向量a、b坐标已知，可求

12、坐标已知，可求a2、b2、ab，也可求，也可求a2b与与2 a3b的坐标，进而用的坐标，进而用(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2求解求解. 变式迁移变式迁移2 已知已知a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，试求：，试求：a(bc)和和(ab)c的值的值 解析解析 a(bc)(bc)a (1)2(2)1 a 4(2,3)(8，12) 同理同理(ab)c(16，8). 题型三题型三 向量的模与数量积向量的模与数量积 例例3.已知已知a、b满足满足|ab|3| ab|，|a|b|1，求，求|3 a2b|. 解析解析 由由|ab|3| ab|得，得，|ab|23| ab|2， 即即(ab

13、)23( a2b)， 2222a2 abb3( a2 abb )， 8ab2 a22b22| a|22| b|24， 1即即ab ， 2|3 a2 b|? ?3a2 b? ?29a212 ab4 b29| a|264| b|27. 点评点评 在向量的非坐标运算中，在向量的非坐标运算中， 向量的数量积与向量模的转化向量的数量积与向量模的转化公式公式|a|2a2起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件起着相当重要的作用，在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化灵活运用公式进行转化. 变式迁移变式迁移3 若若|a|13，|b|19，|ab|24，则，则|ab|的值为的值为_ 答案答案 2

14、2 22解析解析 由由(ab)|ab|， 222可得可得a2 abb|ab| . 整理得整理得1692 ab361576， 2 ab46. 则有则有|ab|a22 abb2 16946361 48422. 题型四题型四 夹角问题夹角问题 例例4.设设a(cos，sin)，b(cos，sin)，且，且a与与b具有关系具有关系|kab|3| akb|(k0) (1) a与与b能垂直吗？能垂直吗？ (2)若若a与与b的夹角为的夹角为60，求，求k的值的值 解析解析 (1)|kab|3| akb|， (kab)23(akb)2， 且且|a|b|1. 即即k212kab3(1k22kab)， k21ab

15、，k210， 4kab0即即a与与b不垂直不垂直 (2)a与与b夹角为夹角为60，且，且|a|b|1， 1ab|a| b|cos60 . 2k211 .k1为所求为所求. 24 k 变式迁移变式迁移4 已知已知|a|4，|b|3，(2 a3 b)(2 ab)61求：求：(1) a与与b的夹角的夹角； (2)| ab|和和|ab|； (3)若若ABa，ACb，作三角形，作三角形ABC，求，求ABC的面积的面积 解析解析 由由(2 a3b)(2 ab)61， 解得解得ab6，故，故 1(1)cos ，又，又0180，120. 2222(2)|ab| a2 abb13， |ab|13. 同理可求同理

16、可求|ab|37. 11(3) SABC |a|b|sin 43sin1203 3. 22 题型五题型五 向量的平行、垂直与数量积向量的平行、垂直与数量积 例例5.已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量为正实数，向量xa12(t1)b，yka b， t(1)若若xy，求，求k的最小值；的最小值； (2)是否存在是否存在k，t使使xy？若存在，？若存在，求出求出k的取值范围；的取值范围；若不存若不存在，请说明理由在，请说明理由 解析解析 (1)a(1,2)，b(2,1)，ab0，又，又xy，a12(t1)b(ka b)0， t22t12t12kab 0，化简整理得，化简

17、整理得，k， ttt为正实数，为正实数， t21k2， t当且仅当当且仅当t1时，时，k2，k的最小值为的最小值为2. 222(2)xa(t1) b(2t1，t3)， 121ykab(k ， 2k )， 假设存在正实数假设存在正实数k，t使使xy， ttt1222则则(2t1)(2k )(t3)(k )，整理得整理得tk (t21)1tt0，则满足上述等式的正实数，则满足上述等式的正实数k，t不存在，不存在，所以不存在所以不存在k，t使使xy. 点评点评 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算第本题主要考查平面向量数量积的坐标运算第(1)问关键问关键在于正确运用两向量垂直的充要条件来建立在于正确

18、运用两向量垂直的充要条件来建立k与与t的函数关系式，的函数关系式，进而利用基本不等式求最值；第进而利用基本不等式求最值；第(2)问则是利用两向量共线的充要条问则是利用两向量共线的充要条件列出件列出k与与t的等式，再根据的等式，再根据k与与t为正实数实施判断为正实数实施判断. 变式迁移变式迁移5 已知已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形四点，则四边形ABCD是是( ) A梯形梯形 B矩形矩形 C菱形菱形 D正方形正方形 答案答案 B 解析解析 AB(4,0)(1,2)(41,02)(3，2)， DC(8,6)(5,8)(85,68)(3，2)， ABDC，四边

19、形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形 AD(5,8)(1,2)(4,6)， ABAD34(2)60， ABAD，四边形四边形ABCD是矩形是矩形 AC(8,6)(1,2)(7,4)， BD(5,8)(4,0)(1,8)， ACBD7148390， AC与与BD不垂直不垂直 四边形四边形ABCD不是菱形，也不可能是正方形不是菱形，也不可能是正方形. 题型六题型六 平面向量与解三角形平面向量与解三角形 22例例6.在在ABC中，中，a、b、c分别为角分别为角A、B、C的对边，的对边，且且(ab )sin(A22B)(ab )sinC. CB|的值；的值； (1)若若a3，b4，求，求|CA (

20、2)若若C ， ABC的面积是的面积是3， 求求ABBCBCCACAAB的值的值 3解析解析 由由(ab )sin(AB)(a b )sinC，得，得 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， 由两角和与差的正弦公式展开得：由两角和与差的正弦公式展开得： 2b2sinAcosB2a2cosAsinB. 根据正弦定理有：根据正弦定理有：2sin BcosB2sin AcosA， 即即sin2 Bsin2 A， A、B为三角形的内角，为三角形的内角， AB或或AB . 22222(1)若若a3，b4，则，则AB， AB ，C ，CACB， 22(2)若若C ，则，则C ，AB，ab，

21、三角形为等边三角形，三角形为等边三角形 3212由由SABC a sinC3，解得，解得a2. 22 ABBCBCCACAAB322cos6. 3 点评点评 三角形中的正弦定理、余弦定理从某种意义上理解是平三角形中的正弦定理、余弦定理从某种意义上理解是平面向量在三角函数中应用的一种形式，运用正弦定理、余弦定理可面向量在三角函数中应用的一种形式，运用正弦定理、余弦定理可以解三角形；反之，给出三角形中的边角关系，亦能解决有关三角以解三角形；反之，给出三角形中的边角关系，亦能解决有关三角形中的向量运算形中的向量运算 . 变式迁移变式迁移6 已知已知ABC的面积的面积S满足满足3S3， 且且ABBC6

22、，AB与与BC的的夹角为夹角为. (1)求求的取值范围；的取值范围； 22(2)求函数求函数f()sin 2sin cos3cos的最小值的最小值 解析解析 (1)由题意可知，由题意可知，ABBC|AB|BC|cos 6， 11S|AB|BC|sin()|AB|BC|sin ， 22S1 ，得，得 tan ，即，即3tan S. 623由由3S3，得，得33tan 3，即，即tan 1， 3与与BC的夹角，的夹角，0， 又又为为AB， 64(2) f()sin2sin cos3cos1sin2 2cos2sin2 cos2 22sin(2 )， 4， ， 647 32 ， 412432 ， 4

23、4即即 时，时，f()取得最小值取得最小值3. 4 222题型七题型七 有关数量积的综合题有关数量积的综合题 例例7.已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，且，且a、b满足满足关系关系|kab|3| akb|(其中其中k0) (1)求证：求证：(ab)(ab)； (2)求将求将a与与b的数量积表示为关于的数量积表示为关于k的函数的函数f(k)； (3)求函数求函数f(k)的最小值及取最小值时的最小值及取最小值时a与与b的夹角的夹角. 分析分析 (1) ab，ab分别用坐标表示，只要证分别用坐标表示，只要证(ab)(ab)0即可即可 (2)将将|kab|3| akb|两边平

24、方，求两边平方，求ab或用向量的模的计算或用向量的模的计算公式求解公式求解 (3)用基本不等式求最值，用向量的夹角公式求用基本不等式求最值，用向量的夹角公式求. 解析解析 (1)证法一：由证法一：由a(cos，sin)，b(cos，sin)， 则则ab(coscos，sinsin)， ab(coscos，sinsin)， 又又(ab)(ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin2110， (ab)(ab) 证法二：由证法二：由a(cos，sin)，b(cos，sin)， 2222则则(ab)(ab)ab|a|b|110， (ab)(ab

25、) (2) abcoscossinsincos() 解法一：解法一：kab(kcoscos，ksinsin)， akb(coskcos，sinksin)， |kab|2(kcoscos)2(ksinsin)2 1k22k(coscossinsin) 1k22kcos()， |akb|2(coskcos)2(sinksin)2 1k22k(coscossinsin) 1k22kcos()， 由由|kab|3| akb|， 得得1k22kcos()31k22kcos()， 8kcos()2( k21)， k21又又k0，cos()， 4k2k 1即即ab(k0) 4kk21f(k)(k0) 4k解

26、法二：解法二：|a|cos sin 1，|b|cos sin1. 222222由由|kab|3| akb|，得，得k |a| 2kab|b|3| a|6 kab22,23k |b| 8 kab2( k 1)， 22k 1k 1即即ab(k0)，故，故f(k)(k0) 4k4k2222k 1k11(3)k0，ab . 44k24k1当当k1时，等号成立，所以时，等号成立，所以ab的最小值为的最小值为. 211此时此时ab|a|b|cos ，cos . 22又又0， . 3 2变式迁移变式迁移7 设坐标平面上全部向量的集合为设坐标平面上全部向量的集合为A，已知由已知由A到到A的映射的映射f由由f(

27、x)x2(xa)a确定，其中确定，其中xA，a(cos，sin)，R. (1)当当的取值发生变化时，的取值发生变化时，ff(x)的结果是否会发生变化？请的结果是否会发生变化？请证明你的结论；证明你的结论； 5(2)若若|m|5，|n|，ff(m2n)与与ff(2 mn)垂直，求垂直，求m2与与n的夹角的夹角 解析解析 (1)a(cos，sin)，aa1. ff(x)fx2( xa)ax2( xa)a2 x2( xa)a aax2( xa)a2( xa)ax，ff(x)的结果不会随的结果不会随的变化而变化的变化而变化 (2)由由(1)知知ff(m2n)m2n，ff(2 mn)2 mn， ff(m

28、2n)ff(2 mn)(m2n)(2 mn)2 m23mn2n2153m n， 2155由由ff(m2 n)与与ff(2 mn)垂直得垂直得3mn0，则，则m n22|m| n|cosm，n ， cosm，n1，m，n， 故故m与与n的夹角为的夹角为. 方方 法法 路路 路路 通通 1平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义 平面向量平面向量a与与b的数量积：的数量积：ab|a| b|cos ，它是一个实数，而，它是一个实数，而不是向量，它的值是两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积其不是向量，它的值是两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积其中中的取值范围是的取值范围是 0 180. 2向量的数量积与实数的积的不同点向量的