3.解决圆问题的几种数学思路

1、3.如图， ABC的内心为点I ,外心为点 Q且/ BIC=115°,则/ BOC勺度数等于解决圆问题的几种数学思路圆的问题是初中数学的重要问题，也是中考的重点考试内容， 那么圆的问题有哪些解决思路呢， 具体有以下 几种思路.一运用圆的概念，定理，公式、法则来解决圆的问题.-1 .如图，弦CD垂直于。O的直径AB,垂足为H,且CD= 2近,BD=V5,求AB的长.2 .如图，。与 ABC三边均相交，在三边上截得的线段DE=FG=HKZ A=5C°,则/ BOC勺度数为 4.如图，AB为。的直径，C为。上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为 D, AD交。于点E. (1)

2、 AC(填是否“平分” )/DAB (2)若/ B= 60°, CD= 2如,则AB的长为.分析：(1)连接OC只要证明OC/ AD即可解决问题；(2)连接BE交OC于点H.首先证明四边形 CDEHM矩 形，根据垂径定理求出BE,再解直角三角形求出 AB即可；(1)证明：连接 OC . CD是。的切线，. CDLOC - AD±CR z. OC/ A口/ DAC= / ACQ / O/A= OQ /OAC= /OCA -'/ DAC= /CAQ . AC 平分/ DAB (2)解：连接 BE 交 OC 于点 H. AB 是直径，. / AEB= / ACB= 90&

3、#176;,/ ABC= 60°, . . / CAB= / DAC= 30°, . . / EAB= 60°,/ DEH= / EDC= / DCH= 90°, .四边形 CDEH是矩形，EH= CD= 2V3, / EHC= 90°, . OCLEB, . EH= HB= 2«, . BE= 4雨，. . AB=8.sin6005.如图，AB为。的直径，CDL AB于点E,交O。于点D, OF±AC于点F,且OF=1. (1)求BD的长；(2) 当/D=30°时，求圆中AC弧的长和阴影部分的面积.二 善于分析，

4、善于运用综合思想解决圆的问题.分析就是根据题目给出的已有条件或隐含条件，联系学过的相关的概念， 定理，公式、法则，进行整合压缩,.综合就是从已知条件一步一步推到结看看题目需要哪些条件，在结合数学思想，添加辅助线，推倒出题目结论 果，是指运用数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，遵循逻辑思维规律，发挥数学思维，对数学问题进行分析、解决并能进行思维创造，遵循科学的解题顺序，有目的、有计划地参与到解题实践过程中，解题时步骤严密，逻辑严谨，从中获得自己解决问题的能力综合思想包括数形结合，分类讨论，方程思想，建模思想，类比思想，转换思想等很多思想，它一种融合多种思 想的综合体.1.如图，O。的

5、半径是6cm,点P为。O外一点，OP=10cm射线PN与。相切于点Q. A,B两点同时从点 P 出发，点A以5cm/s的速度沿射线 PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为 t秒.（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线 AB与。相切？解：（1）连接 OQ .PN与。相切于点 Q,，OQL PN,即/ OQP=90,PQ=8. （2）过点。作OCL AB,垂足为C, .点A的运动速度为5cm/s ,点B的运动速度为4cm/s ,运动时间为tsp PA=5t, PB=4t, PO=1Q PQ=8 . . PAX PO=PB PQ -/ P=Z P, PAB POQ/

6、 PBA=/ PQO=90 , /BQOh CBQW OCB=90 , .四边形 OCBQ 矩形.BQ=OC ;。的半径为 6,BQ=OC=6寸，直线 AB 与。Ot=0.5 （s）.当AB运动到如为0.5s或3.5s时直线 AB与。O相切.当 AB运动到如图1所示的位置，BQ=PB-PQ=8-4t, = BQ=6，8-4t=6 图 2 所示的位置,BQ=PB-PQ=4t-8, BQ=6 . . 4t-8=6 ,"=3.5 ( s) . .当 t 相切2.如图,4OAB中,OA=OB=10 C AOB= 800,以点。为圆心,/0图16为半径的优弧HN分另1J交OA OB于点M, N

7、. （1）占 八、若P在右半弧上（/ BO呢锐角），将。啖点O逆时针旋转800得OP .求证：AP= BP' ; （2）点T在左半弧上,AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧 m±,当AAOa勺面积最大时，直接写出/ BOQ勺度数.产分析：（1）首先根据已知得出/ AOP= / BOP ,进而得出 性质得出/ ATO= 90。，再利用勾股定理求出 AT的长，进而得出 面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可.§AO四ABOP ,即可得出答案；（2）利用切线的TH的长即可得出答案；（3）当OQLOA时，AAOQ(1)证明：如图 1, 1. / AO

8、P= / AOB廿 BOP= 800+/BOP / BOP = Z POP +/BOP= 800+/BOP . . / AOP= r0A=0B/BOP , 在 AO济口ABOP 中，ZA0P=ZB0P' .AOPABOP (SAS), AP= BP ;、OP=OP，/ (2)解：如图 1,连接 OT,过点 T作 TH,OA于点 HJAT与猫相切，丁. / ATO= 900, z. AT=7o A2 -0T 2 = 71 021111?424=8, .=>< OAX TH=XATX OT,即=X 10 X TH= X 8X 6,解得：TH= ,即点 T 到 OA 的距离为今；

9、222255(3)解：如图2,当OQLOA时，AAOa勺面积最大；理由：: OQLOA，QNAOQ最长的高，则4 AOQ勺面积最大，BOQ= Z AOQ+ AOB= 90° +80° =170° ,当 Q点在优弧 MN右侧上，: OQLOA QO AOQ中最长的高，则4 AOQ的面积最大，BO年/ AO& Z AOB= 90° -80° = 10° ,综上所述：当/ BOQ的度数为 10°或170°时， AOQ勺面积最大.图1图23.如图，在 ABC中/ACB= 90° , D是AB的中点，以 D

10、C为直径的。O交 ABC的三边，交点分别是 G, F, E点.GE CD的交点为 M 且M2 4、后 MD CO= 2: 5. (1)求证：/ GEE /A; (2)求。O的直径CD的长；(3) 若cos/B= 0.6 ,以C为坐标原点，CA CB所在的直线分别为 X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线 AB的 函数表达式.B分析：(1)连接DF,根据CD是圆直径，可知/ CFD= 90°即DF± BG DF/ AC,推出/ BDF= /A,在。中 /BDF= / GEF 所以/ GEF= /A; (2)根据 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，DC= DA, / DC

11、A= /A,可证明 OME 与EMCF目似，所以， ME= OMK MC 结合 MD CO= 2: 5, OM MD= 3: 2, OM MC= 3: 8,设 OM= 3xMC= 8x,可 求 x=2,则直径 CD= 10x = 20; (3)根据 RtAABCM 边 AB 的中线 CD= 20 可求得 AB= 40, cos/B=0.6, BC= 24, AC= 32.设直线AB的函数表达式为 y=kx+b把A (32, 0) B (0, 24)代入利用待定系数法求得，直线 AB的函 q 数解析式为y = - x+24 .4(1)证明：连接 DF, . CD 是圆直径CFD= 90°

12、; 即 DF± BG / ACB= 90° ,DF/ AG，/ BDF= /A,. 在。O中/ BDF= / GEF / GEF= /A.(2)解：D是RtABC斜边 AB的中点，DC= DA/ DCA= /A,又由(1)知/ GEF= /A，/DCA= /GEF又 / OME / EMCOM9EMG目似，.!MLJOm. . MC=OMK MC又;ME=476 /.OMK MC=(4)3 = 96,ME MC. MD CO= 2:5,OMMD= 3:2, . OMMC= 3:8,设 OM= 3xMC= 8x, .1. 3xX8x=96,. .x= 2,直径CD= 10x=

13、 20.RtMBC中,cosZ B=0.6 =,，BC= 24, . AC AB0) B (0, 24), b=24, 0X k+b = 24 解得此二二， 4(3)解：Rt ABCM 边 AB 的中线 CD= 20,AB= 40,二.在= 32,设直线AB的函数表达式为y = kx+b根据题意得 A (32,32Xk+b=0, .直线 AB的函数解析式为 y = - x+24 .4B4.如图，点A在数轴上对应的数为 26,以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB,使点B在O右下方，且tan /AOB=乌，在优弧标上任取一点P,且能过P作直线l /OB交数轴于点 Q,设Q在数轴上对应的数为 x,连

14、接_OP (1)若优弧 标上一段 部的长为13兀，求/ AOPW度数及x的值；(2)求x的最小值，并指出此时直线l与箴所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.图1曾用图分析：（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；（2）如图当直线PQ与。相切时时，x的值最小.（3）由于P是优弧右上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题.解：（1）如图 1 中，由 口,兀 26 = 13 兀,解得 n=90° ,POQ= 90° , ; PQ/ OB. / PQO= /BOQ180tan Z PQO= tan / QOB= _1=里， .

15、OQ=鲤， . x =毁.3 OQ 22（2）如图当直线 PQ与。相切时时，x的值最小.在 RtAOPC, OQ=。'刍=32.5,此时x的值为-32.5 .5（3）分三种情况：如图 2 中，作 OHL PQ H,设 OH 4k, Qhk 3k.在 RtAOPh, < Op=Ohi+PFf, z. 262 = （4k） 2+ （3k12.5） 2,整理得：k2- 3k - 20.79 =0,解得 k = 6.3 或3.3 （舍弃），. OQ= 5k = 31.5 .此时 x 的值为31.5 .如图3中，作 OHL PQ交PQ的延长线于 H.设 OH= 4k, QH= 3k.在Rt

16、在 RtOPH中，; O/ = OH+PR .262= （ 4k） 2+ （12.5+3k） 2,整理得：k2+3k - 20.79 = 0,解得 k= -6.3 （舍弃）或 3.3 , . OQ= 5k =16.5 ,此时 x 的值为16.5 .如图 4 中，作 OHHLPQ于 H,设 OH= 4k, QH= 3k.在 RtAOPh!, OP= oH+P#, .262= （4k） 2+ （3k12.5） 2,整理得：k2- 3k- 20.79 =0,解得 k= 6.3 或3.3 （舍弃），. OQ= 5k=31.5 不 合题意舍弃.此时 x的值为-31.5 .综上所述，满足条件的 x的值为-

17、16.5或31.5或-31.5 .图L图1-1图2图3图45.如图，在矩形 ABCD, AB= 6, BC= 8,。是AD的中点，以。为圆心在 AD的下方作半径为 3的半圆O, 交AD于E、F.思考：连接BR交半圆。于G H,求GH的长；探究：将线段 AF连带半圆。绕点A顺时针旋转， 得到半圆O',设其直径为E'F',旋转角为 a （0VaV 180°）. （1）设F'到AD的距离为m当方>工时，求2a的取值范围；（2）若半圆O'与线段AR BC相切时，设切点为R,求一蓝的长.（sin49 ° = , cos41 °

18、=旦,44tan37 号,结果保留兀）备用图分析：思考：作 ONL BD,证AAD。 ND。寻地匿,据此求得 ONk2,再根据勾股定理求得 NH的长， OD ON5继而由GH= 2NH可得答案；探究：（1）过F'彳F' Q!AD于Q,分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用 Rt AQF中，sin / QAF =里一求得/ QAF的度数即可得出/ a 的范围；（2）分半圆O'与AB AF相切和与BC相切两种情况求解，求出于7噪所对圆心角度数即可得出答案.解：思考：如图 1,过O作ON! BD于N,HN= GN ;四边形 ABC皿矩形，. AD=BC=8 /

19、 BAD=90,又二AB=6, ，BD=1Q . / BADh OND=90, / ADBh NDQ . ADB NDQ =-, .On£,连接 OH -OH=3OD ON 5HN，GH=2HN=显；探究：（1）如图2,过F'彳F' Q!AD于Q,当F'到AD的距离为 工时，有F' Q工，55221a =150 ,所以当Q工时，a的取2R,连接 O R,/ O' RA= 900, 此时,，所以“二30°,如图3,当Q落在DA延长线时，可求得 值范围为 30 VaV 150 ; （2）如图4,当半圆 O'与AB相切，切点为Sin

20、ZO"口鲁, , / O' AR= 49° , . F，O' R=90)+490=1390, 圆O'与BC相切，切点为R,过点O'彳O'F»± AB于P,连接O'.kU必兀畤.您江二二18060;如图5,当半R,./O' RB= 900,易得四边形 PBRO是矩形，O' R=BP=3，AP=3,.6.已知AB是圆O的一条弦，P圆O上一点，过点 O作MNL AP,垂足为点 M,并交射线 AB于点N,圆O的 半径为5, AB= 8. （1）当P是优弧标的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N

21、与点B重合时，试判断：以 圆O为圆心，S为半径的圆与直线 AP的位置关系，并说明理由； （3）当/ BNO= / BON且圆N与圆O相切时，2求圆N半径的长.P萼，/PO'A=490,，/RO'F'=410,418060备用图分析：（1）连接PO延长交弦AB于点H,由垂径定理得出 PHLAB, Ahk BH由勾股定理得出。十4口2小2 =3,在APH中，/ AHP= 90°,PH= OP+OH8,由勾股定理求出AP即可；（2）作OGLAB于G,先证明 OBGsABM得出典=%,求出BM=22,得出。阵工，由工区，即可的距离；（3）分情况讨论：当圆 N与AB 0

22、B555 2圆O相外切时，作 ODLAB于D,由勾股定理求出 0、毋-6.2=3,证出BNhOB= 5,得出DN的长，再由勾 股定理求出 ON然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径；当圆 N与圆O相内切时，由相切两圆的性质即可得出结果.当点 N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点N在圆O内部，只存在圆N与圆O相内切，作 OH AB于E,贝U A已BE= 4,证出BN= OB= 5, ENh BNh BE= 1,由勾股定理求出 O上后谓匚康 = 3,在 RtA OEN中，再由勾股定理得：ONk小田+后产,质，即可得出结果.解：（1）连接PO延长交弦 AB于点H,如图1所示：: P是优弧靛的

23、中点，PH经过圆心O, PHL AB, AH = BH,在 AOH中，/ AHO= 900, AH= -i-AB= 4, AO= 5, , OH=2 = J52 _2 = 3,在 APH中，/ AHP= 900, PhkOP+OH5+3=8, A之 种至+产 Jg十42=4泥;（2）当点N与点B重合时，以点 O为圆心，!为半径的圆与直线 AP相交；理由如下：作 OGL AB于G,如图2 所示：. / OBG= /ABM / OGB= / AMB.OB ABM ,即吼=邑，解得：BhM=, . O阵丝AB OB 855577q-5 = （,当点N与点B重合时，以点O为圆心，胃为半径的圆与直线 A

24、P相交；（3）当点N在线段AB延长线上时，当圆 N与圆O相外切时，作 ODL AB于D,如图3所示：: OA=OB=5， AD二DBAB=4,OD=Job2-BD 2=522=3, ./ BNO二 BON BN=OB=5/. DN=DB+BN= 9在 RtODN中，由勾股定理得：ON二而同商二丫炉石l=s/15,二圆N与圆O相切，圆N半径=ONF 5=3/10 -5;当圆N与圆 O相内切时，圆N半径=ON+5=3?lii+5;当点N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点 N在圆O内部， 只存在圆N与圆O相内切，如图 4所示：作 OE! AB于E,贝U AE=BE=4 OE=辰匚加屋3, 二

25、 / BNOh BONc cn 广BN=OB=5，EN=BN=BE=,1 在 RtOEM,由勾股定理得:ONV0E2+EN2=/3W=，圆 N半径=5-ON=5-行；综上所述，当/BNOW BON且圆N与圆。相切时，圆N半径的长为3A5或3/而+5或5-标.7.平面上，矩形 ABCDW直彳仝为QP的半圆K如图1摆放，分别延长 DA和QP交于点0,且/ DOQ= 6。 OQ= 0D= 3, 0P= 2, 0A= AB= 1.让线段OD及矩形ABC皿置固定，将线段 0Q1带着半圆K一起绕着点0按逆时针方 向开始旋转，设旋转角为a （O&aW 600）.发现：（1）当a = 00,即初始位置

26、时，点P 直线AB上.（填“在” 或“不在”）求当a是多少时，0Q经过点B.（2）在0Q旋转过程中，简要说明a是多少时，点P,A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2,当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影.（4）如图3,当线段0Q与CB 边交于点 M与BA边交于点N时，设B隹x （x>0）,用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.图1图2图3备用圉分析：（1）在，当 0Q±点 B 时，在 ROA珅,A0= AB,得到/ DOQ= Z ABO= 45°,求得 a = 600- 450= 150; （2）如图2,连接AP,由OA+A庚0只当0P过点A,即“=

27、600时，等号成立，于是有AP> OP- 0A= 2-1=1,当a = 600时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2,设半圆K与PC交点为R,连接RK过点P作PHU AD于点 H,过点 R作 RE! KQ于点 E,在 R40PH中，PH AB= 1, 0之 2,得到/ POhk300,求得 “ = 600- 300= 300,由于 AD/ BC,得到/ RPO= Z POH= 300,求出/ RKQ= 2X 300= 600,于是得到结果；（4）如图 5,由/OAN= / MBN= 900, /ANO= / BNM 得到 AON BMNt出 BN=,如图 4,当点 Q落在 B

28、C上时，x 取最大值， X+1_作 QFL AD 于点 F, BQ= AF= J,q2_q2-A0= 2& - 1 ,求出 x 的取值范围是 0vxW2&-1.解：发现：(1)在，当 0Q±点 B 时，在 R40AB中，A0= AB,. / DOQ= Z ABO= 450,. a = 600 450= 150;(2)如图 2,连接 AP, OA+A庚 OP,当 OP 过点 A,即 a = 60 ° 时，等号成立， AP> OP- 0A= 2-1 = 1,当a = 600时，P、A之间的距离最小， PA的最小值=1;(3)如图2,设半圆K与PC交点为R,

29、连接RK,过点P作PH!AD于点H,过点R作REIKQ于点E,在Rt OPH 中,PH=AB=1 OP=ZP0H=30, . a =600- 300=300, AD/ BC, / RPOW POH=30, / RKQ=2< 300=600,60几，(方)厂厂厂S 扇形 kr=三，在 RtRKE 中，RE=RKsin60 0豆3 ,$ pr=1?RE'3 , S 阴影L+Y1 ；36024421624 16(4)如图 5, . / OANh MBN=90, / ANOh BNM， AOW BMN . 妈即助!上,BN= ,BN BM BN x x+1如图4,当点Q落在BC上时，x取

30、最大值，作 QF± AD于点F, BQ=AF= 0qZ也尸2 - AO=2 - 1 ,x的取值范 围是 0V xW 21.8. 图1和图2中，优弧 都所在。的半径为2, AB= 2近，点P为优弧 用上一点（点P不与A, B重合），将 图形沿BP折叠，得到点 A的对称点A . （1）点。到弦AB的距离是,当BP经过点。时，/ ABA =; （2）当BA'与O。相切时，如图2,求折痕的长.分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点。到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出/ ABA . （2）根据切线的性质得到/ OBA = 90°,从而得到/ ABA

31、= 120°,就可求出/ ABP进而求出/ OBP =300.过点。作OGLBP,垂足为G,容易求出OG BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长.解：（1）过点。作OHL AB,垂足为H,连接OB如图1所示OHL AB, AB= 2-内，AH= BHk.二 OB= 2, OH= 1.，点。到AB的距离为1.当BP经过点。时，如图1所示OH= 1 , OB= 2, OHL AB, z. sin /OBH=9" = 2. . OBH= 30°.由折叠可得：/ A' BP= / ABP= 30°. . . / ABA =60°.故答案为：1、60.OB 2（2）过点。作 OGL B巳 垂足为 G,如图 2 所示. BA'与 O O 相切，丁. OBL A' B./ OBA =90°. OBH = 30°, ./ABA' =120°./A' BP= / ABP= 60°./ OBP= 30°. . OG= OB= 1 . . . BG=V3 . OGL BP,BG= PG=V3.BP= 2V3 ，折痕的长为 2日.图IS图圈上9. 如图，半圆O的直径AB= 4,以长为2的弦PQ为直径，向点 O方向作半