五种方法法求二面角及限时练习

1、五种方法求二面角与练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S AM B中半平面ABM上的一点B向棱AM作垂线，得垂足F；在另一半平面 ASM过该垂足F作棱AM的垂 线如GF，这两条垂线BF、GF便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角建立一个 可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例12021全国卷I理如图，四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为矩形，SD

2、 底面ABCD , AD 2DC SD 2，点 M在侧棱 SC 上， ABM =60I证明：M在侧棱SC的中点II丨求二面角S AM B的大小。证I略解II：利用二面角的定义。 在等边三角形 ABM中过点B作BF AM交AM于点F ,那么点F为AM的中点，过F点在平面ASM乍GF AM , GF交AS于G,连结 AC / ADQA ADS AS-AC,且 M是 SC的中点，G.F AML SC, GF 丄 AM - GF/ AS,又 t F 为 AM的中点，、 6卩是厶AMS的中位线，点 G是AS的中点。那么 GFB即为所求二面角./ SM2，那么GF2，又2SA AC/ AM AB 2,AB

3、M 600ABM是等边三角形， BF . 3在厶GAB中，AGABGAB 900 , BGcos BFGGF2 FB2 BG22GF FB.面角S AMB的大小为arccos(练习1 2021如图，四棱锥 P-ABCD底面ABCD为菱形,CPA平面ABCD ABC 60 , E, F分别是BC PC的中点.I证明：AE! PDn假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 6，求二面角E AF2C的余弦值分析：第1题容易发现，可通过证 AE! AD后推出AE!平面APD使命题获证，而第 2题， 那么首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱

4、AF上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。答案：二面角的余弦值为 二55二、三垂线法三垂线定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P在一个半平面上那么通常用三垂线定理法求二面角的大小。2过二面角 B-FC1-C中半平面本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如例BFC上的一点B作另一半平面 FCiC的垂线，得垂足 0; 再过该垂足0作棱FG的垂线，得垂足P,连结起点与终 点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的根本构图斜线PB垂线B0射影0P。再解直角三角形求二面角的度 数。例2.(2021卷理)如图，在

5、直四棱柱 ABCD-AB1C1D1中，底面 ABCE为等腰梯形，AB/CD,AB=4, BC=CD=2, AA1=2,E、E1、F分别是棱AD AA1、AB的中点。(1) 证明：直线EE1/平面FCC ；(2) 求二面角B-FC1-C的余弦值。证1略解2因为 AB=4, BC=CD=2,、F是棱 AB的中点，所以B1AFBBF=BC=CF BCF为正三角形,取CF的中点 O,那么 OBL CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A B1 C1 D1中,CC1丄平面ABCD所以CC 丄BO,所以OBL平面 CGF,过O在平面 CCF作OPL CF,垂足 为P,连接BP,那么/ OPB为二面角B-FC1

6、-C的一个平面角，在厶BCF为正三角形中，OB 3,在Rt CGF中， OP CGF, TOPcg在 Rt OPF 中,BP . OP2 OB2J4 , cos OPB OP2BP22-142以二面角B-FC1-C的余弦值为#练习2 2021如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形.AB 3, AD 2, PA 2,PD 2 2, PAB 60 .I证明AD 平面PAB ；n求异面直线 PC与AD所成的角的大小；川求二面角 P BD A的大小.分析：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题， 证明AD丄平面PAB后,容易发现平面 PAB丄平面ABCD 就是二面角P-BD-A的半平面

7、上的一个点，于是可过点棱BD的垂线，再作平面ABCD勺垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影容，从而可得本解法。答案：二面角 P BDA的大小为arctan4I证略PCF寸 H/h巧V一 .，D : E 三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线 的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线称为补棱，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3 2021如下列图，四棱锥RABCD勺底面ABC是边长为1 的菱形，/ BCD= 60, E是CD的中点，PA丄底面 ABCD PA= 2.I证明：平面 PBEL平面PABn求平面

8、PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小. 分析：此题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显 然要补充完整延长 AD BE相交于点F,连结PF.再在完整图形中的PF上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。 解：n延长AD BE相交于点F,连结PF过点A作AH丄PB于 H,由I知平面PBEL平面PAB所以AHL平面PBE 在 Rt ABF中，因为/ BAF= 60, 所以，AF=2AB=2=AP在等腰Rt PAF中，取PF的中点G,连接AG 那么AGL PF连结HG由三垂线定理的逆定理得，PF丄HG所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面 角的平面角锐角在等腰Rt PAF中,AG

9、2 pa 2.2在 Rt PAB中,AHAP-ABAPABPB.AP2 AB2252,5所以，在 Rt AHGK sin AGHAH _5AG 二105故平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小是 arcsinJO.5练习3斜三棱柱ABC-ABG的棱长都是a,侧棱与 底面成600的角，侧面 BCCB丄底面ABC1求证：AG丄BC;2求平面ABC与平面ABC所成的二面角锐角 的大小。提示：此题需要补棱，可过 A点作CB的平行线L 答案：所成的二面角为 45四、射影面积法cos=S射影S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积S的都可利用射影面积公式cos丄求出二

10、面角的大小。S例4. 2021理如图，在三棱锥P ABC中，AC BC 2 ,ACB 90，AP BP AB,I求证：PCn求二面角BPC AC .AB ;AP C的大小;不难想到在平面分析：此题要求二面角 B-AP- C的大小，如果利用射影面积法解题, 与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：I证略 nAC又 PC AC ,BC , AP BP , APC BPC .PC BC .ABP又 ACB 90，即 AC BC，且 AC 门 PC C ,BC 平面PAC .取AP中点E 连结BE, CE ./ AB BP , BE AP EC是BE在平面PAC

11、的射影，CE AP 人。是厶ABE在平面 ACP的射影,于是可求得:AB BP AP . AC2 CB2 2 2，BE .AB2 AE26，AE EC . 2那么S射S ace 1 AE ?CE 1?、一2 1，2 2S原 S abe 1 AE?EB 1 i 2 ? 6.32 2B APS射1、3cos3SM3二面角BAPC的大小为J3arccos3练习4：如图5, E为正方体ABCD- AiBiCD 的棱 CG设二面角C的大小为那么的中点，求平面 ABE和底面ABCD所成锐角的余弦值分析 平面AB E与底面Ai B C D交线即二面角的棱没CECi有给出，要找到二面角的平面角，那么必须先作两

12、个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形ABE在平面Ai B Ci D上的射影是三角形A BiC,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。2答案：所求二面角的余弦值为cos 0 =-3五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进展向量计算解题。例 4: 2021 卷理如图，在五面体 ABCDEF中, FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD, M 1为 EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD

13、2(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE求二面角A-CD-E的余弦值。现在我们用向量法解答：如下列图，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设 AB 1,依题意得 B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,2,0, E 0,1,1 , F 0,0,1 ,M 1,1 .2 2I解:BF1,0,1 , DE 0, 1,于是 cos BF,DEBF?DEBF DE0 0 112? 2 2所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 600.1 1 II证明：由AM,1, ,CE2 2CE?AD 0.因此，CE AM , CE1,0,1 , AD 0,2,0，可

14、得 CE?AM 0,AD .又 AMAD A, 故CE 平面AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE .Ill解：设平面CDE的法向量为u(x, y, z),那么u?CEu?DE0,0.xz0于是U令x1,可得u(1,1,1).yz0.又由题设，平面 ACD的一个法向量为v (0 ,0 ,1).练习5、 2021如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC 侧面A ABB,.I求证：AB BC ;n假设直线AC与平面ABC所成的角为，二面角A BC A的大小为，试判断与的大小关系,并予以证明.分析：由条件可知：平面 ABB A1平面 BCG B1丄平面 ABC于是很容

15、易想到以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面 角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求 解。x答案:arcsinaac2acb、a2 c2a a2c2总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两 种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。1. 如图, 在三棱柱 ABC ABG中，三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点+AC 3, BC 4, AB 5, AA14 ,(I )求证 AC BC,;(n )求证AG H平面CDBi ；(川)求异面直线 AC,与B,C所成角的余弦值+BD与平面ABEF所2. 如图，正方形 ABCD和

16、正方形ABEF所在平面成60的二面角，求直线成角的正弦值。C3. 如图，在棱长为 a的正方体 ABCAiBGDi中，求:1面AABB与面ABCD所成角的大小；2二面角0-BD C的正切值3二面角 B1 BC1 D4.过正方形ABCD勺顶点A作PA I平面ABCD ,设pA=AB=a(1)求二面角B PC D的大小；(2)求二面角 C-PD-A5.如下列图，四棱锥P- ABCD勺底面ABC是边长为1的菱形，/ BCD= 60, E是CD的中点,PAL底面 ABCD PA=、3证明：BEL平面PAB(2)求二面角 A- BE- P的大小3PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD/BC, ABC 90 ,PA 平面 ABCD , PA 3, AD 2, AB 3 ,