134课题学习 最短路径问题课件精编版

1、八年级八年级 上册上册 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 引言：引言： 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短” （两点之间，线段最短两点之间，线段最短 ） 2、“连接直线外一点与直线上各点的所连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短有线段中，垂线段最短”等的问题等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的利用数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题将军饮马问

2、题” 探索新知探索新知 问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然 后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？最短？ B A l 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条地有三条 路可供选择，你会选走哪条路路可供选择，你会选走哪条路

3、最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？ CA DEB 两点之间两点之间,线段最短线段最短 F()两点在一条直线异侧 已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的侧，在的侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 A . A . P 思考思考:为什么这样就能得到为什么这样就能得到最短距离呢？最短距离呢？ .B .B 根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短. 如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别上修建一个泵站，分别向向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？方，可使所用的输气管线

4、最短？ 所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短 P 探索新知探索新知 问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然 后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？最短？ B A l 探索新知探索新知 精通数学、物理学的海伦稍

5、加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ B A l 探索新知探索新知 追问追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 A l B 探索新知探索新知 追问追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学

6、问题吗？ （1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B 追问追问1 对于问题对于问题

7、2，如何，如何 A 将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B l 处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点 C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度 相等？相等？ 探索新知探索新知 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B A 追问追问2 你能利用轴对称的你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条 l 件的点件的点B吗？吗？ () () 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 问题问题

8、2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ 作法：作法： B （1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 A 点点B； （2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 l 于点于点C C 则点则点C 即为所求即为所求 B 探索新知探索新知 问题问题3 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ A B C l B 问题问题3 你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ 证明

9、：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不 重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB AC+ +BC = = AC + +BC B 在在AB C中中， A AB AC+ +BC， C l AC + +BCAC+ +BC C 即即 AC + +BC 最短最短 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 B 探索新知探索新知 追问追问1 证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上 任取一点

10、任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC + +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ B A 若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点 C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离 C l 和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + C BC 最小最小 B 探索新知探索新知 追问追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ B A C C l B () () 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧 已知：如图已知：如图,

11、A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P. P. 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？ MA + MBPA+PB B A M l P / B即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 运用新知运用新知 练习练习 如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大

12、桥AB 的的P 处前往山处前往山 脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径 C 山山 Q P 河岸河岸 A 大桥大桥 B 运用新知运用新知 基本思路：基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线 段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到 C 一点一

13、点R，使，使PR与与QR 的和最的和最 Q 河岸河岸 山山 小小” P A 大桥大桥 B ()一点在两相交直线内部 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小. D B 分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边三条边 的长度恰好能够体现在一条的长度恰好能够体现在一条 直线上时，三角形的周长最直线上时，三角形的周长最 小小 C E ? 2. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天