二重积分和三重积分-ppt课件

1、 二重积分和三重积分二重积分和三重积分一一 、 选选 择择 题题1设设),(yxf连续，且连续，且 Ddudvvufxyyxf),(),(， 其中其中D是由是由0 y，2xy ，1 x所围成区域，所围成区域， 则则),(yxf等于（等于（ ） （A）xy； （B）xy2； （C）81 xy； （D）1 xy。 C DDdxdybxydxdyb bdydxbydyxdxxx3112122010010 ， 故故81 b，代入得，代入得81),( xyyxf。 解解：记记 Ddudvvufb),(，b 为为常常数数。 在在区区域域D上上对对等等式式 Ddudvvufxyyxf),(),( 的的两两边

2、边积积分分得得： oxy2xy 12二次积分二次积分 cos00 )sincos2 d,f(d 可以写成（可以写成（ ） （A） 2 010yy f(x,y)dxdy； （B） 21 010y f(x,y)dxdy； （C） 1 01 0f(x,y)dydx； （D） 2 01 0 xxf(x,y)dydx。 D1 1计计算算下下列列积积分分 （1 1） 12)(yxdxdyyx 。 31 oxy111 yxD1D2D3 D41 yx1 yx1 yx二二、填填空空题题 解解： DDDydxdydxdyxdxdyyx22)(， 而而 131441021022DxDdyxdxdxdyxdxdyx，

3、 0 Dydxdy， 31031)(2 Ddxdyyx。 oxy11D1D2D3 D4（2） 151 0 331cos ydxx ydy 。 sin1 203 解解 ： 331331051 0 1 51 0 coscos xydyx ydxdxxydy )(cos203cos4310551054 xdxdxxx 1sin203sin203105 x。 （3） ydxxxdy221 1sin 221 221 1sin 1sinyydxxxdydxxxdy xdyxxdx121 1sin 换序换序. 1cos2cossin21 xdx1cos2cos (上限必需大于下限上限必需大于下限!)oxy1

4、212xy 解解2 2 24021 30 10 ),(),(xxdyyxfdxdyyxfdxI 在在极极坐坐标标系系下下的的二二次次积积分分为为 I 。 203 )sin,cos(0dfd3 3交交换换积积分分次次序序 2120100yydx)y, x( fdydx)y, x( fdy 。 102),(xxdyyxfdx三、解答题三、解答题 dxdybyaxD )(2222 Rddba03202222)sincos( Rdbad022222220)sincos().11(4224baR dxdyybdxdyxadxdybyaxDDD 2222222211)(对换对换与与yxdxdyxbdxdy

5、yaDD 222211dxdyyxbdxdyyxaDD )(21)(21222222dxdyyxbaD )()11(212222极极坐坐标标 Rddba022022)11(21)11(4224baR 。 2计计算算dxdyyxID )cos(，D：20 ,20 yx。 解解：直直线线2 yx将将积积分分区区域域 D 分分成成两两个个子子域域21DD 和和， 且且21DDD 。 dxdyyxID )cos(dxdyyxdxdyyxDD 21)cos()cos(oxyD2D12 yx2 2 2202202sin)sin()sin(sindxxdxx. 2)cossin2(20 dxxx 22222

6、)cos()cos(000 xxdyyxdxdyyxdxoxyD2D12 yx2 2 如如图图，D： 110yxx ； 1D： 110 xyy 解法解法 1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质化为二重积分，然后利用二重积分的性质。 oxyDD1xy 11 Dxdxdyyfxfdyyfxfdx)()()()(101 1)()(Ddxdyxfyf， 对换对换与与yx 101)()(xdyyfxfdx )()()()(211 DDdxdyyfxfdxdyyfxf 2101021)()(21)()(211AdyyfdxxfdxdyyfxfDD 。 oxyDD1xy 11 101101)()()()(

7、xxdxxfdyyfdyyfxfdx)()(1101 xxdyyfddyyf)()(1101 xxdyyfddyyf 101)()(xdyyfxfdx)()(1101 xxdyyfddyyf)()(1101 xxdyyfddyyf 101)()(xdxxfdyyf 1012)()(xdyyfxfdxA， 210121)()(Adyyfxfdxx 。 1110)()( xxdyyfdyyfxdxfdyyfx 101)()(解解法法 1： 22220yyDydxdyydxdy 4 4计计算算二二重重积积分分 Dydxdy，其其中中 D 是是由由直直线线2 x， 0 y，2 y以以及及曲曲线线22y

8、yx 所所围围成成的的平平面面 区区域域。 1DDoxy2 222yyx 2022022dyyyyydy 202)1(14dyyyuy 1令令 1121)1(4duuu.2414112 duu解解法法 2： 11DDDDydxdyydxdyydxdy sin202sin4dd 24sin384d281cos4412cos24.1222d1DDoxy2 222yyx 故故该该立立体体在在xoy面面上上的的 投投影影区区域域为为 4),(22 yxyxD。 解解法法 1：两两曲曲面面的的交交线线： 448222222zyxyxzyxz。 5求求由由曲曲面面228yxz ，22yxz 所所围围立立体

9、体的的体体积积。 oxz228yxz y22yxz 2248 dyxdyxVDD)()8(2222 dyxyxD)8(2222 dyxD )(2822 d2 0 22 0 )28(d.16)214(22420 极极坐坐标标解法解法 2： 2282020dzdddVV .162142)28(22422020 d解解法法 3： 84)(40)(21zDzDdxdydzdxdydzdVV .16)8(8440 dzzzdz222, 11 ( , ), 12( , ),( , )2.Dxxyf x yxyxyf x y dDx yxy6. 设二元函数计算二重积分其中224yxz zxyozyx322

10、133xoy 在在 面面上上的的投投影影区区域域为为3),(22 yxyxDxy。 .),(223222243333 yxxxyxdzzyxfdydxI224yxz zxyozyx322 133（2）在在柱柱面面坐坐标标系系下下， 22433020),sin,cos(dzzfddI。 224yxz zxyozyx322 133,43 ,30 ,20),(22 zz（3 3）在在球球面面坐坐标标系系下下，21 ， 20 ,30 ,20),(1 rrsincos30 ,23 ,20),(22 rr 21),(),(),(dVzyxfdVzyxfdVzyxfIdrrrrrfdd 202020)cos

11、,sinsin,cossin(sin3drrrrrfdd 2sincos3023220)cos,sinsin,cossin(sin解解：对对应应的的三三重重积积分分区区域域 ,)(30 , 10 ,),(:2222 yxzyyyxyyzyx 上上顶顶为为锥锥面面)(322yxz ， 下下底底为为平平面面0z上上的的圆圆， 侧侧面面为为圆圆柱柱22yyx 即即222)21()21( yx。 在在柱柱面面坐坐标标系系下下的的三三次次积积分分为为 3022sin00)(dzzfddI； 在在球球面面坐坐标标系系下下的的三三次次积积分分为为 sinsin26020sin)(drrrfddI。 1yzx

12、o)(322yxz 22yyx ：2222)1()1()1(Rzyx 。 解解：令令 111wzvyux，则则 ：2222Rwvu ， 1100010001),(),( wvuzyxJ。 dudvdwwvudxdydzzyxI 22)3()(dudvdwuwvwuvdudvdwwvu )(2 )(222 dudvdwdudvdwwvu9 )(6 322212)(Rdudvdwwvu .125412sin35304200RRRdrrddR , 222dudvdwwdudvdwvdudvdwu dudvdwwdudvdwwvu 2222 3)( 故故 RRwDdudvdww)(23.54)(35222RdwwRwRR 解解：作作广广义义球球面面坐坐标标变变换换 cossinsincossincrzbryarx， sin2abcrJ， 曲曲面面方方程程axczbyax 2222222)(化化为为 cossin24rar， .cossin32 ar由由220cos 。 rdabcrdddVIa 3222cossin 02 0 sin 02 3sincos3122ddbca.3223133bcabca zyox解：设解：设整个整个球柱体球柱体的重心为的重心为) , ,(zyx， 由对称性知由对称性