不等关系不等式的基本性质

1、第八讲 不等关系、不等式的基本性质 一、知识点精讲: （一） 不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。 不等符号常见的有 5种：“v”、y”、”、“a”及“乒”。 注意：“乒”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的， 但不能确定哪个大，哪个小。 “V”表示“小于或等于”或“不大于”，表示“大于或等于”或“不小于”。 （二） 不等式的基本性质： 1、 不等式的基本性质 1:不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 2、 不等式的基本性质 2:不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、 不等式的基本性质 3:不等式的两边都

2、乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要变向。 注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以 （或除以）同一个负数，不 等号的方向要改变 （三） 不等式的解集： 1. 不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解. 2. 不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集.它包含两个方面的意思：第一， 解集中的任何一个数值， 都能使不等式成立； 第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不 等式成立。因此，解集要达到不多不漏的严格要求。 3. 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定 边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点

3、；二是定方向，相对于边界点 而言，“小于向左，大于向右”. 不等式的解集在数轴上的表示如下: 图1 1 不等式的解集是 xM时.（如图1 2） 图1 2 当不等式的解集是 xv a时.（如图1- 3） 0 当不等式的解集是 乂5时.(如图1 4) 0 当不等式的解集是 x a时.（如图1 1） 徒 图1 4 4. 不等式的解与解集的区别 ：解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合 .。 5. 求不等式解集的过程叫做解不等式。 1. 判断不等式 例1.判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式 x y； 3x 7; 3 2 5; x2 0； 2x 3y 1； 1 0. 变式训

4、练 2 一 2 一、 1. 下列式子 a 2 0, 4 0,3x 4y 0, x 2y 1 0,x 3x 4y ,a 1 b 3 中，不 等式有个. 2. 据题意列不等式： 例2.用不等式表示下列数量关系. a的相反数与5的和小于a与7的差； 5与 x的和一定是负数； 长为a 2,宽为a的长方形面积小于边长为 a 1的正方形的面积. 变式训练1. 用不等式表示下列数量关系 (1) a的3倍与2的差小于a的5倍与7的和； (2) x的绝对值与1的和不小于1； (3) a、b两数的平方和的2倍再加上c小于10 ； (4) x与3的和的一半时负数. 3. 不等式的基本性质： 例3.比较下列各题中两个

5、式子的大小 .(1) - 3与4: (2) a b与a b . 3 4 变式训练：（1）.若由x y得到a2x a2y,则一定有（ ）. A. a 0 B a 0 C. a 0 D. a为任意实数 （2）.设a, b, c的平均数为 M , a, b的平均数为 N , N与c的平均数为 P,若 a b c ,则M与P的大小关系是（ ）. A. M P B . M P C . M P D.不确定 例 4. 运用不等式的基本性质进行化简： 1. 已知 a b,则 5a 7 5b 7 已知 6a 4 6b 4,则 a b. 考点5图像中比较大小 2. 如图所示，a, b, c分别表示苹果、梨、桃子的

6、质量.同类水果质量相等，则下列关系 正确的是（ ）. A. a c b B. bacC. a b c D. cab 变式训练（1）.如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为 P、Q、R、S,则他们的体 重大小关系是（ ）.7 S P R C . S P Q R D . S P R 考点 6: 不等式的解和解集 （不等式中字母的取值范围）5x 3m 1 .已知关于x的方程5x 3m 4 15 . .一 切的解是非负数，求 m的取值范围. 4 一 .一 一5 3.求同时满足不等式6x - 2 .已知关于x, y的方程组 3x 2y 4x 3y a 1的解满足x y ,求a的取值范围. a 1 A.

7、 P R S Q B . Q 7 4x 7和8x 3 4x 50的整数解3 3 . x 变式训练(1).已知关于x, y的万程组 x 的取值范围. 1 -，求关于x的不等式 3(a 3b)x 2a b的解集 3.关于x不等式ax b bx 2a的解集为x 3,求关于x的不等式7ax b的解集 4a 5 . 的解满足不等式 8a 5 4x 5y 9 ,求 a 变式训练(1) .不等式(a b)x (2a 3b) 0的解集为 x 3 3 4 .关于x的不等式4x a 1的解都是不等式 2x 1 0的解，求a的取值范围. 集，求a的值. A（基本训练） 1. x与4的和的2倍不大于x的二分之一与 3

8、的差，用不等式表示为（） 八 1 c 1- （A A） 2 2（x x 一）x x 3（B）x 4 2 x 3x 3 1 _ 1 1 ox （C） 2（x 4）亏x 3 （D） 2（x 4） （x 3x 3 2. 若ab,则下列各式中不成立的是（） （A A） 4 a 3 b（B B）3 b 3 a（C C）a a3 3 b b3 3（D D） 2a 3. 若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是 C 0 b a 1 1 (A)a b 0(B)ab 0 (C)(A)a b 0(B)ab 0 (C)c a c b(D)(D)一 a b 4.如果x0 (B) a0 (D) a0 7.如图所示, x2用数轴表示正确的是（） （A）无数个（B） 1 (C) 0, 1 (D) 1, 2 (1) 5与x的3倍的差是正数; (2) a与b的平方和不大于 3; (3) a与b的和的平方不等于 a与b的平方和; 3.已知a 0, 1 b 0,则a, ab, ab2之间的大小关系是怎样的?1 -x 5 4(4) 3x 9 B(能力提升) 1、 不等式的解的特殊情况： (1) 只有唯一解。例如 x2q 则 x 有无数个解； (3) 无解。例如|x-b|0，则 x 无解。 2、 课堂训练题 (1) 若 x 为实数，判断下列各式的正负性 (x+3)2 2x-x2-0.75 (2) 当乂=