旋转体的体积试题解析——高数常考题目

1、2021/8/51二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结三、小结2021/8/52一、已知平行截面面积的立体的体积一、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (1) 在a, b内插入分点： a=x0 x1x2 xn-1xn=b，xOax1xi-1xixnb2021/8/53 V =ni 1S(i)xi。 (3) 立体体积为 (2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。 将n个小薄片体积的近似值相加

2、得立体体积的近似值=baniiTdxxSxSV)()(lim102021/8/54RR- -xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx= = 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA- -= =立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122- -= = - -.tan323 R= =2021/8/55解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx= = xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA- -= = = =立体体积立

3、体体积dxxRhVRR - - -= =22.212hR = =2021/8/56 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积2021/8/57Oxba y旋转体：旋转体： 由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a 、a=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 y=f (x)讨论：讨论： 旋转体的体积怎样求？2021/8/58一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy = =、直直线线ax = =、b

4、x = =及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( = =xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( = =)(xfy = =2021/8/59曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V =baf(x)2dx。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积： Vx =2a0y2dx =2

5、axxaab03222)3(2-=234ab=x yOab22xaaby-=下页绕x轴旋转产生的旋转体的体积。y2dx =2dxxaaba)(20222- axxaab03222)3(2-=234ab=。 例 3 求椭圆12222=byax 2021/8/510yr解解hPxhry = =取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP2021/8/511以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 = =圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 = = hx

6、hr03223 = =.32hr = =yrhPxo2021/8/512a- -aoyx解解,323232xay- -= =332322 - -= =xay,aax- - 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 - - = = - -.105323a = =2021/8/513 类类似似 地地， 如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线)( yx = =、直直线线cy = =、dy = =及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx = =cddyy2)( = =dcV2021/8/514解解绕绕

7、x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 = = - - - - = =2022)cos1()cos1(dttata - - - - = =20323)coscos3cos31(dtttta.532a = =a 2a )(xy2021/8/515绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dyyxVay)(2202 = = dyyxa)(2201 - - oyxa 2ABCa2)(2yxx = =)(1yxx = = - - = =222sin)sin(tdtatta - - - -022sin)sin(tdtatta - - = =2023sin)sin(tdttta.633a = =2021/8/516解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 - - = =dyyy)43()43(22- - - - - - = =,412dyy- - = =dyyV - - = =40412.64 =