2009年全国高考文科数学试题及答案全国(共12页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷一全国卷一) )文科数学（必修文科数学（必修+ +选修选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至至 2 页，第卷页，第卷 3 至至 4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷卷注意事项：注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写

2、清楚证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公

3、式AB，()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R球的体积公式()( )( )P A BP A P B如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP343VR次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPkn，一、选择题一、选择题（1）的值为o585sin(A) (B) (C) (D) 22223232【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：，故选择 A。2245sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注

4、-专业(2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集，则集合UAB中的元素共有()UAB(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1）解：，故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8UABAB定律：定律：()()()UUUABAB（3）不等式的解集为111 xx（A） （B）011xxx x 01xx （C） （D）10 xx 0 x x【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：，0040)1()1(|1|1|11122 xxxxxxxx故选择 D。（

5、4）已知 tan=4,cot=,则 tan(a+)=a13(A) (B) (C) (D) 711711713713【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题，故选择 B。3tan 11712134tantan1tantan)tan( （5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线222200 xyabab1 ，21yx 的离心率等于（A） （B）2 （C） （D）356【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方222200 xyabab1 ，abxy 精选优质文档-倾情为你

6、奉上专心-专注-专业程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即02 abxax0422 ab，故选择 C。5522 eac（6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx )1()1(gf（A）0 （B）1 （C）2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令得，即，又，所以，1lg21 x1 x1)1( f1)1( g2)1()1( gf故选择 C。（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种

7、 （D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有，故选择 D。345261315121625 CCCCCC（8）设非零向量、满足，则abccbacba |,| ba,（A）150 （B）120 （C）60 （D）30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点abab处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为111ABCABC1AABC的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB1CC(A) (B) (C

8、) (D) 34547434【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7）解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成BC1A1A AB AB1CC的角,由三角余弦定理，易知.故选 D113cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为3cos(2)yx4(,0)3精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(A) (B) (C) (D) 6432【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx343，0由此易得.故选 A4232k 13()6kkZmi

9、n|6（11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到的距离为，l , 3Q 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10）解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于，连 PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则，2 3,3AQBP2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。0AP AP点与点（12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 AF 交 C 于点 B。22:12xCylAl若,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (

10、D) 323【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,故.BMll3FAFB 2|3BM 又由椭圆的第二定义,得.故选 A2 22|233BF |2AF20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修文科数学（必修 选修选修）第第卷卷精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业注意事项：注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填

11、写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第第卷共卷共 7 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效3本卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）（13）的展开式中，的系数与的系数之和等

12、于_.10()xy73x y37x y【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13）解: 因所以有rrrrryxCT 10101)1(373101010()2240CCC （14）设等差数列的前项和为。若，则_.nannS972S 249aaa【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。 （同理 14）n解: 是等差数列,由,得 na972S 599,Sa58a 。2492945645()()324aaaaaaaaaa(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若OAOOAMOAM圆的面积为，则球的表面积等于_.M3O【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面

13、积，基础题。解：设球半径为，圆 M 的半径为，则，即由题得，Rr 32 r32 r3)2(22 RR所以。 164422 RR（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，m12:10:30lxylxy 与22则的倾斜角可以是m 1530456075其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜211|13| dm1lo301l角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或o45m00754530 o00153045 o三解

14、答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效)设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已nannsnbnnT知的通项公式.1133331,3,17,12, nnababTSb求a【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。n解：设的公差为，数列的公比为， nad nb0 q由得 3317ab212317dq得 3312TS24qqd由及解得0q 2, 2 dq故所求的通项公式为。11

15、2(1)21,3 2nnnannb (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效）在中，内角的对边长分别为.已知，且ABCABC、abc、222acb，求.sin4cossinBACb【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得，Abcbcacos2222 又 ，0,222 bbca，bAbcb2cos22 即 2cos2 Acb由正弦定理得sinsinbBcC又由已知得 sin4cossinBAC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业，sin4cossinBAC所以 4 cosbcA故由解得4 b(19)(本小题满分 12 分)（注

16、决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面SABCDABCDSD ，点在侧棱上，ABCD2AD 2DCSDMSC60ABM（）证明：是侧棱的中点；MSC（）求二面角的大小。 （同理 18）SAMB解法一：解法一：（I）作交于点 E，则，平面 SADMECDSDMEABME 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作，垂足为 F，则 AFME 为矩形MFAB设，则，MExSEx222(2)2AEEDADx2(2)2,2MFAExFBx由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x 即，从而1ME 12MEDC所以为侧棱的中点MSC（），又,

17、所以为等边三角形，222MBBCMC60 ,2ABMABABM又由（）知 M 为 SC 中点，故2,6,2SMSAAM222,90SASMAMSMA取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,由此知,BGAM GHAM为二面角的平面角BGHSAMB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业连接，在中，BHBGH22312223,2222BGAMGHSMBHABAH所以2226cos23BGGHBHBGHBG GH 二面角的大小为SAMB6arccos()3解法二解法二: :以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz设，则( 2

18、,0,0)A( 2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)BCS（）设,则(0)SMMC2222(0,),( 2,)1111MMB又(0,2,0),60ABMB AB故| |cos60MBABMBAB即222422( 2)()()111解得，即1SMMC所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由，得 AM 的中点(0,1,1), ( 2,0,0)MA2 1 1(, )22 2G又2 31(,),(0, 1,1),(2,1,1)222GBMSAM 0,0GBAMMSAM所以,GBAM MSAM因此等于二面角的平面角,GB MSSAMB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业6cos,3| |

19、GB MSGB MSGBMS 所以二面角的大小为SAMB6arccos()3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第 局甲获胜”为事件， “第局乙获胜”为事件i)5 , 4 , 3( iAij

20、。(3,4,5)jBj （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则，由于各局比赛结果相互独立，故4343BBAAA 34343434( )()()()P AP AABBP AAP BB3434() ()() ()P A P AP B P B52. 04 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故54354343ABAAABAAB )()(54354343ABAAABAAPBP 648. 06 . 04 . 06 . 06 . 0

21、6 . 04 . 06 . 06 . 0)()()()()()()()()()()(5435434354354343 APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP（21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 已知函数.42( )36f xxx（）讨论的单调性；( )f x（）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的( )yf xll方程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）366( )464 ()()22fxxxx xx令得或；( )0fx 0

22、26 x26 x令得或( )0fx 26 x260 x因此，在区间和为增函数；在区间和 xf)0 ,26( ),26( )26,( 为减函数。)26, 0(（）设点，由 过原点知， 的方程为，)(,(00 xfxPll0()yfx x因此，000()()f xx fx即，0)64(6303002040 xxxxx整理得，0)2)(1(2020 xx解得或20 x20 x因此切线 的方程为或lxy2 2 2yx (22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线与圆相交于 A、B、C、D2:E yx222:(4)(0)Mxyrr四个点。（）求的取值范围r（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业交点 P 的坐标。解：解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，2:E yx222:(4)(0)Mxyrr2y整理得 227160 xxr与有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根EM12xx、由此得2212212( 7)4(16)070160rxxxxr 解得215164r又0r 所以的取值范围是r15(,4)2（II） 设四个交点的坐标分别