高等数学 1-6极限准则、重要极限

1、一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则1.6 1.6 极限存在准则及两个重要极限 第一章第一章 二、二、 两个重要极限两个重要极限 azynnnnlimlim)2(1. (准则准则1)夹逼准则夹逼准则),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0,1N1,nN :nya取取,max21NNN nN , 恒有恒有()naya()nazannnzxya a则则,axn故故 .limaxnn,2N,0则则三、数列存在极限的两个准则三、数列存在极限的两个准则2,nN :nza例例1. 证明证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准

2、则 .nnnnn222121122nnn22nn且且22limnnnn1lim1nn122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 )121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab例例2. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在 . (证明见证明见P53P54)令证令证:nnnx)1 (11111 (1) (1)(1)nnn 111(1)1nnnn11111nnxn1(1)nnnx1(

3、1) ,(2).nnnyn同理可证同理可证21(1)1,(2).nnnnx yn2114,(2).nnxnyy且有上界且有上界.根据准则根据准则 2 可知数列可知数列nx记此极限为记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数为无理数 , 其值为其值为590457182818284. 2e即即有极限有极限 .例例2. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在 . (证明见证明见P53P54) 一般形式一般形式exxx)1(lim111ln(1)(0)nnxxx例例3求求:11(1).lim;(2).limnnnnnnnx xxxx1ln(1)n+

4、nnx=+xx则ln(1)(0)xxx解因:(1).所以所以xn单调递减单调递减; 又又0,nx 所以有下界所以有下界.lim,nnx所以存在设为设为a (0)1ln(1)n+nx=+x的两边取极限得:ln(1)a=+a则则a=0. 否则否则ln 1a=+aa（）矛盾矛盾.,nxt11(2).limnnnnnx xxx0ln(1)limln(1)ttttt记记则上式则上式=ln(1)limln(1)nnnnnxxxx=2112,2,nnxxx例例4.4. 证证: :证明数列证明数列极限存在极限存在,并求之并求之.12222xx1kkxx假设假设11222kkkkxxxx1nk时时,则则 nx单

5、调递增单调递增;122,x 假设假设(1)先证单调性先证单调性:(2)再证有界性再证有界性:2kx 12222kkxx1nk时时,所以所以 nx单调递增且有上界单调递增且有上界,所以极限存在所以极限存在.(3)求极限求极限:12nnxx得得212nnxxlimnnxa设设由由两边取极限得两边取极限得22aa解得解得2a (舍去负的舍去负的).准则准则10(,),xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0(0)xX()x ()x ()x 一、一、 极限存在的两个准则极限存在的两个准则(夹逼准则夹逼准则)azynnnnlimlim)2(准则准则

6、1(1(夹逼准则夹逼准则) ),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim可推广到自变量的其他变化趋势可推广到自变量的其他变化趋势,如如数列的情况数列的情况函数的情况函数的情况(1)(2)01 cosx 2sin22x222x22x0lim(1 cos )0.xx0limcos1xx例例5. 5. 证明证明证证: :00即即0limcos1.xx2. 函数极限的收敛准则函数极限的收敛准则2 对于不同极限过程对于不同极限过程有不同形式，有不同形式，00(,)xxxxxx 现给出现给出0 xx的收敛准则的收敛准则2。准则准则2 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某个左邻域内单调并且的某个左

7、邻域内单调并且有界，则有界，则)(xf在点在点0 x的左极限存在。的左极限存在。1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 0sinlim1xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，2(0)x0limcos1,xx0sinlim1xxx有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1o11sincosxxx故有第一个重要极限第一个重要极限00sinsinlimlim1xtxtxtxt令令例例6. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1l

8、im01例例7. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1nnnRcossinlim2Rn例例8. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例9. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 上述计算中两处利用了上述计算中两处利用了P37定理定理4.20sinlimx2x2x21第二个重要极限第二个重要极限exxx)1(lim1ennn)1 (lim

9、1 e 为无理数为无理数 , 其值为其值为590457182818284. 2e已知已知利用夹逼准则可以证明利用夹逼准则可以证明exxx)1(lim1说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1 (lim0例例10. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则则 原式原式111)1 (limexxx2sin0lim(1 3 )xxx例例11. 求求解解: 2sin0lim(1 3 )xxx130lim(1 3 )xxx23sinxx6e注注:( )u xA(A0),( ).V xB则则 ( )( )v xu xBA( )ln ( )v xu xelnBAe例例12. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1limx2. 两个重要极限两个重要极限