(完整版)奥数训练——数的整除

1、晨曦书院数的整除一、解答题(共15小题，满分。分)1 .判断葩演疑能否被3, 7, 11, 13整除.2 .试说明：abcabc形式的6位数一定能被11整除.3 .在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？4 .求被179整除的最小和最大的四位数.5 . 一个五位数减去其各位数字之和后变为7宜工工乂，则x是多少？6 .首位数字是9,各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？7 .养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的鸭只数的75%,剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8 .五个三位数，前四个数分别是123、345、567

2、、789.已知五个数的平均数是 9的倍数,第5个数最大是多少？9 .五个数之和是 308.这五个数分别被 2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数.10一个数乘以91后乘积的后三位是193,这个数最小是多少？11 .一个各位数字全是 1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？12,某六位数23咫22能被17和19整除，求13 .五位数2通的能被36整除，求这样的五位数.14 . 2007封是105的倍数，求xy.15 .给你一个六位数 曲戈3电：(1)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 9整除；(2)根据(1)的结果说明该六位数一定不能被72整除；(3)试求出所有这样

3、的 x、y的组合，使该六位数能被 24整除；(4)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 55整除；(5)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 91整除.数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分。分）1 .判断面演菽能否被3, 7, 11, 13整除.考数的整除特征.八、 专整除性问题.题：分首先判定 犯765432能否被3整除，因为能同时被 7、11、13整除的最小数为1001,把这个析： 数写成1001 >98666+766 ,探讨766能否被7, 11, 13整除即可.解 解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44 ,不能被3整除；答： 因为 98

4、765432=1001 >98666+766,766不能被7整除；766不能被11整除;766不能被13整除;所以92765432不能被3, 7, 11, 13整除.点掌握能被3, 7, 11, 13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理.评：2 .试说明匕bcabc形式的6位数一定能被11整除.考 数的整除特征.八、 专 整除性问题.题：分根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加析： 起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0）,那么，原来这个数就一定能被11整除.由此说明即可.解 解：abcabc =100000a+1000

5、0b+1000c+100a+10b+c答：=100100a+10010b+1001c=1001 x（100a+10b+c）因为11能整除1001,所以京Z菽形式的6位数一定能被11整除.点此题考查数的整除特征，掌握被 11能出数的特征是解决问题的根本.评：3 .在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？考数的整除特征.八、 专 整除性问题.题：分 不妨设，添加的两个数字为 ab,则8ab能被8整除，则ab可以是00, 08, 16, 24, 32, 40, 析： 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96;且7能整除1998ab,也就是整

6、除 3ab,相当于整除 20+ab, 进一步验证得出答案即可.解 解：设添加的两个数字为ab,答： 8 能整除 1998ab,贝U ab可以为：00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96;7能整除1998ab=28542 >7+6+ab,也就是7能整除6+ab,经过验证可知，ab=08, 64 .所以所添的两个数字是 08或64.点此题考查能被7, 8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力.评：4 .求被179整除的最小和最大的四位数.考 数的整除特征.八、 专 整除性问题.题：分 先求出1000勺79的商，该商+1后，

7、与179相乘的积即为所求的被 179整除的最小四位数；析： 先求出9999勺79的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被 179整除的最大四位数.解 解：1000 T79=5 105,答： 179X (5+1)=179 >6=1074.9999 勺79=55 154,179 >55=9845;答：被179整除的最小的四位数是 1074,最大的四位数是 9845.点此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键.评：5 . 一个五位数减去其各位数字之和后变为T宣K工义，则x是多少？考数字问题.八、 专数性的判断专题.题：分五位数与各位数字和的差为7xxxx ,已知万位为7

8、,那么4x+7应是9的倍数，进一步解决析：问题.解 解：设原来的三位数是abcde,由题意得：答：10000a+1000b+100c+10d+e - (a+b+c+d+e) =7xxxx ,9999a+999b+99c+9d=7xxxx ,因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得4x+7=9 (或18,或27, 36)经验证，只有4x+7=27符合题意，因此x=5点设原来的三位数是 abcde,五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出评：结果.6 .首位数字是9,各位上的数字互不相同的 7位数中，能被6整除最小数是多少？ 考数的整除特征.八、 第3页(共8页)晨曦书院专整

9、除性问题.题：分首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x, x是偶数，且9+1+2+3+4+x=18+ (x+1)要析： 能被3整除，求得x=2或8,最小且不重复就是 8.解解：要使最小，不妨设为901234x, x是偶数，答： 则 9+1+2+3+4+x=18+ (x+1)需能被 3 整除，则x=2或8,2与前面的数字重复，所以x取8.所以能被6整除最小数是9012348.点此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被 2或3整除数的特征是解决问题的关键.评：47.养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的 肯，鸭只数的75%,剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只?考分数和百分数应用

10、题(多重条件).八、 专分数百分数应用专题.题：分 根据 卖出鸡只数的W，鸭只数的75%,剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡x (1-80%)=鸭*析：1 1(1-75%),所以鸡：鸭=(1-75%): (1-80%) =5: 4.那么鸡有 810 + (5+4) X5=450 (只)，进而求出鸭的只数.解 解：(1 75%): (180%) =5: 4答：鸡有：810 + (5+4) >5=8109 >5=450 (只)鸭有：810- 450=360 (只)答：原来鸡养了 450只，鸭养了 360只.点此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键.评：8.五个三位数，前四个数分别是123、3

11、45、567、789.已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？考点专题分析平均数问题；整除性质.平均数问题；整除性问题.123+345+567+789=1824 ,根据题意 已知五个数的平均数是 9的倍数”所以得出这五个三 位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是 0或5,因为 求这个五位数最大是 900多，1824+900=2724 ,因为这5个三位数的和能被 9整除，所以各个数位上数的和能被 9 整除，然后分析当这五个数的和的个位是0 或 5 时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论解 解： 123+345+567+789=1824 ，答： 因为能被

12、 5 整除，所以个位数是0 或 5，因为求这个五位数最大是900 多，1824+900=2724因为这 5 个三位数的和能被9 整除，所以各个数位上数的和能被9 整除，当个位是0 时，2+7+9+0=18 ， 能被9 整除，所以这个数的和是2790， 则要求的数为：2790-1824=966;当个位是5 时，2+7+4+5=18 ， 能被9 整除，所以这个数的和是2745， 则要求的数为：2745-1824=921;因为 921 <966所以要求的三位是最大是966 答：第 5 个数最大是966 点 此题考查了数的整除特征，明确能被 5 和 9 整除的数的特征，是解答此题的关键评：9五个

13、数之和是308这五个数分别被2、 3、 5、 7、 11 整除，且商相同，求这五个数考整除性质点：专整除性问题题：分先求出2、3、5、7、 11 的和，然后用 308 除以这五个数的和，求出商，然后用商分析： 别乘 2、 3、 5、 7、 11，即可求出这五个数解 解：2+3+5+7+11=28, 308 e8=11,答：所以这五个数分别是：2M1=22, 3X11=33, 5M1=55, 7M1=77, 11M1=121;答：这五个数分别是22， 33 ， 55， 77， 121点 求出 2+3+5+7+11 的和，然后用 308 除以28，求出商，是解答此题的关键评：10一个数乘以91 后

14、乘积的后三位是193 ，这个数最小是多少？考最大与最小点：专整除性问题题：分 因为是193, 3只能和1刈才出3.所以这个数的最后一个数是 3,又3 >90=270 ,十位 析： 90- 70=20,则这个数的十应是 2,即后两位是23, 91X23=2093,百位还差1,只要找个数与 1 相乘得 1 相乘得 1 就可以了， 1 与 1 相乘得了，则这个数最小是123，即123X91=11193. 解解：由于1>3=3,答：则这个数个位是3，3>90=270,十位 90- 70=20, 1 >20=20,则这个数的十应是2 ，即后两位是23，91 >23=2093

15、,百位还差 1 ,第7页（共8页）晨曦书院1与1相乘得1,则这个数最小是123,即 123>91=11193.答：这个数最小是 123.点首先根据题意确定这个数的个位是3,然后逐步进行推理是完成本题的关键.评：11 .一个各位数字全是 1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？考整除性质.八、 专整除性问题.题：分先把33333分解质因数：33333=3X11111,能被33333整除，那么所有的1加起来能析： 被3整除，所以可能有 6, 9, 12, 15个1;但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是 15个.也就是111111111111

16、11 3333=3333366667 ;由此解答即可.解 解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有 6, 9, 12, 15答： 个1;但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是 111111111111111答：这个数最小是 111111111111111点明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键.评：12,某六位数23处22能被17和19整除，求XV.考整除性质；位值原则.八、 专 整除性问题.题：分根据六位数23xy22能被17和19整除，得出这个六位数能被 17M9=323整除，再假设出这析

17、：个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案.解 解：因为六位数 23xy22能被17和19整除，答：所以这个六位数能被17 M9=323整除，这个数最小为 230022,故230022323=712.46,这个数最大为 239922,故239922323=742 -256,因为23口立2能被323整除，商一定为 3位数，且个位数一定为 4,符合要求的只有 714, 724, 734.故试一下 323X714=230622, 323 >724=233852 , 323X734=237082,只有323X714=230622符合要求，故原数为：230622;答

18、：xy=06.点此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23口”2除以323商的取值范围以及个位数的特评： 点是解题关键.13 .五位数 9y能被36整除，求这样的五位数.考整除性质；位值原则.八、 专 整除性问题.题：分36=4X9,能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除;析： 能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6,如果y=2,则2+X+8+9+2能被9整除，x=6;如果y=6,则2+X+8+9+6能被9整除，x=2 ;由此即可求 出这个五位数.解 解：36=4 >9,能被36整除，就要能同时被 4和9整除，答： 能被4整除的数

19、：后两位能被 4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6,如果y=2,贝U 2+X+8+9+2能被9整除，x=6;如果y=6,贝U 2+X+8+9+6能被9整除，x=2;所以这个五位数是 26892或22896.答：这个五位数是 26892或22896.点 明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键.评：14 ,是105的倍数，求xy.考数的整除特征.八、 专 整除性问题.题：分 首先105=3为次，能被3整除则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5, 析：进一步验证是否能被 7整除得出答案即可.解 解：因为105=3X5X7,答： 则2+7+x

20、+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5,当 y=0 时，2+7+x+0 能被 3 整除，则 x=0, 3, 6, 9;当y=5时，2+7+x+5能被3整除，则x=1 , 4, 7;则能被7整除的只有200760.所以 x=6 , y=0 .点此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键.评：15 .给你一个六位数*力3注:(1)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 9整除；(2)根据(1)的结果说明该六位数一定不能被72整除；(3)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 24整除;(4)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 55整

21、除;(5)试求出所有这样的 x、y的组合，使该六位数能被 91整除. 考整除性质；位值原则.八、 专 整除性问题题：分 （1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0a，y<10, 析： 由此列举即可；（2）验证（ 1）中的 11 组结果，容易得到没有结果符合条件；（ 3 ）欲使该 6 位数被 24 整除，则首先必须是偶数，且 2x+y 能被 3 整除，即要求2x+y能被 6 整除，这样的组合只可能如下（ 0， 6 ） （ 1 ， 4） （ 2 ， 2） （ 3 ， 0） （ 2 ， 8） （ 3， 6） （ 4， 4 ） （ 5， 2 ） （ 6， 0

22、 ） （ 5 ， 8） （ 6 ， 6 ） （ 7 ， 4 ） （ 8 ， 2 ） （ 9 ， 0 ） （ 8 ， 8） （ 9， 6 ） ，又要求该六位数能被 8 整除，即要求3xy 被 8 整除，这样可以得到（ 2 ， 8） ， （ 3， 6 ） ， （ 4 ， 4） ， （ 5，2 ） （ 6， 0）几个组合；（ 4 ）为使能整除55，首先y 只可能是 0 或者5，其次偶数位减奇数位整除11因此即2x-y-2能被11整除，这样组合仅有（9, 5） 一组；（5）为使能整除91,贝U要求87x3xy能被91整除，贝U 87x=x+51 , 3xy=10x+y+27 ,即 要求 x+51=10x+y+27 ，由此得出（