-定积分的换元法与分部积分法

1、返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分第七节第七节 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法三、小结三、小结返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .

2、一、定积分的换元法一、定积分的换元法返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分证证),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分应

3、用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例2 2 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxd

4、x 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttat

5、ata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 返回第

6、三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上连续，证明上连续，证明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此计算由此计算 02cos1si

7、ndxxxx.证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxx

8、x 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例1 1

9、计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例

10、例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分

11、21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,c

12、os xv 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdx

13、I,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(三、小结三、小结定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考题思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解

14、解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 返回第三章

15、第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(d

16、xxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；练习题答案练习题答案 3 3、 为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积

17、分返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分一、一、 填空题：填空题：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .练练 习习 题题返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （为参数为参数 ）. .返回第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学微积分微积分返回第三章第三章 一元函数积分学